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|title=[[國中數學/國中數學八年級|國中數學八年級]]
|section=3-1 利用提公因式作因式分解
}}
本章節為了介紹[[國中數學/國中數學八年級/4-1 利用十字交乘法解一元二次方程式|解一元二次方程式]]的方式，於是我們介紹關於因式的觀念，並且利用提公因式作一些式子的因式分解。
==因式==
===定義===
設三個多項式<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>滿足<math>A \times B</math>＝<math>C</math>，則稱<math>A</math>、<math>B</math>為<math>C</math>的因式。<ref group="註">這時，多項式<math>C</math>也會被稱作是多項式<math>A</math>與<math>B</math>的'''倍式'''。</ref>

*如：<math>(x+1)(x-2)=x^2-x-2</math>，所以<math>x+1</math>、<math>x-2</math>都是<math>x^2-x-2</math>的因式。

===因式的判斷===
若多項式<math>C</math>除以多項式<math>A</math>的餘式為<math>0</math>，則我們稱<math>A</math>為<math>C</math>的因式。<ref group="註">若多項式<math>C</math>除以多項式<math>A</math>的商式為多項式<math>B</math>，餘式為<math>0</math>，則不僅僅多項式<math>A</math>為多項式<math>C</math>的因式，多項式<math>B</math>也為多項式<math>C</math>的因式。</ref>

*如：<math>(x^2+4x+3) \div (x+1)</math>的商式為<math>x+3</math>，餘式為<math>0</math>，所以<math>x+1</math>是<math>x^2+4x+3</math>的因式。

===注意===
#若<math>c</math>是任意一個非零常數，則<math>c</math>是一個多項式，而且若<math>A</math>是一個多項式，則<math>\frac{1}{c}A</math>也是一個多項式。又因為<math>A</math>＝<math>c \times (\frac{1}{c}A)</math>，所以<math>c</math>與<math>\frac{1}{c}A</math>都是多項式<math>A</math>的因式。故'''任意一個非零常數'''、'''多項式<math>A</math>的常數倍'''都是多項式<math>A</math>的因式。
#*例子：<math>2(x^2+x-2)</math>、<math>\frac{2}{5}(x^2+x-2)</math>、<math>\pi</math>(圓周率)都是<math>x^2+x-2</math>的因式。
#若三個多項式<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>滿足<math>A \times B = C</math>，則對於一個非零常數<math>c</math>，<math>C=(cA) \times (\frac{1}{c}B)</math>，所以若多項式<math>A</math>為多項式<math>C</math>的因式，則'''多項式<math>A</math>的常數倍'''也是多項式<math>C</math>的因式。
#*例子：因為<math>x+1</math>是<math>x^2+4x+3</math>的因式，所以<math>2x+2=2(x+1)</math>、<math>\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}=\frac{2}{5}(x+1)</math>也是<math>x^2+4x+3</math>的因式。<br/>
'''小測'''
<quiz>
{已知<math>x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5)</math>，請問哪一個是<math>x^{2}+6x+5</math>的因式？
|type="()"}
- <math>5x+1</math>
+ <math>5x+5</math>
- <math>5x-1</math>
- <math>5x-5</math>

{以下哪一個是<math>x^{2}-2x-8</math>的因式？
|type="()"}
- <math>x^{2}-2x+8</math>
- <math>2x^{2}-2x-8</math>
+ <math>2x^{2}-4x-16</math>
- <math>3x^{2}+6x+24</math>
</quiz>

==公因式==
若多項式<math>A</math>是多項式<math>C</math>的因式，也是多項式<math>D</math>的因式，則我們稱多項式<math>A</math>是多項式<math>C</math>、<math>D</math>的'''公因式'''。

*如：<math>x+1</math>是<math>x^2+4x+3</math>的因式，<math>x+1</math>也是<math>x^2-x-2</math>的因式，所以<math>x+1</math>是<math>x^2+4x+3</math>與<math>x^2-x-2</math>的公因式。
==因式分解==
[[多項式]]的'''因式分解'''是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。

如：<math>x^2+x=x(x+1)</math>，<math>x(x+1)</math>稱作<math>x^2+x</math>的因式分解。
===已知因式作因式分解===
是個可遇不可求的方式，不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」，可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。<br/>
在二次式當中，如果已知某一個一次因式，只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式，進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的'''乘積'''。)
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}已知多項式<math>6x^{2}-13x+6</math>有一個因式<math>3x-2</math>，請因式分解<math>6x^{2}-13x+6</math>。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(6x^{2}-13x+6) \div (3x-2)=2x-3</math>，故<math>6x^{2}-13x+6=(3x-2)(2x-3)</math>。<ref group="註">多項式的除法請見[[國中數學/國中數學八年級/1-3 多項式的乘除運算|1-3 多項式的乘除運算]]。</ref>
{{Robox/Close}}
===提出公因式===
找出多個式子當中的'''最高次數公因式'''，並利用[[國中數學/數的運算規則#分配律|分配律]]將此公因式提出，剩餘部分合併的方法。
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}因式分解<math>3x^{2}+4x</math>。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>3x^2</math>和<math>4x</math>都有公因式<math>x</math>，故提出<math>x</math>：<br/>
<math>3x^2+4x=x \cdot (3x)+x \cdot 4=x(3x+4)</math>
{{Robox/Close}}

注意：
#如果係數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然<math>4x^2+6x=x(4x+6)</math>，不過<math>4x+6</math>的係數<math>4</math>與<math>6</math>有公因數<math>2</math>，故可以將<math>2</math>提出，得到<math>4x^2+6x=2x(2x+3)</math>。
#除非有特別要求，一般來說，因式的各項係數都要為整數。

{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}因式分解<math>(3x+4)(5x-2)-(3x+4)(6x-5)</math>。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}<math>(3x+4)(5x-2)</math>和<math>(3x+4)(6x-5)</math>都有公因式<math>3x+4</math>，故提出<math>3x+4</math>：<br/>
<math>(3x+4)(5x-2)-(3x+4)(6x-5)=(3x+4)[(5x-2)-(6x-5)]</math><ref group="註">關於這裡的計算，請見七年級教材[[國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式#去括號規則|3-1 一元一次式 ]]。</ref><math>=(3x+4)(-x+3)=-(3x+4)(x-3)</math>。
{{Robox/Close}}
注意：
*在作因式分解的時候，如果最高項係數為負數，我們會將負號提出。
另外有趣的事情是，有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}因式分解<math>(x+3)^{2}(x-5)+(x+3)(x-5)^{2}</math>。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(x+3)^{2}(x-5)</math>和<math>(x+3)(x-5)^{2}</math>都有公因式<math>(x+3)(x-5)</math>，故提出<math>(x+3)(x-5)</math>：<br/>
<math>(x+3)^{2}(x-5)+(x+3)(x-5)^{2}=(x+3)(x-5)[(x+3)+(x-5)]=(x+3)(x-5)(2x-2)=2(x+3)(x-5)(x-1)</math>。
{{Robox/Close}}
===先變號再提公因式===
接下來來看一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。
{{ExampleRobox|title=例題<math>5</math>}}因式分解<math>(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)</math>。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(x+7)(5-2x)</math>可以改寫成<math>-(x+7)(2x-5)</math>，<br/>
<math>(3x+1)(2x-5)</math>和<math>-(x+7)(2x-5)</math>都有公因式<math>2x-5</math>，故提出<math>2x-5</math>：<br/>
<math>(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)=(2x-5)[(3x+1)-(x+7)]=(2x-5)(2x-6)=2(x-3)(2x-5)</math>
{{Robox/Close}}
注意：
#<math>b-ax=-(ax-b)</math>。
#<math>(b-ax)^{2}=(ax-b)^{2}</math>。
#<math>b-ax</math>的奇數次方交換時要加負號，變成<math>-(ax-b)</math>；<math>b-ax</math>的偶數次方交換時不用加負號，直接改成<math>ax-b</math>。
===先提出公因數再因式分解===
再來底下是一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。
{{ExampleRobox|title=例題<math>6</math>}}因式分解<math>(6x+4)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)</math>。
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
<math>(6x+4)(2x-5)</math>可以改寫成<math>2(3x+2)(2x-5)</math>，<br/>
<math>2(3x+2)(2x-5)</math>和<math>(3x+2)(2x+1)</math>都有公因式<math>3x+2</math>，故提出<math>3x+2</math>：<br/>
<math>(6x+4)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)=2(3x+2)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)=(3x+2)[2(2x-5)+(2x+1)]</math>
<math>=(3x+2)(6x-9)=3(3x+2)(2x-3)</math>。
{{Robox/Close}}

==課後習題==
#以下哪一個多項式為<math>x^{2}-3x-21</math>的因式？
#:<math>\begin{matrix}
(A) & x+7 & & (B) & x-7 & &
(C) & x+2 & & (D) & x-4
\end{matrix}</math><ref group="解答">(B)。<math>(x^2-3x-21) \div (x-7)=(x+4) \dots 0</math>，故選(B)。</ref>
#以下哪一個多項式為<math>x^{2}-2x-8</math>的因式分解？
#:<math>\begin{matrix}
(A) & (x+2)(x-4) & & (B) & x(x-2)-8 & &
(C) & x(x+2)-4(x+2) & & (D) & x^{2}-2(x+4)
\end{matrix}</math><ref group="解答">(A)。</ref>
#已知<math>2x^{2}-7x+3=(2x-1)(x-3)</math>，則以下哪些是<math>2x^{2}-7x+3</math>的因式？
#:<math>(1) 2x-1</math>
#:<math>(2)  x-3</math>
#:<math>(3) 2x-6</math>
#:<math>(4)  x-1</math>
#:<math>(5)6x^{2}-21x+9</math>
#:<math>(6) 5</math><ref group="解答"><math>(1)(2)(3)(5)(6)</math>是。</ref>
#以下哪些是<math>6x^{3}</math>的因式？
#:<math>(1) 5</math>
#:<math>(2) 3x</math>
#:<math>(3) 4x^{2}</math>
#:<math>(4) \frac{1}{2}x^{3}</math>
#:<math>(5) 2x^{4}</math><ref group="解答"><math>(1)(2)(3)(4)</math>是。</ref>
#已知<math>3x-5</math>是<math>3x^{2}-29x+40</math>的因式，請因式分解<math>3x^{2}-29x+40</math>。<ref group="解答"><math>3x^{2}-29x+40=(3x-5)(x-8)</math>。</ref>
#設<math>M=(3x+1)(2x+3)</math>，<math>N=(3x-1)(2x+3)</math>，則：
#:<math>(1)M</math>和<math>N</math>的公因式為何？
#::<math>\begin{matrix}
(A) & 3x+1 & & (B) & 3x-1 & &
(C) & 2x+3 & & (D) & 2x-3
\end{matrix}</math>
#:<math>(2)</math>因式分解<math>(3x+1)(2x+3)+(3x-1)(2x+3)</math>。<ref group="解答"><math>(1)(C)</math>。<math>(2)6x(2x+3)</math>。</ref>
#因式分解<math>3xy^{2}-6x^{2}y-9xy</math>。<ref group="解答"><math>-3xy(2x-y+3)</math>。</ref>
#因式分解<math>3a(x+3)^{2}-4a^2(x+3)</math>。<ref group="解答"><math>a(x+3)(3x-4a+9)</math>。</ref>
#因式分解<math>5(x-7)^{2}-4(7-x)</math>。<ref group="解答"><math>(x-7)(5x-31)</math>。</ref>
#因式分解<math>2(3x-2)-4(2-3x)^{2}</math>。<ref group="解答"><math>-2(3x-2)(6x-5)</math>。</ref>
#因式分解<math>225x^{2}-64x</math>。<ref group="解答"><math>x(225x-64)</math>。</ref>
#因式分解<math>(3x+2)^{2}-6x-4</math>。<ref group="解答"><math>3x(3x+2)</math>。</ref>
==注釋==
<references group="註" />
==習題解答==
<references group="解答" />

==課外補充==
===分組分解===
<math>ax+bx+ay+by</math>彼此之間並沒有公因式，但是如果分成兩個部分
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"><math>(ax+bx)+(ay+by)</math></div>
則<math>ax+bx</math>可以改寫成<math>x(a+b)</math>；<math>ay+by</math>可以改寫成<math>y(a+b)</math>

這時有公因式<math>(a+b)</math>，可以提出<math>(a+b)</math>這個公因式：
:<math>ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)</math>
這樣的作法叫做「分組分解」。

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