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|title=[[國中數學/國中數學八年級|國中數學八年級]]
|section=7-1 變數與函數
}}
本章節我們將介紹變數與函數。
==變數==
<u>誠泰</u>書店的鉛筆每枝<math>15</math>元，<u>雨婷</u>到這家書店買了<math>x</math>枝鉛筆，總共花了<math>y</math>元，則我們可以列出關係式<math>y=15x</math>，而如果知道鉛筆的數量<math>x</math>，我們就可以知道<u>雨婷</u>所需要的花費<math>y</math>，這時文字符號<math>x</math>、<math>y</math>我們稱作<span style="color:red">'''變數'''</span>。而鉛筆的價格<math>15</math>元在此情境中不會任意更動，我們說<math>15</math>為<span style="color: red">'''常數'''</span>。<br/>

<big>'''小測'''</big>
<quiz>
{「一天有24小時，其中白天有<math>x</math>小時，夜晚有<math>y</math>小時，於是我們可以列出關係式<math>y=24-x</math>。」在這段敘述中，下列哪些是「變數」？（答案可能不只一個）
|type="[]"}
+ <math>x</math>
+ <math>y</math>
- <math>24</math>

{「<u>以涵</u>以時速<math>18</math>公里的速度騎腳踏車，過了<math>t</math>小時之後<u>以涵</u>總共騎乘<math>S</math>公里。我們可以列出關係式為<math>S=18t</math>。」在這段敘述中，下列哪些是「常數」？（答案可能不只一個）
|type="[]"}
- <math>S</math>
- <math>t</math>
+ <math>18</math>
</quiz>
==自變數與應變數(補充)==
在剛剛的<u>雨婷</u>買鉛筆的例子當中，我們知道：只要給定<math>x</math>，我們就能決定<math>y</math>的數值，此時我們稱<math>x</math>為<span style="color: blue">'''自變數'''</span>，<math>y</math>為<span style="color: blue">'''應變數'''</span>。
==函數==
給定一個合理的數<math>x</math>，如果<span style="color: red">'''恰好只有一個'''</span><math>y</math>與之對應，則我們稱<math>y</math>為<math>x</math>的<span style="color: red">'''函數'''</span><ref group="註">國中階段不提函數的符號<math>y=f(x)</math>。</ref><ref group="註">事實上，函數的自變數與應變數不一定是數，例如：<math>x</math>為<u>臺灣</u>人名，<math>y</math>是<math>x</math>的姓，此時由函數的定義可知<math>y</math>是<math>x</math>的函數。只是數學上大多討論「數」對應到「數」的函數。</ref>。讀者需要注意的是，要判斷<math>y</math>是否為<math>x</math>的函數，你必須判斷是不是只要給定一個合理的<math>x</math>，都只有對應到唯一的<math>y</math>值；反過來說，要判斷<math>x</math>是否為<math>y</math>的函數，你必須判斷是不是只要給定一個合理的<math>y</math>，都只有對應到唯一的<math>x</math>值。我們用以下的例子來說明。
{{ExampleRobox|title=例題<math>1</math>}}
某國中八年甲班有<math>10</math>位男生，將他們的身高列表如下：
{| class="wikitable"style="float: center;"
! 座號
| 1 
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6 
| 7
| 8 
| 9 
| 10
|-
! 身高(公分)
| 153
| 164
| 167
| 152
| 147
| 169
| 164
| 152
| 159
| 161
|}
#已知<u>富麟</u>是此班的<math>5</math>號，則<u>富麟</u>的身高是多少公分？
#知道此班某男生的座號，可以知道他的身高是多少公分嗎？「身高」是否為「座號」的函數？
#此班身高為<math>164</math>公分的學生座號是幾號？
#知道此班某男生的身高，可以知道他是幾號嗎？「座號」是否為「身高」的函數？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#從表格可知<math>5</math>號是<math>147</math>公分，所以<u>富麟</u>的身高是<math>147</math>公分。
#此班每個座號的男生都有他的身高，因此只要知道此班某男生的座號，透過表格就能夠知道他的身高。給定一個座號就能夠找到對應的身高，所以「身高」是「座號」的函數。
#從表格可知<math>164</math>公分的學生有<math>2</math>號和<math>7</math>號。
#不能確定，例如在第3題中，身高是<math>164</math>公分的學生有<math>2</math>號和<math>7</math>號，所以「座號」不是「身高」的函數。
{{Robox/Close}}
在這個例子中我們可以觀察到：雖然「身高」是「座號」的函數，但「座號」卻不是「身高」的函數，也就是說，「<math>y</math>是<math>x</math>的函數」並不代表「<math>x</math>是<math>y</math>的函數」。
<br/>
<br/>
<big>'''隨堂練習'''</big>
<br/>
<u>彩歆</u>記錄她每天的早餐花費金額，下表是她六月份前十天的紀錄。
{| class="wikitable"style="float: center;"
! 日期
| 1 
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6 
| 7
| 8 
| 9 
| 10
|-
! 早餐花費金額(元)
| 60
| 60
| 65
| 55
| 60
| 75
| 100
| 60
| 65
| 120
|}
#六月7日<u>彩歆</u>的早餐花費是多少元？<ref group="解"><math>100</math>元。</ref>
#知道六月1日到10日某一天的日期，是否可以知道<u>彩歆</u>早餐花費的金額？「早餐金額」是否為「日期」的函數？<ref group="解">是；是。</ref>
#六月的前十天當中，哪些日子<u>彩歆</u>的早餐花費的金額是<math>65</math>元？<ref group="解">六月<math>3</math>日、<math>9</math>日。</ref>
#知道早餐花費的金額，是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花費嗎？「日期」是否為「早餐金額」的函數？<ref group="解">否；否。</ref>
<br/>
函數關係可以透過列表觀察而得，也可以透過圖表獲得。如以下例題<math>2</math>所示。
{{ExampleRobox|title=例題<math>2</math>}}
在維基百科介紹關於[https://en.wikipedia.org/wiki/Thoralby Thoralby]這個<u>英格蘭</u>小鎮有一張人口趨勢圖，如下所示：

[[File:A line graph showing the population for Thoralby.jpg|A_line_graph_showing_the_population_for_Thoralby]]

此圖表的橫軸是<u>西</u>元年份，縱軸為人口數，單位是人。則看圖表回答下列問題：
#在<u>西</u>元<math>2010</math>年時，在Thoralby這個地區大約有多少位居民？
#給定<u>西</u>元年份，是否可以知道該年在Thoralby地區大約有多少位居民？「居民人數」是否為「<u>西</u>元年份」的函數？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#從折線圖可以看出Thoralby這個地區大約有<math>150</math>位居民。
#給定年份，往上交折線圖於一點，然後再往左對就會有大約的居民人數，所以「居民人數」是「<u>西</u>元年份」的函數。
{{Robox/Close}}
在例題<math>2</math>中，如果反過來，我們知道Thoralby地區的居民人數，但對應的年份可能有不只一個數值，所以「<u>西</u>元年份」並不是「居民人數」的函數。
<br/>
<br/>
函數可以「一對一」或「多對一」，但不可以「一對多」或「一對無」。理解函數關係，可以想像「函數」其實就像是體重計一樣，如果體重計是正常的沒有壞掉，則：
#只要有人站上體重計上面，就會有體重數值。
#可能有很多人的體重是一樣重的。
#你不能站上體重計，卻同時有好幾個不同的體重。（除非你還沒有站穩）
#你也不能站上體重計卻沒有任何體重。
<br/>
{{ExampleRobox|title=例題<math>3</math>}}
便利商店的綠茶每瓶<math>25</math>元。<u>小希</u>到便利商店買了<math>x</math>瓶綠茶和<math>1</math>個<math>45</math>元的御飯糰，在沒有任何優惠的情況下，<u>小希</u>總共要付<math>y</math>元。則：
#列出<math>x</math>與<math>y</math>的關係式。
#<math>y</math>是否為<math>x</math>的函數？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#<math>x</math>與<math>y</math>的關係式為<math>y=25x+45</math>。
#只要知道<u>小希</u>買了幾瓶綠茶，就會知道<u>小希</u>的花費，所以<math>y</math>是<math>x</math>的函數。
{{Robox/Close}}
<big>'''隨堂練習'''</big>
<br/>
正方形的邊長為<math>x</math>公分，面積為<math>y</math>平方公分。則：
#列出<math>x</math>與<math>y</math>的關係式。<ref group="解"><math>y=x^2</math>。</ref>
#<math>y</math>是否為<math>x</math>的函數？<ref group="解">是。</ref>
==函數值==
若<math>y</math>是<math>x</math>的函數，則當<math>x=a</math>的<math>y</math>值，我們稱作此函數在<math>x=a</math>時的<span style="color: blue">'''函數值'''</span><ref group="註">設函數<math>y=f(x)</math>，則<math>x=a</math>的函數值我們用<math>f(a)</math>來表示。</ref>。
{{ExampleRobox|title=例題<math>4</math>}}
設函數<math>y=5x+3</math>。
#求<math>x=2</math>的函數值。
#若<math>x=a</math>時，得到的函數值<math>y=63</math>，則<math>a</math>是多少？
{{Robox/Close}}
{{Robox|theme=5|title=解}}
#將<math>x=2</math>代入函數<math>y=5x+3</math>可知函數值為<math>y=5 \times 2+3=10+3=13</math>。
#將<math>x=a</math>代入函數<math>y=5x+3</math>可知函數值為<math>y=5 \times a+3=5a+3</math>，而題目說此數為<math>63</math>，所以可以列出[[國中數學/國中數學七年級/3-2 解一元一次方程式|一元一次方程式]]<math>5a+3=63 \Rightarrow 5a=60 \Rightarrow a=12</math>。
{{Robox/Close}}
<big>'''隨堂練習'''</big>
<br/>
設函數<math>y=2x-7</math>。則：
#求<math>x=-5</math>的函數值。<ref group="解"><math>-17</math>。</ref>
#設<math>a</math>是整數，且<math>x=a</math>時其函數值為負數，則<math>a</math>最大是多少？<ref group="解"><math>3</math>。<math>2a-7<0 \Rightarrow 2a<7 \Rightarrow a<\frac{7}{2}=3 \frac{1}{2}</math>，所以<math>a</math>最大是<math>3</math>。</ref>

==註解==
<references group="註" />
==隨堂練習解答==
<references group="解" />