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{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學七年級/3-2 解一元一次方程式|3-2 解一元一次方程式]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式|4-1 二元一次方程式]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=3-3 一元一次方程式的應用問題
}}
本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式，提供一些常見的應用問題。
==一元一次方程式的應用問題解題步驟==
#假設未知數。
#依題意列出一元一次方程式。
#解一元一次方程式。
#驗算、檢查解是否合乎情境。
#寫答，若沒有符合情境則回答「無解」。
==價錢問題==
===簡易價格問題===
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}<u>宇蓁</u>到便利商店買<math>2</math>個相同價錢的御飯糰和<math>1</math>瓶<math>42</math>元的優酪乳，在沒有任何促銷優惠下，總共花了<math>108</math>元。請問<u>宇蓁</u>買的御飯糰每個幾元？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
! <center>步驟</center>
! <center>過程與內容</center>
|-
|1.假設未知數
|設<u>宇蓁</u>買的御飯糰每個<math>x</math>元。
|-
|2.依題意列出一元一次方程式
|<u>宇蓁</u>買<math>2</math>個御飯糰，要花<math>2x</math>元，再加上優酪乳<math>42</math>元，<u>宇蓁</u>需要花<math>2x+42</math>元，根據題意，<u>宇蓁</u>實際花了<math>108</math>元，可以列出一元一次方程式<math>2x+42=108</math>。
|-
|3.解一元一次方程式。
|<math>2x+42=108 \Rightarrow 2x=66 \Rightarrow x=33</math>
|-
|4.驗算、檢查解是否合乎情境。
|<math> 2 \times 33+42=66+42=108</math>，故<math>x=33</math>為<math>2x+42=108</math>的解，而<math>x=33</math>符合情境，故每個御飯糰<math>33</math>元。
|-
|5.寫答
|答：每個御飯糰<math>33</math>元。
|}
{{Robox/Close}}
<br/>

===兩物件價格問題===
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math><ref group="註">此類問題也可以利用[[國中數學/國中數學七年級/4-2 解二元一次聯立方程式|二元一次聯立方程式]]來求解。</ref>}}<u>冰涼</u>飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜<math>20</math>元。<u>億賢</u>到<u>冰涼</u>飲料店買了<math>3</math>杯古早味紅茶和<math>4</math>杯珍珠奶茶，總共花了<math>185</math>元，請問<u>冰涼</u>飲料店每杯珍珠奶茶多少元？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
! <center>步驟</center>
! <center>過程與內容</center>
|-
|1.假設未知數
|設<u>冰涼</u>飲料店每杯珍珠奶茶<math>x</math>元，則每杯古早味紅茶<math>(x-20)</math>元。
|-
|2.依題意列出一元一次方程式
|買<math>3</math>杯古早味紅茶，要付<math>3(x-20)</math>元；<br/>
買<math>4</math>杯珍珠奶茶，要付<math>4x</math>元，總共要花<math>3(x-20)+4x</math>元，<br/>
又實際花了<math>185</math>元，故可以列出一元一次方程式<math>3(x-20)+4x=185</math>。
|-
|3.解一元一次方程式。
|<math>3(x-20)+4x=185 \Rightarrow 3x-60+4x=185 \Rightarrow 7x=245 \Rightarrow x=35</math>
|-
|4.驗算、檢查解是否合乎情境。
|<math> 3 \times (35-20)+4 \times 35=3 \times 15+140=45+140=185</math>，故<math>x=35</math>為<math>3(x-20)+4x=185</math>的解，而<math>x=35</math>符合題意，故每杯珍珠奶茶<math>35</math>元。
|-
|5.寫答
|答：每杯珍珠奶茶<math>35</math>元。
|}
{{Robox/Close}}
<br/>

==分配問題==
一般來說，分配問題通常會假設「每人分配數量」為<math>x</math>，並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}<u>珮瑜</u>買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分<math>5</math>顆時會多出<math>12</math>顆，但每人分<math>7</math>顆時則會少<math>28</math>顆，則<u>珮瑜</u>班上有多少人？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
! <center>步驟</center>
! <center>過程與內容</center>
|-
|1.假設未知數
|設<u>珮瑜</u>班上總共有<math>x</math>人。
|-
|2.依題意列出一元一次方程式
|<u>珮瑜</u>每人分<math>5</math>顆巧克力時，總共需要<math>5x</math>顆，再加上剩餘的<math>12</math>顆，這袋巧克力總共有<math>5x+12</math>顆；<br/>
<u>珮瑜</u>每人分<math>7</math>顆巧克力時，總共需要<math>7x</math>顆，但因為不夠<math>28</math>顆，所以這袋巧克力只有<math>7x-28</math>顆。<br/>
兩種算法巧克力的數量應該一樣，故可以列出一元一次方程式<math>5x+12=7x-28</math>。
|-
|3.解一元一次方程式。
|<math>5x+12=7x-28 \Rightarrow 5x-7x=-28-12 \Rightarrow -2x=-40 \Rightarrow x=20</math>
|-
|4.驗算、檢查解是否合乎情境。
|<math> 5 \times 20+12=112</math>且<math> 7 \times 20-28=112</math>，故<math>x=20</math>為<math>5x+12=7x-28</math>的解，而<math>x=20</math>符合題意，故<u>珮瑜</u>班上總共有<math>20</math>人。
|-
|5.寫答
|答：<u>珮瑜</u>班上總共有<math>20</math>人。
|}
{{Robox/Close}}
<br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}<u>廣祈</u>與<u>義偉</u>為一對兄弟，媽媽每週都會給他們總共<math>1000</math>元當作零用錢，但是因為<u>義偉</u>上一週比較不聽話，所以媽媽在這週分給<u>義偉</u>的錢是<u>廣祈</u>的<math>\frac{2}{3}</math>倍還少<math>50</math>元，則<u>廣祈</u>這週的零用錢為多少元？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
{| class="wikitable"
! <center>步驟</center>
! <center>過程與內容</center>
|-
|1.假設未知數
|設<u>廣祈</u>有<math>x</math>元的零用錢，而<u>義偉</u>的零用錢為<u>廣祈</u>的<math>\frac{2}{3}</math>倍還少<math>50</math>元，所以<u>義偉</u>的零用錢有<math>\frac{2}{3}x-50</math>元。
|-
|2.依題意列出一元一次方程式
|兩人總共有<math>1000</math>元，故可以列出一元一次方程式<math>x+(\frac{2}{3}x-50)=1000</math>。
|-
|3.解一元一次方程式。
|<math>x+(\frac{2}{3}x-50)=1000 \Rightarrow \frac{5}{3}x-50=1000 \Rightarrow \frac{5}{3}x=1050 \Rightarrow x=630</math>
|-
|4.驗算、檢查解是否合乎情境。
|<math>630+(\frac{2}{3} \times 630-50)=630+(420-50)=630+370=1000</math>，故<math>x=630</math>為<math>x+(\frac{2}{3}x-50)=1000</math>的解，而<math>x=630</math>符合題意，故<u>廣祈</u>的零用錢有<math>630</math>元。
|-
|5.寫答
|答：<u>廣祈</u>本週的零用錢有<math>630</math>元。
|}
{{Robox/Close}}

==速率問題==
速率問題的根本為「距離<math>=</math>時間<math>\times</math>速率」。底下會一一說明。
{{ExampleRobox|title=例題<math>5</math>}}<u>彤雯</u>和朋友一起去爬山，她們來回走相同的山路，已知她們上山的速率為每小時<math>3</math>公里，下山的速率為每小時<math>5</math>公里，她們來回一趟總共花了<math>5</math>小時。請問她們爬的山路長度為多少公里？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}假設山路長<math>x</math>公里，因為我們知道速率與距離(我們假設的)，故我們應該用<math>x</math>表示上下山的時間。<br/>
由上山速率為每小時<math>3</math>公里與距離<math>=</math>時間<math>\times</math>速率可知上山時間<math>=x \div 3=\frac{x}{3}</math>小時；<br/>
同理，由下山速率為每小時<math>5</math>公里與距離<math>=</math>時間<math>\times</math>速率可知下山時間<math>=x \div 5=\frac{x}{5}</math>小時。<br/>
而總時間為<math>5</math>小時，所以可以列出一元一次方程式<math>\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=5</math>。<br/>
解<math>\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=5</math>可以同乘<math>15</math>得到<math>5x+3x=75 \Rightarrow 8x=75 \Rightarrow x=\frac{75}{8}</math>，<br/>
故山路長<math>\frac{75}{8}</math>公里。<br/>
答案：<math>\frac{75}{8}</math>公里。
{{Robox/Close}}
<br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>6</math>}}<u>仕杰</u>每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課，他需要花<math>15</math>分鐘才能到學校，但如果他把時速提升<math>5</math>公里，則他可以提早<math>5</math>分鐘到學校。請問<u>仕杰</u>平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}假設<u>仕杰</u>每天以時速<math>x</math>公里上學，因為我們知道<u>仕杰</u>的速率與時間，故我們應該用<math>x</math>表示距離。<br/>
因為原本的速率為時速<math>x</math>公里，所以他上學的距離原本是<math>\frac{15x}{60}=\frac{x}{4}</math>公里，而增加時速為<math>(x+5)</math>公里，所以他上學的距離利用新速率算是<math>\frac{10(x+5)}{60}=\frac{x+5}{6}</math>公里。都是相同路程，所以可以列出一元一次方程式<math>\frac{x}{4}=\frac{x+5}{6}</math>。<br/>
解<math>\frac{x}{4}=\frac{x+5}{6}</math>可以同乘<math>12</math>得到<math>3x=2(x+5) \Rightarrow 3x=2x+10 \Rightarrow x=10</math>，<br/>
故<u>仕杰</u>每天以時速<math>10</math>公里的速度上學。<br/>
答案：時速<math>10</math>公里。
{{Robox/Close}}
<br/>
你注意到了嗎？簡單來說，速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的，其中一個是你假設的，所以利用這兩個關係找出第三個，就能夠作速率問題嘍！
==年齡問題==
年齡問題的核心在於年齡問題是'''共進退'''的，一個增加幾歲，另外一個也會增加幾歲；同理，一個減少幾歲，另外一個也會減少幾歲。另外，兩人在每一個年度的'''<span style="color:red">年齡差是相等的</span>'''。
{{ExampleRobox|title=例題<math>7</math>}}阿姨和<u>冠群</u>今年相差<math>28</math>歲。五年前，阿姨的年齡是<u>冠群</u>的<math>3</math>倍少<math>4</math>歲，則阿姨今年幾歲？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}假設阿姨五年前<math>x</math>歲，則<u>冠群</u>五年前<math>(x-28)</math>歲，<br/>
又已知當時阿姨的年齡是<u>冠群</u>的<math>3</math>倍少<math>4</math>歲，故可以列出一元一次方程式<math>x=3(x-28)-4</math>。</br>
解<math>x=3(x-28)-4</math>先展開再移項化簡可得<math>x=3x-84-4 \Rightarrow -2x=-88 \Rightarrow x=44</math><br/>
故阿姨今年<math>44+5=49</math>歲。<br/>
答案：阿姨今年<math>49</math>歲。
{{Robox/Close}}

==幾何問題==
解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式，之後解出未知數。常見的幾何性質有：
*三角形內角和<math>180</math>度，[[國中數學/國中數學八年級/8-2 內角與外角|外角和]]<math>360</math>度。
*面積公式。
*#長方形面積公式為長<math>\times</math>寬。
*#平行四邊形的面積公式為底<math>\times</math>高。
*#三角形面積公式為<math>\frac{1}{2} \times</math>底<math>\times</math>高。
*#梯形面積公式為<math>\frac{1}{2} \times (</math>上底<math>+</math>下底<math>)\times</math>高。
*周長公式。
*#正方形周長公式為邊長<math>\times 4</math>。
*#長方形周長公式為<math>(</math>長<math>+</math>寬<math>)\times 2</math>。
*#平行四邊形周長公式為鄰邊之和<math>\times 2</math>。
*#正多邊形周長公式為邊長<math>\times</math>邊數。
*#圓形周長公式為半徑<math>\times 2 \times</math>圓周率<math>=</math>直徑<math>\times</math>圓周率<ref group="註">圓周率在國中階段使用<math>\pi</math>，它是一個希臘字母，讀作「ㄆㄞ」。</ref>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>8</math>}}有一個梯形，它的面積為<math>72</math>平方公分，其中上底比下底長<math>4</math>公分，高為<math>8</math>公分，則此梯形的上底為多少公分？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}假設梯形上底為<math>x</math>公分，下底為<math>x-4</math>公分，因為已知高與面積，故可以列出一元一次不等式<math>\frac{1}{2} \times \ [x+(x-4)] \times 8 = 72 \Rightarrow (2x-4)\times 8 = 144 \Rightarrow 2x-4= 18 \Rightarrow 2x=22 \Rightarrow x = 11</math>，故上底為<math>11</math>公分。<br/>
答案：<math>11</math>公分
{{Robox/Close}}

==數學魔術==
有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為<math>x</math>，然後依據魔術過程列出等式，再解<math>x</math>求得對方心裡想的數。有時也會利用到[[國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式|一元一次式的化簡]]，因為原本的式子只是恆等式，所以必定會獲得某一種結果。
{{ExampleRobox|title=例題<math>9</math>}}<u>平次</u>想要展示魔術給<u>和葉</u>。<u>平次</u>請<u>和葉</u>先想一個大於<math>10</math>的二位數，然後將這個數先乘以<math>5</math>，然後減去<math>4</math>，答案再乘以<math>2</math>，<u>和葉</u>的結果為<math>152</math>，則<u>和葉</u>心裡想的數是多少？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}假設<u>和葉</u>想的數是<math>x</math>，依題意，先乘以<math>5</math>得到<math>5x</math>，然後減去<math>4</math>得到<math>5x-4</math>，最後再乘以<math>2</math>得到<math>2(5x-4)</math>，而這個數是<math>152</math>，所以列出一元一次方程式<math>2(5x-4)=152</math>。展開得<math>10x-8=152</math>，移項得<math>10x=160</math>，<math>x=16</math>，<u>和葉</u>想的數是<math>16</math>。
{{Robox/Close}}
上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加<math>1</math>就是答案。<br/>
<br/>
'''習題'''<br/>
請你自己設計一個數學魔術！這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。<br/>
==不合理的解==
在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時，我們會稱此應用問題'''沒有合理的解'''。
{{ExampleRobox|title=例題<math>10</math>：不合理的解}}若四個連續奇數的和是<math>60</math>，試求出此四個連續奇數分別是多少？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}設最小的奇數為<math>x</math>，則另外三數分別是<math>(x+2)</math>、<math>(x+4)</math>與<math>(x+6)</math>，
{| class="wikitable" style="float: right;"
! 注意
|-
|任意兩個連續奇數都相差<math>2</math>。
|}
依題意可以列出一元一次方程式<math>x+(x+2)+(x+4)+(x+6)=60</math>，<br/>
化簡得<math>4x+12=60 \Rightarrow 4x=48 \Rightarrow x=12</math>，但<math>x</math>為奇數，故不合，此題無解。
{{Robox/Close}}

==註解==
<references group="註" />

[[Category:國中數學]]