國中數學/國中數學八年級/7-1 變數與函數

Template:Header2 本章節我們將介紹變數與函數。

變數

誠泰書店的鉛筆每枝$15$元，雨婷到這家書店買了$x$枝鉛筆，總共花了$y$元，則我們可以列出關係式$y=15x$，而如果知道鉛筆的數量$x$，我們就可以知道雨婷所需要的花費$y$，這時文字符號$x$、$y$我們稱作變數。而鉛筆的價格$15$元在此情境中不會任意更動，我們說$15$為常數。

小測 <quiz> {「一天有24小時，其中白天有$x$小時，夜晚有$y$小時，於是我們可以列出關係式$y=24-x$。」在這段敘述中，下列哪些是「變數」？（答案可能不只一個） |type="[]"} + $x$ + $y$ - $24$

{「以涵以時速$18$公里的速度騎腳踏車，過了$t$小時之後以涵總共騎乘$S$公里。我們可以列出關係式為$S=18t$。」在這段敘述中，下列哪些是「常數」？（答案可能不只一個） |type="[]"} - $S$ - $t$ + $18$ </quiz>

自變數與應變數(補充)

在剛剛的雨婷買鉛筆的例子當中，我們知道：只要給定$x$，我們就能決定$y$的數值，此時我們稱$x$為自變數，$y$為應變數。

函數

給定一個合理的數$x$，如果恰好只有一個$y$與之對應，則我們稱$y$為$x$的函數。讀者需要注意的是，要判斷$y$是否為$x$的函數，你必須判斷是不是只要給定一個合理的$x$，都只有對應到唯一的$y$值；反過來說，要判斷$x$是否為$y$的函數，你必須判斷是不是只要給定一個合理的$y$，都只有對應到唯一的$x$值。我們用以下的例子來說明。 Template:ExampleRobox 某國中八年甲班有$10$位男生，將他們的身高列表如下：

座號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高(公分)	153	164	167	152	147	169	164	152	159	161

1. 已知富麟是此班的$5$號，則富麟的身高是多少公分？
2. 知道此班某男生的座號，可以知道他的身高是多少公分嗎？「身高」是否為「座號」的函數？
3. 此班身高為$164$公分的學生座號是幾號？
4. 知道此班某男生的身高，可以知道他是幾號嗎？「座號」是否為「身高」的函數？

1. 從表格可知$5$號是$147$公分，所以富麟的身高是$147$公分。
2. 此班每個座號的男生都有他的身高，因此只要知道此班某男生的座號，透過表格就能夠知道他的身高。給定一個座號就能夠找到對應的身高，所以「身高」是「座號」的函數。
3. 從表格可知$164$公分的學生有$2$號和$7$號。
4. 不能確定，例如在第3題中，身高是$164$公分的學生有$2$號和$7$號，所以「座號」不是「身高」的函數。

Template:Robox/Close 在這個例子中我們可以觀察到：雖然「身高」是「座號」的函數，但「座號」卻不是「身高」的函數，也就是說，「$y$是$x$的函數」並不代表「$x$是$y$的函數」。

隨堂練習
彩歆記錄她每天的早餐花費金額，下表是她六月份前十天的紀錄。

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
早餐花費金額(元)	60	60	65	55	60	75	100	60	65	120

1. 六月7日彩歆的早餐花費是多少元？
2. 知道六月1日到10日某一天的日期，是否可以知道彩歆早餐花費的金額？「早餐金額」是否為「日期」的函數？
3. 六月的前十天當中，哪些日子彩歆的早餐花費的金額是$65$元？
4. 知道早餐花費的金額，是否可以知道那是六月1日到10日哪一天的花費嗎？「日期」是否為「早餐金額」的函數？

函數關係可以透過列表觀察而得，也可以透過圖表獲得。如以下例題$2$所示。 Template:ExampleRobox 在維基百科介紹關於Thoralby這個英格蘭小鎮有一張人口趨勢圖，如下所示：

此圖表的橫軸是西元年份，縱軸為人口數，單位是人。則看圖表回答下列問題：

1. 在西元$2010$年時，在Thoralby這個地區大約有多少位居民？
2. 給定西元年份，是否可以知道該年在Thoralby地區大約有多少位居民？「居民人數」是否為「西元年份」的函數？

1. 從折線圖可以看出Thoralby這個地區大約有$150$位居民。
2. 給定年份，往上交折線圖於一點，然後再往左對就會有大約的居民人數，所以「居民人數」是「西元年份」的函數。

Template:Robox/Close 在例題$2$中，如果反過來，我們知道Thoralby地區的居民人數，但對應的年份可能有不只一個數值，所以「西元年份」並不是「居民人數」的函數。

函數可以「一對一」或「多對一」，但不可以「一對多」或「一對無」。理解函數關係，可以想像「函數」其實就像是體重計一樣，如果體重計是正常的沒有壞掉，則：

1. 只要有人站上體重計上面，就會有體重數值。
2. 可能有很多人的體重是一樣重的。
3. 你不能站上體重計，卻同時有好幾個不同的體重。（除非你還沒有站穩）
4. 你也不能站上體重計卻沒有任何體重。

Template:ExampleRobox 便利商店的綠茶每瓶$25$元。小希到便利商店買了$x$瓶綠茶和$1$個$45$元的御飯糰，在沒有任何優惠的情況下，小希總共要付$y$元。則：

1. 列出$x$與$y$的關係式。
2. $y$是否為$x$的函數？

1. $x$與$y$的關係式為$y=25x+45$。
2. 只要知道小希買了幾瓶綠茶，就會知道小希的花費，所以$y$是$x$的函數。

Template:Robox/Close 隨堂練習
正方形的邊長為$x$公分，面積為$y$平方公分。則：

1. 列出$x$與$y$的關係式。
2. $y$是否為$x$的函數？

函數值

若$y$是$x$的函數，則當$x=a$的$y$值，我們稱作此函數在$x=a$時的函數值。 Template:ExampleRobox 設函數$y=5x+3$。

1. 求$x=2$的函數值。
2. 若$x=a$時，得到的函數值$y=63$，則$a$是多少？

1. 將$x=2$代入函數$y=5x+3$可知函數值為$y=5\times 2+3=10+3=13$。
2. 將$x=a$代入函數$y=5x+3$可知函數值為$y=5\times a+3=5a+3$，而題目說此數為$63$，所以可以列出一元一次方程式$5a+3=63\Rightarrow 5a=60\Rightarrow a=12$。

Template:Robox/Close 隨堂練習
設函數$y=2x-7$。則：

1. 求$x=-5$的函數值。
2. 設$a$是整數，且$x=a$時其函數值為負數，則$a$最大是多少？