國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解

Template:Header2 本章節為了介紹解一元二次方程式的方式，於是我們介紹關於因式的觀念，並且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

定義

設三個多項式 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 滿足 $A \times B$ ＝ $C$ ，則稱 $A$ 、 $B$ 為 $C$ 的因式。^{[註 1]}

如： $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2$ ，所以 $x + 1$ 、 $x - 2$ 都是 $x^{2} - x - 2$ 的因式。

因式的判斷

若多項式 $C$ 除以多項式 $A$ 的餘式為 $0$ ，則我們稱 $A$ 為 $C$ 的因式。^{[註 2]}

如： $(x^{2} + 4 x + 3) \div (x + 1)$ 的商式為 $x + 3$ ，餘式為 $0$ ，所以 $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式。

注意

若c是任意一個非零常數，則c是一個多項式，而且若A是一個多項式，則1cA也是一個多項式。又因為A＝c×(1cA)，所以c與1cA都是多項式A的因式。故任意一個非零常數、多項式 $A$ 的常數倍都是多項式A的因式。
- 例子： $2 (x^{2} + x - 2)$ 、 $\frac{2}{5} (x^{2} + x - 2)$ 、 $π$ (圓周率)都是 $x^{2} + x - 2$ 的因式。
若三個多項式A、B、C滿足A×B=C，則對於一個非零常數c，C=(cA)×(1cB)，所以若多項式A為多項式C的因式，則多項式 $A$ 的常數倍也是多項式C的因式。
- 例子：因為 $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式，所以 $2 x + 2 = 2 (x + 1)$ 、 $\frac{2}{5} x + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} (x + 1)$ 也是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式。

小測 <quiz> {已知 $x^{2} + 6 x + 5 = (x + 1) (x + 5)$ ，請問哪一個是 $x^{2} + 6 x + 5$ 的因式？ |type="()"} - $5 x + 1$ + $5 x + 5$ - $5 x - 1$ - $5 x - 5$

{以下哪一個是 $x^{2} - 2 x - 8$ 的因式？ |type="()"} - $x^{2} - 2 x + 8$ - $2 x^{2} - 2 x - 8$ + $2 x^{2} - 4 x - 16$ - $3 x^{2} + 6 x + 24$ </quiz>

公因式

若多項式 $A$ 是多項式 $C$ 的因式，也是多項式 $D$ 的因式，則我們稱多項式 $A$ 是多項式 $C$ 、 $D$ 的公因式。

如： $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式， $x + 1$ 也是 $x^{2} - x - 2$ 的因式，所以 $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 與 $x^{2} - x - 2$ 的公因式。

因式分解

多項式的因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。

如： $x^{2} + x = x (x + 1)$ ， $x (x + 1)$ 稱作 $x^{2} + x$ 的因式分解。

已知因式作因式分解

是個可遇不可求的方式，不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」，可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。
在二次式當中，如果已知某一個一次因式，只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式，進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的乘積。) Template:ExampleRobox已知多項式 $6 x^{2} - 13 x + 6$ 有一個因式 $3 x - 2$ ，請因式分解 $6 x^{2} - 13 x + 6$ 。 Template:Robox/Close Template:Robox $(6 x^{2} - 13 x + 6) \div (3 x - 2) = 2 x - 3$ ，故 $6 x^{2} - 13 x + 6 = (3 x - 2) (2 x - 3)$ 。^{[註 3]} Template:Robox/Close

提出公因式

找出多個式子當中的最高次數公因式，並利用分配律將此公因式提出，剩餘部分合併的方法。 Template:ExampleRobox因式分解 $3 x^{2} + 4 x$ 。 Template:Robox/Close Template:Robox $3 x^{2}$ 和 $4 x$ 都有公因式 $x$ ，故提出 $x$ ：
$3 x^{2} + 4 x = x \cdot (3 x) + x \cdot 4 = x (3 x + 4)$ Template:Robox/Close

注意：

如果係數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然 $4 x^{2} + 6 x = x (4 x + 6)$ ，不過 $4 x + 6$ 的係數 $4$ 與 $6$ 有公因數 $2$ ，故可以將 $2$ 提出，得到 $4 x^{2} + 6 x = 2 x (2 x + 3)$ 。
除非有特別要求，一般來說，因式的各項係數都要為整數。

Template:ExampleRobox因式分解 $(3 x + 4) (5 x - 2) - (3 x + 4) (6 x - 5)$ 。 Template:Robox/Close Template:Robox $(3 x + 4) (5 x - 2)$ 和 $(3 x + 4) (6 x - 5)$ 都有公因式 $3 x + 4$ ，故提出 $3 x + 4$ ：
$(3 x + 4) (5 x - 2) - (3 x + 4) (6 x - 5) = (3 x + 4) [(5 x - 2) - (6 x - 5)]$ ^{[註 4]} $= (3 x + 4) (- x + 3) = - (3 x + 4) (x - 3)$ 。 Template:Robox/Close 注意：

在作因式分解的時候，如果最高項係數為負數，我們會將負號提出。

另外有趣的事情是，有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。 Template:ExampleRobox因式分解 $(x + 3)^{2} (x - 5) + (x + 3) (x - 5)^{2}$ 。 Template:Robox/Close Template:Robox $(x + 3)^{2} (x - 5)$ 和 $(x + 3) (x - 5)^{2}$ 都有公因式 $(x + 3) (x - 5)$ ，故提出 $(x + 3) (x - 5)$ ：
$(x + 3)^{2} (x - 5) + (x + 3) (x - 5)^{2} = (x + 3) (x - 5) [(x + 3) + (x - 5)] = (x + 3) (x - 5) (2 x - 2) = 2 (x + 3) (x - 5) (x - 1)$ 。 Template:Robox/Close

先變號再提公因式

接下來來看一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。 Template:ExampleRobox因式分解 $(3 x + 1) (2 x - 5) + (x + 7) (5 - 2 x)$ 。 Template:Robox/Close Template:Robox $(x + 7) (5 - 2 x)$ 可以改寫成 $- (x + 7) (2 x - 5)$ ，
$(3 x + 1) (2 x - 5)$ 和 $- (x + 7) (2 x - 5)$ 都有公因式 $2 x - 5$ ，故提出 $2 x - 5$ ：
$(3 x + 1) (2 x - 5) + (x + 7) (5 - 2 x) = (2 x - 5) [(3 x + 1) - (x + 7)] = (2 x - 5) (2 x - 6) = 2 (x - 3) (2 x - 5)$ Template:Robox/Close 注意：

$b - a x = - (a x - b)$ 。
$(b - a x)^{2} = (a x - b)^{2}$ 。
$b - a x$ 的奇數次方交換時要加負號，變成 $- (a x - b)$ ； $b - a x$ 的偶數次方交換時不用加負號，直接改成 $a x - b$ 。

先提出公因數再因式分解

再來底下是一個看起來好像沒有公因式，但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。 Template:ExampleRobox因式分解 $(6 x + 4) (2 x - 5) + (3 x + 2) (2 x + 1)$ 。 Template:Robox/Close Template:Robox $(6 x + 4) (2 x - 5)$ 可以改寫成 $2 (3 x + 2) (2 x - 5)$ ，
$2 (3 x + 2) (2 x - 5)$ 和 $(3 x + 2) (2 x + 1)$ 都有公因式 $3 x + 2$ ，故提出 $3 x + 2$ ：
$(6 x + 4) (2 x - 5) + (3 x + 2) (2 x + 1) = 2 (3 x + 2) (2 x - 5) + (3 x + 2) (2 x + 1) = (3 x + 2) [2 (2 x - 5) + (2 x + 1)]$ $= (3 x + 2) (6 x - 9) = 3 (3 x + 2) (2 x - 3)$ 。 Template:Robox/Close

課後習題

以下哪一個多項式為 $x^{2} - 3 x - 21$ 的因式？
$\begin{matrix} (A) & x + 7 & (B) & x - 7 & (C) & x + 2 & (D) & x - 4 \end{matrix}$ ^{[解答 1]}
以下哪一個多項式為 $x^{2} - 2 x - 8$ 的因式分解？
$\begin{matrix} (A) & (x + 2) (x - 4) & (B) & x (x - 2) - 8 & (C) & x (x + 2) - 4 (x + 2) & (D) & x^{2} - 2 (x + 4) \end{matrix}$ ^{[解答 2]}
已知 $2 x^{2} - 7 x + 3 = (2 x - 1) (x - 3)$ ，則以下哪些是 $2 x^{2} - 7 x + 3$ 的因式？
$(1) 2 x - 1$

$(2) x - 3$

$(3) 2 x - 6$

$(4) x - 1$

$(5) 6 x^{2} - 21 x + 9$

$(6) 5$ ^{[解答 3]}
以下哪些是 $6 x^{3}$ 的因式？
$(1) 5$

$(2) 3 x$

$(3) 4 x^{2}$

$(4) \frac{1}{2} x^{3}$

$(5) 2 x^{4}$ ^{[解答 4]}
已知 $3 x - 5$ 是 $3 x^{2} - 29 x + 40$ 的因式，請因式分解 $3 x^{2} - 29 x + 40$ 。^{[解答 5]}
設 $M = (3 x + 1) (2 x + 3)$ ， $N = (3 x - 1) (2 x + 3)$ ，則：
$(1) M$ 和 $N$ 的公因式為何？
$\begin{matrix} (A) & 3 x + 1 & (B) & 3 x - 1 & (C) & 2 x + 3 & (D) & 2 x - 3 \end{matrix}$

$(2)$ 因式分解 $(3 x + 1) (2 x + 3) + (3 x - 1) (2 x + 3)$ 。^{[解答 6]}
因式分解 $3 x y^{2} - 6 x^{2} y - 9 x y$ 。^{[解答 7]}
因式分解 $3 a (x + 3)^{2} - 4 a^{2} (x + 3)$ 。^{[解答 8]}
因式分解 $5 (x - 7)^{2} - 4 (7 - x)$ 。^{[解答 9]}
因式分解 $2 (3 x - 2) - 4 (2 - 3 x)^{2}$ 。^{[解答 10]}
因式分解 $225 x^{2} - 64 x$ 。^{[解答 11]}
因式分解 $(3 x + 2)^{2} - 6 x - 4$ 。^{[解答 12]}

注釋

↑ 這時，多項式 $C$ 也會被稱作是多項式 $A$ 與 $B$ 的倍式。
↑ 若多項式 $C$ 除以多項式 $A$ 的商式為多項式 $B$ ，餘式為 $0$ ，則不僅僅多項式 $A$ 為多項式 $C$ 的因式，多項式 $B$ 也為多項式 $C$ 的因式。
↑ 多項式的除法請見1-3 多項式的乘除運算。
↑ 關於這裡的計算，請見七年級教材3-1 一元一次式。

習題解答

↑ (B)。 $(x^{2} - 3 x - 21) \div (x - 7) = (x + 4) \dots 0$ ，故選(B)。
↑ (A)。
↑ $(1) (2) (3) (5) (6)$ 是。
↑ $(1) (2) (3) (4)$ 是。
↑ $3 x^{2} - 29 x + 40 = (3 x - 5) (x - 8)$ 。
↑ $(1) (C)$ 。 $(2) 6 x (2 x + 3)$ 。
↑ $- 3 x y (2 x - y + 3)$ 。
↑ $a (x + 3) (3 x - 4 a + 9)$ 。
↑ $(x - 7) (5 x - 31)$ 。
↑ $- 2 (3 x - 2) (6 x - 5)$ 。
↑ $x (225 x - 64)$ 。
↑ $3 x (3 x + 2)$ 。

課外補充

分組分解

$a x + b x + a y + b y$ 彼此之間並沒有公因式，但是如果分成兩個部分

(a x + b x) + (a y + b y)

則 $a x + b x$ 可以改寫成 $x (a + b)$ ； $a y + b y$ 可以改寫成 $y (a + b)$

這時有公因式 $(a + b)$ ，可以提出 $(a + b)$ 這個公因式：

a x + b x + a y + b y = (a x + b x) + (a y + b y) = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

這樣的作法叫做「分組分解」。

[1] 這時，多項式 $C$ 也會被稱作是多項式 $A$ 與 $B$ 的倍式。

[2] 若多項式 $C$ 除以多項式 $A$ 的商式為多項式 $B$ ，餘式為 $0$ ，則不僅僅多項式 $A$ 為多項式 $C$ 的因式，多項式 $B$ 也為多項式 $C$ 的因式。

[3] 多項式的除法請見1-3 多項式的乘除運算。

[4] 關於這裡的計算，請見七年級教材3-1 一元一次式。

[5] (B)。 $(x^{2} - 3 x - 21) \div (x - 7) = (x + 4) \dots 0$ ，故選(B)。

[6] (A)。

[7] $(1) (2) (3) (5) (6)$ 是。

[8] $(1) (2) (3) (4)$ 是。

[9] $3 x^{2} - 29 x + 40 = (3 x - 5) (x - 8)$ 。

[10] $(1) (C)$ 。 $(2) 6 x (2 x + 3)$ 。

[11] $- 3 x y (2 x - y + 3)$ 。

[12] $a (x + 3) (3 x - 4 a + 9)$ 。

[13] $(x - 7) (5 x - 31)$ 。

[14] $- 2 (3 x - 2) (6 x - 5)$ 。

[15] $x (225 x - 64)$ 。

[16] $3 x (3 x + 2)$ 。

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[解答 4]

[解答 5]

[解答 6]

[解答 7]

[解答 8]

[解答 9]

[解答 10]

[解答 11]

[解答 12]

國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解

目录

因式

定義

因式的判斷

注意

公因式

因式分解

已知因式作因式分解

提出公因式

先變號再提公因式

先提出公因數再因式分解

課後習題

注釋

習題解答

課外補充

分組分解

导航菜单

國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解

因式

定義

因式的判斷

注意

公因式

因式分解

已知因式作因式分解

提出公因式

先變號再提公因式

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