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[[國中數學]] > 絕對值

一個數的'''絕對值'''代表這個數在數線所代表的點與原點<math>0</math>的距離。

如<math>3</math>與原點的距離為<math>3</math>，所以<math>3</math>的絕對值為<math>3</math>。

<math>-3</math>與原點的距離為<math>3</math>，所以<math>-3</math>的絕對值為<math>3</math>。

==絕對值的符號==
一個數<math>a</math>的絕對值我們記作為<math>|a|</math>。

如<math>3</math>的絕對值為<math>3</math>，所以<math>|3|=3</math>。

<math>-3</math>的絕對值為<math>3</math>，所以<math>|-3|=3</math>。

==絕對值的性質==
#<math>0</math>的絕對值為<math>0</math>，即<math>|0|=0</math>。
#任意一個'''非零'''的數，其絕對值必定是正數。即若<math> a \neq 0</math>，則<math>|a|>0</math>。
#若一個數的絕對值是<math>0</math>，則這個數是<math>0</math>。即若<math>|a|=0</math>，則<math>a=0</math>。
#若<math>a</math>、<math>b</math>是任意兩個數，則<math>|a| \times |b|=|a \times b|</math>。
#若<math>a</math>、<math>b</math>是'''相異'''兩個數，而且<math>|a|=|b|</math>，則<math>a</math>、<math>b</math>互為[[國中數學/相反數|相反數]]。
==數線上兩點之間的距離==
 數線上有兩點<math>A(a)</math>、<math>B(b)</math>，則<math>A</math>、<math>B</math>之間的距離<math>\overline{AB}</math><ref group="註"><math>\overline{AB}</math>指的是以<math>A</math>、<math>B</math>兩點為兩端點的線段。</ref>為<math>|a-b|=|b-a|=</math>大的數<math>-</math>小的數。

例題<math>1.</math>數線上有三點<math>A(-15)</math>、<math>B(-2)</math>、<math>C(19)</math>，則：

<math>(1)\overline{AB}</math>的長度為何？<math>(2)\overline{AC}</math>的長度為何？<math>(3)\overline{BC}</math>的長度為何？
 解：<math>(1)\overline{AB}=|(-15)-(-2)|=|-13|=13</math>
     <math>(2)\overline{AC}=|(-15)-19|=|-34|=34</math>
     <math>(3)\overline{BC}=|(-2)-19|=|-21|=21</math>
===習題===
習題<math>1.</math>數線上有兩點<math>A(5)</math>、<math>B(-7)</math>，則<math>\overline{AB}</math>的長度為何？<ref group="解答"><math>\overline{AB}=|5-(-7)|=|12|=12</math>。</ref>

==中點==
已知數線上有'''相異'''的兩點<math>A(a)</math>、<math>B(b)</math>，若<math>C</math>到<math>A</math>、<math>B</math>的距離相等，則我們稱<math>C</math>為<math>A</math>、<math>B</math>兩點的'''中點'''，也可以稱作<math>\overline{AB}</math>的中點。

<math>C</math>為<math>A</math>、<math>B</math>兩點的中點，則<math>\overline{AC}=\overline{BC}</math>。

例題<math>2.</math>數線上有三點<math>A(-10)</math>、<math>B(12)</math>、<math>C(1)</math>，檢查<math>C</math>點是否為<math>\overline{AB}</math>的中點。
 解：因為<math>\overline{AC}=|(-10)-1|=|-11|=11</math>，<math>\overline{BC}=|12-1|=|11|=11</math>，所以<math>\overline{AC}=\overline{BC}</math>，即<math>C</math>點是<math>\overline{AB}</math>的中點。
===中點的坐標===
 已知數線上有'''相異'''的兩點<math>A(a)</math>、<math>B(b)</math>，<math>C</math>為<math>A</math>、<math>B</math>兩點的中點，則<math>C</math>點的坐標為<math>\frac{a+b}{2}</math>。<ref group="註">證明：假設<math>a>b</math>，則<math>A(a)</math>、<math>B(b)</math>的距離等於<math>a-b</math>，
又<math>C</math>為<math>A</math>、<math>B</math>兩點的中點，所以<math>A</math>到<math>C</math>的距離為<math>\frac{a-b}{2}</math>，
<math>C</math>點在<math>A</math>的左方<math>\frac{a-b}{2}</math>單位，所以<math>C</math>的坐標為<math>a-\frac{a-b}{2}=\frac{2a}{2}-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}</math>。</ref>

==課外補充==
#(三角不等式)若<math>a</math>、<math>b</math>是任意兩個數，則<math>|a|+|b| \geq |a+b|</math>。<ref group="註">「<math>\geq</math>」指的是「大於等於」，詳細內容請見[[國中數學/一元一次不等式|一元一次不等式]]。</ref>
#(內分點公式)已知<math>A(a)</math>、<math>B(b)</math>為任意兩相異點，<math>m</math>、<math>n</math>為正數，<math>C</math>在<math>\overline{AB}</math>上且<math>\overline{AC}</math>：<math>\overline{BC}=m</math>：<math>n</math>，則<math>C</math>點坐標為<math>\frac{na+mb}{m+n}</math>。
==參見==
*[[國中數學/相反數|相反數]]
*[[高中數學/數線上的幾何|數線上的幾何]](高中數學)
==註解==

<references group="註" />
==習題解答==
<references group="解答" />
[[Category:國中數學]]