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|title=[[國中數學/國中數學八年級|國中數學八年級]]
|section=2-3 畢氏定理
}}
本單元將介紹畢氏定理。關於其他直角三角形邊長關係，請參見[[國中數學/國中數學九年級/1-5 三角比|第五冊 1-5 三角比]]。
==直角三角形的兩股及斜邊==

[[File:直角三角形與畢氏定理.jpg|thumb|right|圖一。此為一直角三角形。]]
[[File:在直角三角形兩股與斜邊上做正方形.jpg|400xpx|thumb|right|圖二。由三個正方形組成。每個方格邊長皆為1cm。]]

===定義===
有一個<math>\triangle ABC</math>為直角三角形，如圖一。∠<math>ACB</math>為該三角形之直角，其鄰邊<math>a</math>和<math>b</math>被稱為直角三角形的「股」，對邊<math>c</math>被稱為直角三角形的「斜邊」。
===股及斜邊的關係===
請看圖二，每個方格邊長皆為1公分。該圖有3個正方形，分別為<math>ABCG</math>、<math>GEFG</math>、<math>GHIA</math>，而其中還有一個以<math>\overline{AD}</math>、<math>\overline{DG}</math>、<math>\overline{AG}</math>三線段組成的直角<math>\triangle ADG</math>。
<br>
仔細觀察會發現：正方形<math>ABCG</math>和<math>GEFG</math>面積的和與<math>GHIA</math>相同。

==畢氏定理==
===由來===
由上面的觀察可得出：
<br>
'''正方形<math>ABCG</math>面積+正方形<math>GEFG</math>面積=正方形<math>GHIA</math>面積'''
<br>
'''<math>\overline{AD}^2 + \overline{DG}^2 = \overline{AG}^2</math>'''
<br>
而若將直角<math>\triangle ADG</math>拉出，並令兩股分別為<math>a,b</math>、斜邊為<math>c</math>，則：
<br>
'''<math>a^2+b^2=c^2 (a,b,c>0)</math>'''
<br>
此即為畢氏定理，也可以稱為畢達哥拉斯定理或勾股定理等，為古希臘數學家畢達哥拉斯所發現。
===其他形式===
<math>a^2+b^2=c^2</math>經過移項後也可以寫成<math>c^2-b^2=a^2</math>或<math>c^2-a^2=b^2</math>
<br>
經過開根號後還可以寫成<math>\sqrt{a^2+b^2}=c</math>、<math>\sqrt{c^2-b^2}=a</math>、<math>\sqrt{c^2-a^2}=b</math>
===畢氏數===
畢氏數也可以稱為勾股數或商高數等，是指符合畢氏定理的<math>(a,b,c)</math>三數。常見<math>a,b,c</math>互質的畢氏數有：
<br>
<math>(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(20,21,29)</math>

==平面座標上兩點距離==
[[File:平面座標兩點距離.jpg|400px|thumb|right|圖三。平面座標上求兩點距離。]]
今有三個點<math>A(5,1),B(1,4),C(-1,2)</math>在直角座標平面上，如圖三。若要求<math>A</math>點和<math>C</math>點的距離，即為求<math>\overline{AC}</math>，可以用這個方法：<br>
1.做兩直線分別通過<math>A</math>點和<math>C</math>點並分別平行兩軸交於P點
2.做<math>\overline{AC}</math>
<br>此時形成一個直角<math>\triangle APC</math>，即可使用畢氏定理<br>
<math>\overline{AP}^2+\overline{CP}^2=\overline{AC}^2</math><br>
<math>\Rightarrow |X_P-X_A|^2+|Y_P-Y_C|^2=\overline{AC}^2</math><br>
<math>\Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{(X_P-X_A)^2+(Y_P-Y_C)^2}</math><br>
而<math>P</math>點的<math>X</math>座標必為<math>A,C</math>其中一點的<math>X</math>座標，<math>P</math>點的<math>Y</math>座標必為<math>A,C</math>中另一點的<math>Y</math>座標，因此公式可以改寫成<br>
<math>\Rightarrow \overline{AC}=\sqrt{(X_A-X_C)^2+(Y_A-Y_C)^2}</math><br>
此即為兩點距離公式。<br>
將<math>A,C</math>點座標帶入可得<math>\overline{AC}=\sqrt{37}</math><br>
同理，若要求<math>\overline{AB}</math>，則將<math>A,B</math>點座標帶入得<math>\overline{AB}=5</math>

==習題==
{|
|-
|[[File:國中數學第三冊2-3習題圖一.png|thumb|150px|none|習題圖一]]
|[[File:國中數學第三冊2-3習題圖二.png|thumb|150px|none|習題圖二]]
|}
1.如習題圖一，已知<math>\overline{AB} =5</math>，<math>\overline{BC} =4</math>，<math>\overline{AD} =2</math>，則<math>\overline{DC} =?</math><br>
(A) <math>\sqrt{35}</math> (B) <math>\sqrt{37}</math> (C) <math>\sqrt{39}</math> (D) <math>\sqrt{41}</math><br>
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<div style="display:inline-block;">
答案：(B)<br>
解析：<br>
做<math>\overline{AV}</math>，使四邊形<math>ABCD</math>分成兩個直角三角形<math>ABC</math>與<math>ADC</math>，如解析圖一。<br>
根據畢氏定理，<br>
<math>
\begin{align}
& {\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2 + {\overline{BC}}^2 \\
\Rightarrow & AC=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41} \\
& {\overline{AC}}^2={\overline{AD}}^2 + {\overline{DC}}^2 \\
\Rightarrow & {\sqrt{41}}^2=2^2+{\overline{DC}}^2 \\
\Rightarrow & \sqrt{41-4}=\overline{DC}=\sqrt{37}
\end{align}
</math><br>
故選(B)。
<br style="clear:both;">
</div>
<div style="display:inline-block;">[[File:國中數學第三冊2-3解析圖一.png|thumb|150px|none|解析圖一]]</div>
</div>
2.承上題，四邊形 <math>ABCD</math> 的面積為多少平方單位？<br>
(A) <math>2\sqrt{37}+10</math> (B) <math>\sqrt{37}+10</math> (C) <math>2\sqrt{41}+10</math> (D) <math>\sqrt{41}+10</math><br>
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<div style="display:inline-block;">
答案：(B)<br>
解析：<br>
四邊形ABCD面積<br>
<math>
\begin{align}
& =\triangle ABC + \triangle ADC \\
& =\frac{4 \times 5}{2} + \frac{2 \times \sqrt{37}}{2} \\
& =10+\sqrt{37}
\end{align}
</math><br>
故選(B)。
<br style="clear:both;">
</div>
<div style="display:inline-block;">[[File:國中數學第三冊2-3解析圖一.png|thumb|150px|none|解析圖一]]</div>
</div>
3.如圖，小名拿著3.5m的梯子，在離牆2.8m處斜放於牆邊，唯恐梯子下滑，他又將梯腳往牆的方向推近0.7m，則梯頂上移了多少m？<br>
(A) 0.1 (B) 0.5 (C) 0.7 (D) 2.1  m<br>
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<div style="display:inline-block;">
答案：(C)<br>
解析：<br>
<math>
\begin{align}
& \sqrt{(3.5)^2-(2.8)^2}=2.1 \\
& \sqrt{(3.5)^2-(2.8 - 0.7)^2}=\sqrt{(3.5)^2-(2.1)^2}=2.8 \\
& 2.8-2.1=0.7(m)
\end{align}
</math><br>
故選(C)。
<br style="clear:both;">
</div></div>

==應用==

1.有一個周長為36公分的等腰三角形，其腰長為11公分，求此三角形的面積。

三角形的面積=底×高÷2

底邊的長度，用11減掉36兩次：

36－11－11＝14公分

底邊上的高將底邊分成相等的兩段，一段為7公分，因其腰長為11公分，依畢氏定理，得：

高=<math>\sqrt{11^2-7^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}</math>公分

面積=<math>\frac{14 \times 6\sqrt{2}}{2}= 42\sqrt{2}</math>平方公分。

[[Category:國中數學]]