查看“︁國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式”︁的源代码

{{header2
|previous=[[國中數學/國中數學七年級/3-3 一元一次方程式的應用問題|3-3 一元一次方程式的應用問題]]
|next=[[國中數學/國中數學七年級/4-2 解二元一次聯立方程式|4-2 解二元一次聯立方程式]]
|title=[[國中數學/國中數學七年級|國中數學七年級]]
|section=4-1 二元一次方程式
}}
生活當中，常常會發生兩個變數在變動的情形。舉例來說：
*全班有男生和女生。
*使用五元硬幣和十元硬幣購買商品。
*許多地方的收費標準會分為全票與半票。
這個時候，如果只有設一個未知數感覺又不太實際。所以在這一節，我們要介紹由兩個未知數所構成的二元一次式，並進一步地介紹二元一次方程式，在[[/4-2 解二元一次聯立方程式|4-2 解二元一次聯立方程式]]進一步會去解兩個未知數的式子。
==二元一次式==
以剛剛舉的例子為例：
*若班上有<math>a</math>位男學生和<math>b</math>位女學生，則全班有<math>(a+b)</math>位學生。
*<u>小琪</u>買早餐花了<math>x</math>枚五元硬幣和<math>y</math>枚十元硬幣，
*#<math>x</math>枚五元硬幣的價值為<math>5x</math>元。
*#<math>y</math>枚十元硬幣的價值為<math>10y</math>元。
*#所以<u>小琪</u>買早餐花了<math>(5x+10y)</math>元。
*動物園入園半票每張<math>x</math>元，全票每張<math>y</math>元，<u>雨辰</u>一家人到動物園玩，總共買了<math>2</math>張半票和<math>4</math>張全票，又
*#半票每張<math>x</math>元，買<math>2</math>張要<math>2x</math>元。
*#全票每張<math>y</math>元，買<math>4</math>張要<math>4y</math>元。
*#所以<u>雨辰</u>一家人的門票費為<math>(2x+4y)</math>元。
以上出現的式子<math>a+b</math>、<math>5x+10y</math>、<math>2x+4y</math>這種出現'''兩個未知數'''，而且未知數的次方都是<math>1</math>的式子我們稱作二元一次式。<br/>
這邊要注意一些<span style="color: red">'''不是'''</span>二元一次式的情況：
{| class="wikitable"
! <center>'''不是'''二元一次式的情形</center>
! <center>舉例</center>
|-
| 分母出現未知數
| <math>\frac{1}{x}+\frac{4}{y}</math>
|-
| 未知數出現在絕對值內
| <math>\left\vert x-y+3 \right\vert</math>、<math>\left\vert x \right\vert+\left\vert y \right\vert+3</math>
|-
| 出現了等號
| <math>x+3y=12</math>
|-
| 未知數的次方不是<math>1</math>
| <math>x^{2}+y^{2}-4</math>
|-
| 未知數相乘
| <math>xy-2</math>
|}

==二元一次式的名詞==
跟[[國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式#式子的化簡|一元一次式]]類似，以下是二元一次式的常用名詞：
{| class="wikitable"
!<center>名稱</center>
!<center>說明<center>
!<center>以<math>3x-4y+7</math>為例子</center>
|-
! <center>項</center>
| <center>用加號連接的各部分</center>
| <center>因為<math>3x-4y+7=3x+(-4y)+7</math>，所以<math>3x</math>、<math>-4y</math>與<math>7</math>都稱作<math>3x-4y+7</math>的項。</center>
|-
! <center><math>x</math>項與<math>y</math>項</center>
| <center>有出現一次未知數<math>x</math>或<math>y</math>的項。</center>
| <center>因為<math>3x</math>有出現未知數<math>x</math>，所以<math>3x-4y+7</math>的<math>x</math>項為<math>3x</math>；因為<math>-4y</math>有出現未知數<math>y</math>，所以<math>3x-4y+7</math>的<math>y</math>項為<math>-4y</math>。</center>
|-
! <center>常數項</center>
| <center>沒有出現任何未知數的項</center>
| <center>因為<math>7</math>沒有出現未知數，所以<math>3x-4y+7</math>的常數項為<math>7</math>。</center>
|-
! <center>係數</center>
| <center>未知數前面的數字或是常數項</center>
| <center>在<math>3x</math>中，未知數<math>x</math>前面的數字為<math>3</math>，所以稱<math>3</math>為<math>3x-4y+7</math>的<math>x</math>項係數；在<math>-4y</math>中，未知數<math>y</math>前面的數字為<math>3</math>，<math>-4</math>為<math>3x-4y+7</math>的<math>y</math>項係數。</center>
|-
! <center>單項式</center>
| <center>只有單一一個項的式子</center>
| <center><math>3x</math>只有一項，所以為單項式。</center>
|-
! <center>同類項</center>
| <center>具有<span style="color:red">'''相同的未知數'''</span>，而且<span style="color:red">'''次方數也相同'''</span>的'''兩個項'''</center>
| <center><math>3x</math>與<math>3y</math>的未知數不相同，所以它們不是同類項；<math>3x</math>與<math>-\frac{13x}{17}</math>的未知數相同，次數也都是<math>1</math>，所以它們是同類項。</center>
|}

====小測====
<quiz>
{<math>4y-7x+12</math>的<math>x</math>項係數是多少？(單選)
|type="()"}
- <math>4</math>
- <math>7</math>
+ <math>-7</math>
- <math>12</math>

{哪一個選項的<math>y</math>項係數是<math>5</math>？(單選)
|type="()"}
+ <math>4x+5y-7</math>
- <math>5x-4y+6</math>
- <math>-x+7y+5</math>
- <math>3x-5y-2</math>

{哪一組為同類項？(單選)
|type="()"}
- <math>4x</math>與<math>4y</math>
- <math>7</math>與<math>5y</math>
+ <math>-7y</math>與<math>12y</math>
- <math>3x+4y</math>與<math>4x+3y</math>
</quiz>
==二元一次式的運算==
二元一次式的運算如同一元一次式的運算相同，只是多了一個未知數而已。
*二元一次式的加減運算：利用<span style="color:red">'''同類項合併'''</span>與<span style="color:red">'''去括號規則'''</span>。
*#同類項合併：將相同未知數的係數相加(減)。如：<math>5y+2y=(5+2)y=7y</math>；<math>5x-3x=(5-3)x=2x</math>，本質上為<span style="color:red">'''分配律'''</span>。
*#去括號規則：括號外為加號，則括號內的運算符號不用改變；括號外為減號，則括號內的運算符號加改減，減改加。如：<math>-(5x+2y)=-5x{\color{red}-}2y</math>；<math>-(-5x-3y)=5x{\color{red}+}3y</math><ref group="註">可以將<math>-5x-3y</math>想成<math>{\color{red}0}-5x-3y</math>。</ref>。
*二元一次式的係數積：利用<span style="color:red">'''分配律'''</span>。
**如：
**#<math>3(2x-4y+5)=3 \times (2x)-3 \times (4y)+3 \times 5=6x-12y+15</math>；
**#<math>-4(3x-2y-6)=(-4) \times (3x)-(-4) \times (2y)-(-4) \times 6=-12x-(-8y)-(-24)=12x+8y+24</math>。
*分數型的運算：<span style="color:red">'''通分'''</span>。
**如：
***<math>\frac{3x+2y-4}{3}-\frac{2x+5y-4}{2}=\frac{6x+4y-8}{6}-\frac{6x+15y-12}{6}=\frac{(6x+4y-8)-(6x+15y-12)}{6}=\frac{-11y+4}{6}</math>
==二元一次方程式==
當一個方程式可以整理成<math>ax+by+c=0</math>，其中<math>a,b,c</math>為任何數，則我們稱這樣的式子為<span style="color:blue">'''二元一次方程式'''</span>。<ref group="註">這是未知數為<math>x</math>與<math>y</math>的狀況。事實上，只要'''整理'''過後有出現兩個未知數的方程式都是二元一次方程式，但大部分以<math>x</math>與<math>y</math>為主。</ref><br/>
以下是一些例子：
#<math>3x+4y=5</math>是二元一次方程式，因為<math>3x+4y=5</math>可以改寫成<math>3x+4y-5=0</math>。
#<math>3x+4y=5x</math>是二元一次方程式，因為<math>3x+4y=5x</math>可以改寫成<math>3x+4y-5x=0 \Longrightarrow -2x+4y=0</math>。
#<math>3x+4y=5+4y</math><span style="color:red">不是</span>二元一次方程式，因為<math>3x+4y=5+4y</math>可以改寫成<math>3x+4y-5-4y=0 \Longrightarrow 3x-5=0</math>只有出現一個未知數。
==註解==
<references group="註" />

[[Category:國中數學]]