國中數學/絕對值

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國中數學 > 絕對值

一個數的絕對值代表這個數在數線所代表的點與原點0的距離。

如3與原點的距離為3，所以3的絕對值為3。

−3與原點的距離為3，所以−3的絕對值為3。

絕對值的符號

一個數a的絕對值我們記作為|a|。

如3的絕對值為3，所以|3|=3。

−3的絕對值為3，所以|−3|=3。

絕對值的性質

  1. 0的絕對值為0，即|0|=0。
  2. 任意一個非零的數，其絕對值必定是正數。即若a≠0，則|a|>0。
  3. 若一個數的絕對值是0，則這個數是0。即若|a|=0，則a=0。
  4. 若a、b是任意兩個數，則|a|×|b|=|a×b|。
  5. 若a、b是相異兩個數，而且|a|=|b|，則a、b互為相反數。

數線上兩點之間的距離

數線上有兩點A(a)、B(b)，則A、B之間的距離AB‾[註 1]為|a−b|=|b−a|=大的數−小的數。

例題1.數線上有三點A(−15)、B(−2)、C(19)，則：

(1)AB‾的長度為何？(2)AC‾的長度為何？(3)BC‾的長度為何？ 

解：(1)AB‾=|(−15)−(−2)|=|−13|=13
    (2)AC‾=|(−15)−19|=|−34|=34
    (3)BC‾=|(−2)−19|=|−21|=21

習題

習題1.數線上有兩點A(5)、B(−7)，則AB‾的長度為何？[解答 1]

中點

已知數線上有相異的兩點A(a)、B(b)，若C到A、B的距離相等，則我們稱C為A、B兩點的中點，也可以稱作AB‾的中點。

C為A、B兩點的中點，則AC‾=BC‾。

例題2.數線上有三點A(−10)、B(12)、C(1)，檢查C點是否為AB‾的中點。 

解：因為AC‾=|(−10)−1|=|−11|=11，BC‾=|12−1|=|11|=11，所以AC‾=BC‾，即C點是AB‾的中點。

中點的坐標

已知數線上有相異的兩點A(a)、B(b)，C為A、B兩點的中點，則C點的坐標為a+b2。[註 2]

課外補充

  1. (三角不等式)若a、b是任意兩個數，則|a|+|b|≥|a+b|。[註 3]
  2. (內分點公式)已知A(a)、B(b)為任意兩相異點，m、n為正數，C在AB‾上且AC‾：BC‾=m：n，則C點坐標為na+mbm+n。

參見

註解

  1. ↑ AB‾指的是以A、B兩點為兩端點的線段。
  2. ↑ 證明：假設a>b，則A(a)、B(b)的距離等於a−b， 又C為A、B兩點的中點，所以A到C的距離為a−b2， C點在A的左方a−b2單位，所以C的坐標為a−a−b2=2a2−a−b2=a+b2。
  3. ↑ 「≥」指的是「大於等於」，詳細內容請見一元一次不等式。

習題解答

  1. ↑ AB‾=|5−(−7)|=|12|=12。
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