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[[分類:數學]]
==先備練習==
#將 (1+1) 從一次方乘到四次
#將 (x+1) 從一次方乘到四次
#將 (a+b) 從一次方乘到四次

*多項式
*#項
*#係數
*#次
*#元
*楊輝三角形：<math>\left(a+b\right)^{n}</math> 展开的系数 [[file:PascalTriangleAnimated2.gif]]
===切線斜率、微分、導數===
設 <math>y=f(x)</math>，則函數 <math>f</math>在 <math>a</math>點切線斜率、微分、導數、<math>f'(a)</math>、<math>\frac{dy}{dx}</math>、<math>\frac{d\,f(x)}{dx}</math>、<math>\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}</math>、<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math> 都代表同一個意思。

==一元多次方程式的微分==
===微分的方法===
y=ƒ(x)：
*單項式的 ƒ'(x)
*:<math>f(x)=ax^n</math>
*:<math>f'(x)=anx^{n-1}</math>
*#ax<sup>n</sup> 對 x 的微分為 anx<sup>n-1</sup> ，請證明
*#n 為 0 (即常數)，則微分為 0。因為微分代表「變化」，常數沒有變化。
*#除 0 之外，n 不管是正數或負數、整數或非整數都成立，
*多項式的 ƒ'(x)
*#每個單項皆微分
*#常數項微分為 0
*[http://www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c4_5/bud.htm 微分之應用問題]
*[http://webcai.math.fcu.edu.tw/calculus/calculus_html/3-1/Derivative.htm 更多例題]
===與微分的相關的性質===
*極限存在，它的左右極限存在且相等。
*函數在一點可導的條件是：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。
*dy=ƒ'(x) dx 即 ƒ'(x) 曲線與 <math>x</math> 軸所夾的微小面積。
<div class="thumbinner" style="width:608px;max-width:608px">
<div style="clear:both;font-weight:bold;text-align:center;background-color:">長條面積總和</div>
<div class="tsingle" style="float:left;margin:1px;width:302px;max-width:302px">
<div class="thumbimage">[[File:Riemann Integration and Darboux Upper Sums.gif|300px]]</div>
<div class="thumbcaption" style="clear:left">
<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">函數 <span class="texhtml"><i>y</i> = <i>x</i><sup>2</sup></span> 的上長條總和</div>
</div>
</div>
<div class="tsingle" style="float:left;margin:1px;width:302px;max-width:302px">
<div class="thumbimage">[[File:Riemann Integration and Darboux Lower Sums.gif|300px]]</div>
<div class="thumbcaption" style="clear:left">
<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">函數 <span class="texhtml"><i>y</i> = <i>x</i><sup>2</sup></span> 的下長條總和</div>
</div>
</div>
</div>
*原函數 ƒ(x)=0 時，x 值稱為方程式的根。此處為函數圖形與 <math>x</math> 軸之交點。
*函數 ƒ(x) 與其導數函數 ƒ'(x) 的關係：
*#函數的轉彎處 → 斜率為 0，ƒ'(x) 為 0 處，ƒ(x) 有極大值或極小值，斜率由正轉負時有極大值，斜率由負轉正時有極小值。
*#一系列的函數 ƒ(x) + C ，有相同的導函數 ƒ'(x) 。

===[https://zh.wikipedia.org/zh-tw/Category:求導法則 求導法則]===
適用所有可微分的方程式。<br/>
<table class=wikitable>
<tr><th>法則</th><th>表示式</th><th>簡記</th><th>口訣</th></tr>
<tr><th>常數微分</th><td><math>\frac{d\,C}{dx}=0</math></td><td>常數'=0</td><td>常數微分為零</td></tr>
<tr><th>常係數微分</th><td><math>\frac{d\,(C\times f(x))}{dx}=C\times\frac{d\,(f(x))}{dx}</math></td><td>(Cƒ(x))'=Cƒ'(x)</td><td>常係數可提出</td></tr>
<tr><th>[https://zh.wikipedia.org/zh-tw/乘積法則 乘積法則]</th><td><math>\begin{align}\frac{d\,(f(x)\times g(x))}{dx} &=\frac{d\,(f(x))}{dx}\times g(x)+f(x)\times\frac{d\,(g(x))}{dx} \\ &= f'(x)\times g(x)+f(x)\times g'(x)\end{align}</math></td><td>(fg)'=f'g+fg'</td><td>前導後不導<br/>+前不導後導</td></tr>
<tr><th>[https://zh.wikipedia.org/zh-tw/鏈式法則 鏈式法則]</th><td><math>\frac{d\,(f(x))}{dx}=\frac{d\,(f(x))}{d\,(g(x))} \times \frac{d\,(g(x))}{dx}</math> 或 <math>d\,(f(x))=d\,(f(x)) \times \frac{d\,(g(x))}{d\,(g(x))}</math></td><td><math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}</math></td><td>分子分母同乘d(g(x))</td></tr>
</table>
===多項式的圖形===
#零次：[[File:Polynomialdeg0.svg|150px]]，[[File:Mplwp polynomialdeg0.svg|150px]]
#一次：[[File:Polynomialdeg1.svg|150px]]，[[File:Mplwp polynomialdeg1.svg|150px]]
#二次：[[File:Polynomialdeg 2.svg|150px]]，[[File:Mplwp polynomialdeg2.svg|150px]]，[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Category:Parabolas 更多拋物線圖形]
#三次：[[File:Polynomialdeg3.svg|150px]]，[[File:Mplwp polynomialdeg3.svg|150px]]
#四次：[[File:Polynomialdeg4.svg|150px]]，[[File:Mplwp polynomialdeg4.svg|150px]]
#五次：[[File:Polynomialdeg5.svg|150px]]，[[File:Mplwp polynomialdeg5.svg|150px]]

==一元二次方程式的配方法==
由乘法公式 <math>(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2</math>，可以對任意一元二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> 進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：
===推導過程一：求函數值===

<math>\begin{align}
y &= f(x) \\
\\ &= ax^2 + bx + c \\
\\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right) \\
\\ &= a\left[x^2 + 2\left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right] \\
\\ &= a\left[x^2 + 2\left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right] \\
\\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac}{4a^2}\right] \\
\\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}\right] \\
\\ &= a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \\
\end{align}</math>

===== 函數值與圖形的關係 =====

#<math>a>0</math> 時右側斜向上，拋物線開口向上[[file:Parabola.svg|30px]]，有極小值
#<math>a<0</math> 時右側斜向下，拋物線開口向下[[File:Inverted parabola.svg|30px]]，有極大值
#<math>x+\frac{b}{2a}=0</math> 或 <math>x=-\frac{b}{2a}</math> 時有極大值或極小值 <math>c - \frac{b^2}{4a}</math>
#<math>a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)=0</math>（即圖形交 <math>y=0</math>）時為兩根

===推導過程二：求根===

<math>ax^2 + bx + c = 0 \implies x^2 + \frac{b}{a}\,x + \frac{c}{a} = 0</math>

<math>x^2 + \frac{b}{a}\,x + \frac{c}{a} = 0 \implies x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \frac{c}{a} = 0</math>

<math>x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+\frac{c}{a}=0
\implies x^2+2\left(\frac{b}{2a}\right)x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\,\frac{c}{a}=\left(\frac{b}{2a}\right)^2</math>

<math>x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \,\frac{c}{a} =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2
\implies\, x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2  =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \,\frac{c}{a}</math>

<math>x^2 + 2 \left ( \frac{b}{2a} \right ) x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^2  =  \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 - \,\frac{c}{a}
\implies \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}</math>

<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
\implies x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

<math>x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\implies x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

===== 根與係數的關係 =====
設一元二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> 的解為 <math>w</math> 和 <math>z</math> ，則有以下關係式：

*<math>w+z = - \frac{b}{a} </math>

*<math>wz = \frac{c}{a}</math>   

這兩個公式由設 <math>w</math> 和 <math>z</math> 為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出。

====基本例題====
{{小学数学-习题图标}}

# <math>x^2=16</math>
# <math>x^2-x=30</math>
# <math>4x^2+4x+4=3</math>
{{Tool expandable box|答案
|2={{小学数学-答案图标}}

1.
*<math>x^2=16</math>
*<math>x=4</math> 或 <math>x=-4</math>
*<math>x=\pm 4</math>
2.
*<math>x^2-x=30</math>
*<math>(x-0.5)^2-0.25=30</math>
*<math>(x-0.5)^2=30.25</math>
*<math>x-0.5=5.5</math> 或 <math>-5.5</math>
*<math>x=6</math> 或 <math>-5</math>
3.
*<math>4x^2+4x+4=3</math>
*<math>4x^2+4x+1=0</math>
*<math>(2x+1)^2=0</math>
*<math>x=-0.5</math> (重根)
}}

===配方法的圖解===
<TABLE>
<tr><th>[[File:Completing the square.gif]]<br/><br/><br/>[[File:Completing the square.ogv|400px]]</th><th>令 a=1,C=-c<br/>[[File:Completing the square 2.svg|200px]]</th></tr>
</TABLE>