查看“︁國中數學/國中數學七年級/1-4 指數記法與科學記號”︁的源代码

{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除|1-3 正負數的乘除]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/1-5 其他的數|1-5 其他的數]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=1-4 指數記法與科學記號
}}
本單元將要介紹連乘的簡易表示法，並且了解科學記號的表示方法。關於'''指數律'''，請見[[國中數學/國中數學七年級/2-5 指數律|2-5 指數律]]。

== 指數為正整數 ==
當<math>n</math>為正整數<ref group="註">在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外，有討論10的整數次方)。</ref>，<math>a</math>為任意數時，我們定義<math>a^n= \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n}</math>。

如<math>5^3= 5 \times 5 \times 5=125 </math>。

=== 名詞介紹 ===
在式子<math>a^n</math>當中：
#<math>a^n</math>讀作「<math>a</math>的<math>n</math>次方」。
#<math>a</math>稱作'''底數'''。
#<math>n</math>稱作'''指數'''。
#當指數<math>n=1</math>時，我們會省略不寫。
#當指數<math>n=2</math>時，我們有時會稱<math>a^2</math>為<math>a</math>的'''平方'''。
#當指數<math>n=3</math>時，我們有時會稱<math>a^3</math>為<math>a</math>的'''立方'''。

如：在<math>7^4</math>中，
*<math>7^4</math>的底數為<math>7</math>。
*<math>7^4</math>的指數為<math>4</math>。
*<math>7^4</math>稱作「七的四次方」。

有時人們也會將<math>a^n</math>用「a^n」這樣的形式表示。
=== 底數為正整數 ===
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以<math>n</math>次。

如：<math>7^4=7 \times 7 \times 7 \times 7=2401</math>。

1的任意整數次方都是1<ref group="註">因為1自己乘幾次都是1。</ref>。

=== 底數為0 ===
0的任意正整數次方都是0<ref group="註">因為0自己乘幾次都是0。</ref>。

=== 底數為負整數 ===
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以<math>n</math>次。

如：<math>(-7)^4=(-7) \times (-7) \times (-7) \times (-7)=2401</math>。

但是必須注意：
#<math>-a^n</math>與<math>(-a)^n</math>意義不相同，<math>-a^n</math>是<math>a^n</math>的[[國中數學/相反數|相反數]]，<math>(-a)^n</math>是<math>\underbrace{(-a) \times (-a) \times (-a) \times \cdots \times (-a)}_{n}</math>。
#-1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
#當指數為奇數時，答案為'''[[國中數學/負數|負數]]'''。(即<math>(-a)^n=-a^n</math>)
#當指數為偶數時，答案為'''正數'''。(即<math>(-a)^n=a^n</math>)
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}計算以下各式的值。<br/>
<math>\begin{matrix} (1) & (-3)^3 & (2) & 3^3 & (3) & -3^3 \end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{alignat}{3}
(1) & (-3)^3=(-3) \times (-3) \times (-3) =-27  \\
(2) & 3^3=3 \times 3 \times 3 =27  \\
(3) & -3^3=-(3 \times 3 \times 3 )=-27  \\
\end{alignat}</math>
{{Robox/Close}}
可以注意到指數<math>3</math>為奇數，所以<math>(-3)^3=-3^3</math>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}計算以下各式的值。<br/>
<math>\begin{matrix} (1) & (-2)^6 & (2) & 2^6 & (3) & -2^6 \end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{alignat}{3}
(1) & (-2)^6=(-2) \times (-2) \times (-2)  \times (-2) \times (-2) \times (-2)=64  \\
(2) & 2^6= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 =64  \\
(3) & -2^6=-(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)=-64  \\
\end{alignat}</math>
{{Robox/Close}}
可以注意到指數<math>6</math>為偶數，所以<math>(-2)^6=2^6</math>。

'''小測'''<br/>
<quiz>

{<math>(-4)^3=?</math>
|type="()"}
- <math>12</math>
- <math>-12</math>
- <math>64</math>
+ <math>-64</math>

{<math>(-3)^4=?</math>
|type="()"}
- <math>12</math>
- <math>-12</math>
+ <math>81</math>
- <math>-81</math>


{<math>(-4)^7</math>與以下哪一個數相等？
|type="()"}
- <math>4^{7}</math>
+ <math>-4^{7}</math>

{<math>(-5)^6</math>與以下哪一個數相等？
|type="()"}
+ <math>5^{6}</math>
- <math>-5^{6}</math>

{當<math>\Box</math>是多少的時候，<math>(-1)^{\Box}</math>的值是<math>1</math>？
|type="()"}
+ <math>12</math>
- <math>13</math>

{<math>(-7)^{12}, (-7)^{13},(-7)^{14}, (-7)^{15}</math>中，哪一個數最大？
|type="()"}
- <math>(-7)^{12}</math>
- <math>(-7)^{13}</math>
+ <math>(-7)^{14}</math>
- <math>(-7)^{15}</math>

{哪一個數是正數？
|type="()"}
- <math>(-22)^{23}</math>
+ <math>(-23)^{22}</math>
</quiz>

=== 底數為小數 ===
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以<math>n</math>次。

如：<math>0.3^3=0.3 \times 0.3 \times 0.3=0.027</math>。

但是必須注意：
#當底數<math>0<a<1</math>時，<math>n</math>愈大，<math>a^n</math>的值就愈'''小'''。
#當底數<math>a>1</math>時，<math>n</math>愈大，<math>a^n</math>的值就愈'''大'''。
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}計算以下各式的值。<br/>
<math>\begin{matrix}
(1) & 0.4^{3} & (2) & (-0.4)^{3} & (3) & 0.5^{4} & (4) & (-0.5)^{4}
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{align}
(1)&0.4^{3}=0.4 \times 0.4 \times 0.4 =0.16 \times 0.4 = 0.064 \\
(2)&(-0.4)^{3}=(-0.4) \times (-0.4) \times (-0.4) =0.16 \times (-0.4) = -0.064 \\
(3)&0.5^{4}=0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5=0.25 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \times 0.5 = 0.0625 \\
(4)&(-0.5)^{4}=(-0.5) \times (-0.5) \times (-0.5) \times (-0.5)=0.25 \times (-0.5) \times (-0.5) = (-0.125) \times (-0.5) = 0.0625 \\
\end{align}</math>
{{Robox/Close}}
'''小測'''
<quiz>

{<math>1.2^{2}=?</math>
|type="()"}
+ <math>1.44</math>
- <math>14.4</math>


{<math>(-1.2)^{2}=?</math>
|type="()"}
+ <math>1.44</math>
- <math>-1.44</math>
- <math>14.4</math>
- <math>-14.4</math>

{<math>0.7^{3}=?</math>
|type="()"}
+ <math>0.343</math>
- <math>34.3</math>

{<math>(-0.7)^{3}=?</math>
|type="()"}
- <math>0.343</math>
- <math>34.3</math>
+ <math>-0.343</math>
- <math>-34.3</math>

{<math>(-1.1)^{3}=?</math>
|type="()"}
- <math>0.1331</math>
- <math>1.331</math>
- <math>-0.1331</math>
+ <math>-1.331</math>
</quiz>
雖然以下兩題都是比較次方數的大小，但是答案卻不盡相同，請讀者好好體會。
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}在<math>(-0.99)^{3},(-0.99)^{4},(-0.99)^{5},(-0.99)^{6}</math>四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
因為負數的偶數次方為正數，故<math>(-0.99)^{4},(-0.99)^{6}</math>為正數；負數的奇數次方為負數，故<math>(-0.99)^{3},(-0.99)^{5}</math>為負數。<br/>
而<math>0.99<1</math>，所以正數的次方愈多就會愈小，所以<math>(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}</math>；負數的次方愈多則愈大，故<math>(-0.99)^{3}<(-0.99)^{5}</math>，這四個數的大小順序依序為<math>(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}>(-0.99)^{5}>(-0.99)^{3}</math>，最大的數為<math>(-0.99)^{4}</math>，最小的數為<math>(-0.99)^{3}</math>。
{{Robox/Close}}
<br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>5</math>}}在<math>(-1.01)^{3},(-1.01)^{4},(-1.01)^{5},(-1.01)^{6}</math>四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
因為負數的偶數次方為正數，故<math>(-1.01)^{4},(-1.01)^{6}</math>為正數；負數的奇數次方為負數，故<math>(-1.01)^{3},(-1.01)^{5}</math>為負數。<br/>
而<math>1.01>1</math>，所以正數的次方愈多就會愈大，所以<math>(-1.01)^{4}<(-1.01)^{6}</math>；負數的次方愈多則愈小，故<math>(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}</math>，這四個數的大小順序依序為<math>(-1.01)^{6}>(-1.01)^{4}>(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}</math>，最大的數為<math>(-1.01)^{6}</math>，最小的數為<math>(-1.01)^{5}</math>。
{{Robox/Close}}
'''小測'''
<quiz>

{選出選項當中最大的選項。
|type="()"}
- <math>1.44^{12}</math>
- <math>1.44^{13}</math>
- <math>1.44^{14}</math>
+ <math>1.44^{15}</math>

{選出選項當中最大的選項。
|type="()"}
+ <math>0.44^{12}</math>
- <math>0.44^{13}</math>
- <math>0.44^{14}</math>
- <math>0.44^{15}</math>

{選出選項當中最大的選項。
|type="()"}
- <math>(-1.69)^{12}</math>
- <math>(-1.69)^{13}</math>
+ <math>(-1.69)^{14}</math>
- <math>(-1.69)^{15}</math>

{選出選項當中最大的選項。
|type="()"}
+ <math>(-0.69)^{12}</math>
- <math>(-0.69)^{13}</math>
- <math>(-0.69)^{14}</math>
- <math>(-0.69)^{15}</math>

</quiz>

== 指數與四則運算 ==
在數學式的運算中，有指數必須先算。
如：<math>3 \times 5^2=3 \times 25=75</math>，而不是<math>3 \times 5^2=15^2=225</math>。

{{ExampleRobox|title=例題<math>6</math>}}計算以下各式的值。<br/>
<math>\begin{matrix}
(1) & 2^{4}+(-3)^{3}-7^{2} \\
(2) & [20+(-5)^{2}] \div 5
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable" style="float: right;"
|+ '''小提醒'''
|<math>(1)</math>同號數相加，符號取同，數值相加；異號數相加，符號取絕對值較大者，數值相減。
|-
|<math>(2)</math>減去一個數，就等於加上它的相反數。
|}
<math>\begin{alignat}{4}
(1) 2^{4}+(-3)^{3}-7^{2} 
&=16+(-27)-49 \\
&=16+(-27)+(-49) \\
&=(-11)+(-49) \\
&=-60
\end{alignat}</math><br/>
<math>\begin{alignat}{4}
(2)[20+(-5)^{2}] \div 5
&=[20+25] \div 5 \\
&=45 \div 5 \\
&=9
\end{alignat}</math>
{{Robox/Close}}

== 使用計算機計算指數 ==
在工程計算機會有「<math>x^y</math>」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「<math>x^y</math>」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算<math>7^4</math>就依序按下「<math>7</math>」→「<math>x^y</math>」→「<math>4</math>」即可得到螢幕顯示<math>2401</math>。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「<math>\times</math>」→「底數」→「<math>=</math>」→<math>\cdots</math>→「<math>=</math>」，按「<math>=</math>」的次數取決於指數數字，要按下「指數<math>-1</math>」次。

例如要算<math>7^4</math>就依序按下「<math>7</math>」→「<math>\times</math>」→「<math>7</math>」→「<math>=</math>」→「<math>=</math>」→「<math>=</math>」(共<math>4-1=3</math>次「<math>=</math>」)即可得到螢幕顯示<math>2401</math>。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為'''近似值'''。如「<math>2^{100}</math>」實際上是「<math>1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376</math>」，但用計算機計算「<math>2^{100}</math>」可能會出現「<math>1.2676506 \times 10^{30}</math>」或「<math>12676506E+30</math>」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在底下的科學記號做進一步的說明。

== 指數的應用 ==
*林多紙草書第79題<ref group="課外連結">[http://www.fivedream.com/page1.aspx?no=221249&step=1&newsno=28236 世界第一題趣味數學](五夢網)</ref>
*草履蟲的無性生殖<ref group="課外連結">[[:w:草履虫|草履蟲]](維基百科)</ref>。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過<math>n</math>次分裂，原本1隻草履蟲會變成<math>2^n</math>隻草履蟲。
*如果能夠摺一張厚度<math>0.1</math>毫米的紙<math>42</math>次，那麼就可以抵達月球。
== 10的次方 ==
比較值得一提的是<math>10</math>的次方。底下列出一些常用<math>10</math>的次方數。
{| class="wikitable"
! <center><math>10</math>的次方數</center>
! <center>代表數字</center>
! <center>中文</center>
|-
| <center><math>10^0</math></center>
| <center><math>1</math></center>
| <center>一</center>
|-
| <center><math>10^1</math></center>
| <center><math>10</math></center>
| <center>十</center>
|-
| <center><math>10^2</math></center>
| <center><math>100</math></center>
| <center>百</center>
|-
| <center><math>10^3</math></center>
| <center><math>1000</math></center>
| <center>千</center>
|-
| <center><math>10^4</math></center>
| <center><math>10000</math></center>
| <center>萬</center>
|-
| <center><math>10^5</math></center>
| <center><math>100000</math></center>
| <center>十萬</center>
|-
| <center><math>10^6</math></center>
| <center><math>1000000</math></center>
| <center>百萬</center>
|-
| <center><math>10^7</math></center>
| <center><math>10000000</math></center>
| <center>千萬</center>
|-
| <center><math>10^8</math></center>
| <center><math>100000000</math></center>
| <center>億</center>
|-
| <center><math>10^{12}</math></center>
| <center><math>1000000000000</math></center>
| <center>兆</center>
|}
可以看得出來，<math>10^n</math>的值等於<math>1</math>後面有<math>n</math>個<math>0</math>。<br/>

另外<math>10^{-n}</math>代表<math>\frac{1}{10^{n}}</math>，也就是所謂的十分位、百分位……等數。
{| class="wikitable"
! <center><math>10</math>的次方數</center>
! <center>代表分數</center>
! <center>代表小數</center>
! <center>位值</center>
|-
| <center><math>10^{{\color{blue}-1}}</math></center>
| <center><math>\frac{1}{1{\color{blue}0}}</math></center>
| <center><math>{\color{blue}0.}1</math></center>
| <center>十分位</center>
|-
| <center><math>10^{{\color{blue}-2}}</math></center>
| <center><math>\frac{1}{1{\color{blue}00}}</math></center>
| <center><math>{\color{blue}0.0}1</math></center>
| <center>百分位</center>
|-
| <center><math>10^{{\color{blue}-3}}</math></center>
| <center><math>\frac{1}{1{\color{blue}000}}</math></center>
| <center><math>{\color{blue}0.00}1</math></center>
| <center>千分位</center>
|-
| <center><math>10^{{\color{blue}-4}}</math></center>
| <center><math>\frac{1}{1{\color{blue}0000}}</math></center>
| <center><math>{\color{blue}0.000}1</math></center>
| <center>萬分位</center>
|}
注意藍色鋪底的<math>0</math>數量，恰好等於次方數<math>-n</math>的'''[[國中數學/國中數學七年級/1-1 正數與負數|絕對值]]'''。
{{ExampleRobox|title=例題<math>7</math>}}<math>(1) \frac{1}{10000000}=10^{\Box}</math>，請問<math>\Box</math>要填入多少？<br/>
<math>(2) 0.00000000001=10^{\Box}</math>，請問<math>\Box</math>要填入多少？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1) \frac{1}{1{\color{blue}0000000}}</math>有<math>7</math>個零，所以<math>\frac{1}{1{\color{blue}0000000}}</math>代表<math>10^{{\color{blue}-7}}</math>，即<math>\Box =-7</math>。<br/>
<math>(2) {\color{blue}0.0000000000}1</math>有<math>11</math>個零，所以<math>{\color{blue}0.0000000000}1</math>代表<math>10^{{\color{blue}-11}}</math>，即<math>\Box =-11</math>。
{{Robox/Close}}

== 科學記號 ==
在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為<math>5972000000000000000000000</math>公斤<ref group="註">根據Google引擎搜尋的資料[https://www.google.com/search?q=%E5%9C%B0%E7%90%83%E8%B3%AA%E9%87%8F&rlz=1C1EJFC_enTW840TW840&oq=%E5%9C%B0%E7%90%83%E8%B3%AA%E9%87%8F&aqs=chrome..69i57j0l4j0i30l5.2741j1j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8]。</ref>，又如大腸桿菌的長度大小大約是<math>0.0000015</math>公尺<ref group="註">大腸桿菌長為<math>1.5 \mu m</math>，而<math>1 \mu m=\frac{1}{1000000}m=0.000001m</math>。詳見此文章：[https://medium.com/@tcumacrophage/004-%E7%B4%B0%E8%8F%8C%E5%88%B0%E5%BA%95%E6%9C%89%E5%A4%9A%E5%B0%8F-3fb725fdaa76 大腸桿菌]。</ref>。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫，很容易會多寫一個<math>0</math>或少寫一個<math>0</math>導致數據的不正確，於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數<math>m</math>寫成<math>a \times 10^{n}</math><ref group="註">電腦或是某些計算機會顯示為<math>aEn</math>，如Google搜尋引擎找尋地球的質量會出現<math>5.972E24</math>，這個數意思就是<math>5.972 \times 10^{24}</math>，也是科學記號表示法。</ref>，其中<math>a</math>介於<math>1</math>到<math>10</math>之間(可以等於<math>1</math>但不能等於<math>10</math><ref group="註">可以記成<math>1 \leq a < 10</math>，此符號會在[[國中數學/國中數學七年級/7-1 一元一次不等式|7-1 一元一次不等式]]的地方學習。</ref>)，<math>n</math>為整數，我們稱<math>a \times 10^{n}</math>為<math>m</math>的'''科學記號表示法'''。如<math>50000=5 \times 10000=5 \times 10^{4}</math>，<math>5 \times 10^{4}</math>是一個科學記號的表示法。而<math>37 \times 10^{4}</math>不是科學記號表示法，因為<math>37</math>超過<math>10</math>；<math>4.5 \times 10^{1.3}</math>也不是科學記號表示法，因為<math>1.3</math>不是整數<ref group="註">小數的次方我們會在高中階段介紹「指數」的時候介紹。詳情請參閱：[[高中數學/高中數學十年級/2-1 指數|指數(高中課程)]]。</ref>。
<br/>
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢？
===將比1大的數字轉換成科學記號===
首先注意<math>a \times 10^{n}</math>就代表<math>a</math>的小數點往<span style="color:red">右</span>移動<math>n</math>位。如<math>2{\color{red}.}345 \times 1{\color{blue}000000}=2{\color{red}|}{\color{blue}345000}{\color{red}.}</math>，所以想要找出<math>a</math>，只需要反著作，也就是將小數點往<span style="color:red">左</span>移動到範圍為<math>1</math>到<math>10</math>之間，可以等於<math>1</math>但不能等於<math>10</math>。<br/>
我們以<math>23450000</math>來作例子，因為<math>2{\color{red}|}{\color{blue}3450000}{\color{red}.}</math>，故<math>{\color{red}a=2.345}</math>；藍色數字總共有<math>{\color{blue}7}</math>個，而且是向左移動，故<math>23450000={\color{red}2.345} \times 10^{{\color{blue}7}}</math>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>8</math>}}請寫出以下各數的科學記號。<br/>
<math>\begin{matrix}
(1) & 2750000 & (2) & 48000000
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{matrix}(1) & 2750000 & \\ 
=  & 2|750000 &\\
=  & 2.75 \times 10^{6} &
\end{matrix}</math>
<math>\begin{matrix}(2) & 48000000 & \\ 
=  & 4|8000000 &  \\
=  & 4.8 \times 10^{7} &
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
===將比1小的數字轉換成科學記號===
再來我們要學習如何將比<math>1</math>小的數字換成科學記號。首先注意<math>a \times 10^{-n}</math>就代表<math>a \times \frac{1}{10^{n}}</math>，也就是<math>a</math>的小數點往<span style="color:red">左</span>移動<math>n</math>位。如<math>2{\color{red}.}345 \times \frac{1}{1{\color{blue}00000}}=0{\color{red}.}{\color{blue}00002}{\color{red}|}345</math>，所以想要找出<math>a</math>，只需要反著作，也就是將小數點往<span style="color:red">右</span>移動到範圍為<math>1</math>到<math>10</math>之間，可以等於<math>1</math>但不能等於<math>10</math>。<br/>
我們以<math>0.00002345</math>來作例子，因為<math>0{\color{red}.}{\color{blue}00002}{\color{red}|}345</math>，故<math>{\color{red}a=2.345}</math>；藍色數字總共有<math>{\color{blue}5}</math>個，而且是向右移動，故<math>0.00002345={\color{red}2.345} \times 10^{{\color{blue}-5}}</math>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>9</math>}}請寫出以下各數的科學記號。<br/>
<math>\begin{matrix}
(1) & 0.000007 & (2) & 0.000000924
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}

{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>\begin{matrix}(1) & 0.000007 & \\ 
=  & 0.000007| &\\
=  & 7 \times 10^{-6} &
\end{matrix}</math>
<math>\begin{matrix}(2) & 0.000000924 & \\ 
=  & 0.0000009|24 &  \\
=  & 9.24 \times 10^{-7} &
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
請寫出以下各數的科學記號。<br/>
<math>\begin{matrix}
(1) & 900000 & & (2) & 58700000 & &
(3) & 0.000023 & & (4) & 0.000000000314
\end{matrix}</math><ref group="習題解答"><math>\begin{matrix}
(1) & 9 \times 10^{5} & & (2) & 5.87 \times 10^{7} & &
(3) & 2.3 \times 10^{-5} & & (4) & 3.14 \times 10^{-10}
\end{matrix}</math></ref>

== 科學記號的展開 ==
科學記號要還原回原本的數字，只要'''直接乘開'''即可。，也可以用<span style="color:red">移動小數點</span>的方式計算。
===大於1的正數展開===
如<math>2.345 \times 10^{7}=2.345 \times 10000000 = 23450000</math>，也可以將小數點往左移動<math>7</math>格。<br/>
在這邊你可以注意一下<math>2.345 \times 10^{{\color{blue}7}}=23450000</math>是一個<math>{\color{blue}8}</math>位數。<br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>10</math>}}乘開以下科學記號。
<math>\begin{matrix}
(1) & 7.3 \times 10^{3}  & (2) & 5.734 \times 10^{7} 
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>方法一、直接乘開：<math>7.3 \times 10^{3}=7.3 \times 1000 = 7300 </math>。<br/>
<math>{\color{white}(1)}</math>方法二、移動小數點：<math>7.3 \times 10^{\color{red}3}</math>，將<math>7.3</math>往右移動<math>{\color{red}3}</math>位為<math>7{\color{red}|300.}</math>。<br/>
<math>(2)</math>方法一、直接乘開：<math>5.734 \times 10^{7}=5.734 \times 10000000 = 57340000 </math>。<br/>
<math>{\color{white}(2)}</math>方法二、移動小數點：<math>5.734 \times 10^{\color{red}7}</math>，將<math>5.734</math>往右移動<math>{\color{red}7}</math>位為<math>5{\color{red}|7340000.}</math>。<br/>
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
展開下列各式，並觀察它們整數部分是幾位數。<br/>
{| class="wikitable"
! <center>題號</center> !! <center>科學記號</center> !! <center>展開的結果</center> !! <center>整數部分為幾位數</center>
|-
| <center><math>(1)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{blue}3}}</math></center> || || 
|-
| <center><math>(2)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{blue}4}}</math></center> || || 
|-
| <center><math>(3)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{blue}6}}</math></center> || || 
|-
| <center><math>(4)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{blue}7}}</math></center> || || 
|}<ref group="習題解答">
{| class="wikitable"
! <center>題號</center> !! <center>科學記號</center> !! <center>展開的結果</center> !! <center>整數部分為幾位數</center>
|-
| <center><math>(1)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{blue}3}}</math></center> || <center><math>{\color{red}4500}</math></center> || <center><math>{\color{red}4}</math></center>
|-
| <center><math>(2)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{blue}4}}</math></center> || <center><math>{\color{red}45000}</math></center> || <center><math>{\color{red}5}</math></center>
|-
| <center><math>(3)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{blue}6}}</math></center> || <center><math>{\color{red}7340000}</math></center> || <center><math>{\color{red}7}</math></center>
|-
| <center><math>(4)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{blue}7}}</math></center> || <center><math>{\color{red}73400000}</math></center> || <center><math>{\color{red}8}</math></center>
|}</ref>
你有發現什麼嗎？最後一行的數字和藍色數字有什麼關係？
===小於1的正數展開===
又如<math>2.345 \times 10^{-5} = 2.345 \times 0.00001 = 0.00002345</math>。也可以將小數點往右移動<math>5</math>格。<br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>11</math>}}乘開以下科學記號。
<math>\begin{matrix}
(1) & 7.3 \times 10^{-3}  & (2) & 5.734 \times 10^{-7} 
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>方法一、直接乘開：<math>7.3 \times 10^{-3}=7.3 \times 0.001 = 0.0073 </math>。<br/>
<math>{\color{white}(1)}</math>方法二、移動小數點：<math>7.3 \times 10^{\color{green}-3}</math>，將<math>7.3</math>往<span style="color:green">左</span>移動<math>{\color{green}3}</math>位為<math>0{\color{green}.007|}3</math>。<br/>
<math>(2)</math>方法一、直接乘開：<math>5.734 \times 10^{-7}=5.734 \times 0.0000001 = 0.0000005734 </math>。<br/>
<math>{\color{white}(2)}</math>方法二、移動小數點：<math>5.734 \times 10^{\color{green}-7}</math>，將<math>5.734</math>往<span style="color:green">左</span>移動<math>{\color{green}7}</math>位為<math>0{\color{green}.0000005|}734</math>。<br/>
{{Robox/Close}}
'''習題'''<br/>
展開下列各式，並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為<math>0</math>的數字。<br/>
{| class="wikitable"
! <center>題號</center> !! <center>科學記號</center> !! <center>展開的結果</center> !! <center>小數點後第幾位開始出現不為<math>0</math>的數字</center>
|-
| <center><math>(1)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{green}-3}}</math></center> || || 
|-
| <center><math>(2)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{green}-4}}</math></center> || || 
|-
| <center><math>(3)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{green}-6}}</math></center> || || 
|-
| <center><math>(4)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{green}-7}}</math></center> || || 
|}<ref group="習題解答">
{| class="wikitable"
! <center>題號</center> !! <center>科學記號</center> !! <center>展開的結果</center> !! <center>小數點後第幾位開始出現不為<math>0</math>的數字</center>
|-
| <center><math>(1)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{green}-3}}</math></center> || <center><math>{\color{red}0.0045}</math></center> || <center><math>{\color{red}3}</math></center>
|-
| <center><math>(2)</math></center> || <center><math>4.5 \times 10^{{\color{green}-4}}</math></center> || <center><math>{\color{red}0.00045}</math></center> || <center><math>{\color{red}4}</math></center>
|-
| <center><math>(3)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{green}-6}}</math></center> || <center><math>{\color{red}0.00000734}</math></center> || <center><math>{\color{red}6}</math></center>
|-
| <center><math>(4)</math></center> || <center><math>7.34 \times 10^{{\color{green}-7}}</math></center> || <center><math>{\color{red}0.000000734}</math></center> || <center><math>{\color{red}7}</math></center>
|}</ref>
你有發現什麼嗎？最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係？
== 科學記號的數量級 ==
若<math>a \times 10^{n}</math>是科學記號，則<math>10^{n}</math>稱為<math>a \times 10^{n}</math>的'''數量級'''。如<math>23450000=2.345 \times 10^{7}</math>，則稱<math>10^{7}</math>為<math>23450000=2.345 \times 10^{7}</math>的數量級。<br/>
由前面科學記號的展開，我們可以發現數量級與數的關聯性為：
#若<math>n</math>是<math>0</math>或正整數，則<math>a \times 10^{n}</math>的整數部分為<math>n+1</math>位數。
#若<math>n</math>是負整數，則<math>a \times 10^{n}</math>小數點後第<math>|n|</math>位開始不是<math>0</math>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>12</math>}}<math>(1) 3.89 \times 10^{15}</math>乘開之後，在小數點與第一個非零數字<math>9</math>之間總共有幾個零？<br/>
<math>(2) 7.47 \times 10^{-13}</math>乘開之後，小數點後第<math>15</math>位是多少？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1) 3.89 \times 10^{15}</math>乘開之後是<math>15+1=16</math>位數，而其中<math>3,8,9</math>占了三個位數，所以會有<math>16-3=13</math>個零。<br/>
<math>(2) 7.47 \times 10^{-13}</math>乘開之後，小數點後第<math>13</math>位不是<math>0</math>，是<math>7</math>，所以小數點後第<math>14</math>位是<math>4</math>，小數點後第<math>15</math>位是<math>7</math>。
{{Robox/Close}}
== 將不是科學記號的數轉換成科學記號 ==
將一個不是科學記號的數，如<math>37 \times 10^{21} </math>轉換成科學記號，應該要怎麼做呢？我們底下舉例說明：
{{ExampleRobox|title=例題<math>13</math>}}將以下各數寫成科學記號。
<math>\begin{matrix}
(1) & 37 \times 10^{21} & (2) & 0.00057 \times 10^{12}  \\
(3) & 45000 \times 10^{-15} & (4) & 0.0000634 \times 10^{-17}  
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1) 37 \times 10^{21}</math>要將<math>37</math>的小數點向<span style="color:red">左</span>移動<math>1</math>位變成<math>3{\color{red}.7|}</math>，因為是向左移動，所以<span style="color:red">次方數加1</span>，<math> 37 \times 10^{21} = 3.7 \times 10^{21{\color{red}+1}}= 3.7 \times 10^{22}</math>。<br/>
<math>(2) 0.00057 \times 10^{12}</math>要將<math>0.00057</math>的小數點向<span style="color:blue">右</span>移動<math>4</math>位變成<math>0{\color{blue}|0005}.7</math>，因為是向右移動，所以<span style="color:blue">次方數減4</span>，<math> 0.00057 \times 10^{12} = 5.7 \times 10^{12{\color{blue}-4}}= 5.7 \times 10^{8}</math>。<br/>
<math>(3) 45000 \times 10^{-15}</math>要將<math>45000</math>的小數點向<span style="color:red">左</span>移動<math>4</math>位變成<math>4{\color{red}.5000|}</math>，因為是向左移動，所以<span style="color:red">次方數加4</span>，<math> 45000 \times 10^{-15} = 4.5 \times 10^{-15{\color{red}+4}}= 4.5 \times 10^{-11}</math>。<br/>
<math>(4) 0.0000634 \times 10^{-17}</math>要將<math>0.0000634</math>的小數點向<span style="color:blue">右</span>移動<math>5</math>位變成<math>0{\color{blue}|00006}.34</math>，因為是向右移動，所以<span style="color:blue">次方數減5</span>，<math> 0.0000634 \times 10^{-17} = 6.34 \times 10^{-17{\color{blue}-5}}= 6.34 \times 10^{-22}</math>。<br/>
{{Robox/Close}}

== 科學記號的大小 ==
科學記號的大小比較：若<math>a \times 10^{m}</math>與<math>b \times 10^{n}</math>皆是科學記號，則：
#先比較<math>m</math>與<math>n</math>的大小。
#如果<math>m,n</math>一樣大，則再比較<math>a</math>、<math>b</math>的大小。
例子如下。
{{ExampleRobox|title=例題<math>14</math>}}比較以下各題的大小，在<math>\Box</math>填入<math>></math>或<math><</math>。
<math>\begin{matrix}
(1) & 7.3 \times 10^{15} \Box 9.4 \times 10^{13} & (2) & 5.73 \times 10^{-22} \Box 6.37 \times 10^{-22}
\end{matrix}</math>
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(1)</math>因為<math>10</math>的次方數<math>15{\color{red}>}13</math>，所以<math>7.3 \times 10^{15} {\color{red}>} 9.4 \times 10^{13}</math>，<math>\Box</math>填入<math>></math>。<br/>
<math>(2)</math>雖然<math>10</math>的次方數<math>-22=-22</math>但<math>{\color{blue}5.73<6.37}</math>，所以<math>5.73 \times 10^{-22} {\color{blue}<} 6.37 \times 10^{-22}</math>，<math>\Box</math>填入<math><</math>。
{{Robox/Close}}

== 註釋 ==
<references group="註" />
== 課外連結 ==
<references group="課外連結" />
== 習題解答 ==
<references group="習題解答" />

== 更多資料 ==
*[[高中數學/高中數學十年級/2-1 指數|指數]](高中數學)

[[Category:國中數學]]

{{Wikipedia|冪}}