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{{Exercise|
Image=Image:Calculus_cover.jpg|
Exercise=微积分学/不定积分/练习|
Answer=微积分学/不定积分/练习答案|
}}

==定义==
设<math>F(x)</math>是区间<math>I</math>上的可导函数。若对任给<math>x\in I</math>，有<math>F'(x)=f(x)</math>或<math>dF(x)=f(x)dx</math>，则称<math>F(x)</math>为<math>f(x)</math>在<math>I</math>上的一个'''原函数'''，或简单地说，<math>F(x)</math>是<math>f(x)</math>的原函数。

设<math>F(x)</math>是<math>f(x)</math>在区间<math>I</math>上的一个原函数，则称<math>F(x)+C</math>（<math>C</math>取任意常数）为<math>f(x)</math>的'''不定积分'''（有时也简称为积分），记作<math>\int f(x)dx
</math>，即<math>\int f(x)dx=F(x)+C
</math>。

称<math>\int
</math>为积分号，<math>f(x)</math>为被积函数，<math>x</math>为积分变量，<math>f(x)dx
</math>为被积表达式，<math>C</math>为积分常数。

'''例1'''

<math>x^4</math>的导函数是<math>4x^3</math>，则<math>4x^3</math>的原函数是<math>x^4</math>加上一个常数。有
:<math>\int 4x^3dx=x^4+C</math>

'''例2'''

考察函数<math>6x^2</math>。由求导法则
:<math>\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}</math>
有
:<math>\frac{d}{dx}x^3=3x^2</math>
又由于
:<math>2\frac{d}{dx}x^3=2\times 3x^2=6x^2</math> 

因此，<math>2x^3</math>是<math>6x^2</math>的一个原函数。

==性质==
===基本性质===
{{Calculus/Def|text= 若<math>c</math>为一常数，则<math>\int cf(x)dx=c\int f(x)dx</math>。}}

{{Calculus/Def|text= 
:<math>\int\Big[f(x)+g(x)\Big]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx</math>
:<math>\int\Big[f(x)-g(x)\Big]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx</math>|title=分项积分公式}}

===幂函数的积分===
{{Calculus/Def|text=<math>\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>，对任意<math>n\ne -1</math>成立。}}

===反比例函数的积分===
{{Calculus/Def|text= <math>\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C</math>}}

注意：当指数为<math> -1 </math>时，幂函数的积分规则不适用，必须使用反比例函数的积分规则。由于对数函数的真数必为正，因此须加上绝对值符号。

===指数函数的积分===
{{Calculus/Def|text= <math>\int e^xdx=e^x+C</math>}}

===三角函数的积分===
{{Calculus/Def|text= <math>\int\cos(x)dx=\sin(x)+C</math><br><math>\int\sin(x)dx=-\cos(x)+C</math>}}

'''例'''

{|
|<math>\int\Big[x^4+1+2\sin x\Big]dx</math>
|<math>=\int x^4dx+\int 1\,dx+\int 2\sin xdx</math>
|-
|
|<math>=\frac{x^5}{5}+x-2\cos x+C</math>
|}
==分部积分法==
{{Calculus/Def|text=设<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>連續可微，则
:<math>\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int\left[f'(x)\int g(x)dx\right]dx</math>|title=分部积分法}}

'''例1''' 

求<math>\int x\cos xdx</math>

令
:<math>u=x</math>，则<math>du=dx</math>
:<math>dv=\cos xdx</math>，则<math>v=\sin x</math>

所以

:{|
|-
|<math>\int x\cos xdx</math>
|<math>=\int u\,dv</math>
|-
|
|<math>=uv-\int v\,du</math>
|-
|
|<math>=x\sin x-\int\sin xdx</math>
|-
|
|<math>=x\sin x+\cos x+C</math>
|}

'''例2''' 

求<math>\int x^2e^xdx</math>

令
:<math>u=x^2</math>，则<math>du=2xdx</math>
:<math>dv=e^xdx</math>，则<math>v=e^x</math>

所以

:{|
|-
|<math>\int x^2e^xdx</math>
|<math>=\int u\,dv</math>
|-
|
|<math>= uv - \int v \,du</math>
|-
|
|<math>=x^2e^x-\int 2xe^xdx</math>
|-
|
|<math>=x^2e^x-2\int xe^xdx</math>
|}

再令
:<math>u=x</math>，则<math>du=dx</math>
:<math>dv=e^xdx</math>，则<math>v=e^x</math>
所以
:<math>\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=e^x(x-1)</math>
因此
:<math>\int x^2e^xdx=x^2e^x-2e^x(x-1)+C=e^x(x^2-2x+2)+C</math>

'''例3''' 

求<math>\int\ln xdx</math>

原式可写作
:<math>\int\ln x\cdot 1\,dx</math>

令
:<math>u=\ln x</math>，则<math>du=\frac{dx}{x}</math>
:<math>v=x</math>，则<math>dv=1\,dx</math>

所以
:{|
|-
|<math>\int\ln xdx</math>
|<math>=x\ln x-\int\frac{x}{x}dx</math>
|-
|
|<math>=x\ln x-\int 1\,dx</math>
|-
|
|<math>=x\ln x-x+C</math>
|-
|
|<math>=x\bigl(\ln x-1\bigr)+C</math>
|}

'''例4'''

求<math>\int\arctan xdx</math>

原式可写作<math>\arctan x=\arctan x\cdot 1</math>

令

:<math>u=\arctan x</math>，则<math>du=\frac{dx}{1+x^2}</math>
:<math>v=x</math>，则<math>dv=1\,dx</math>

所以
:{|
|-
|<math>\int\arctan xdx</math>
|<math>=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}dx</math>
|-
|
|<math>=x\arctan x-\tfrac12\ln(1+x^2)+C</math>
|}

'''例5'''

求<math>\int e^x\cos xdx</math>

令

:<math>u=e^x</math>，则<math>du=e^xdx</math>
:<math>dv=\cos xdx</math>，则<math>v=\sin x</math>

所以
:<math>\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx</math>

再令

:<math>u=e^x</math>，则<math>du=e^xdx</math>
:<math>v=-\cos x</math>，则<math>dv=\sin xdx</math>

所以
:{|
|-
|<math>\int e^x\sin xdx</math>
|<math>=-e^x\cos x-\int -e^x\cos xdx</math>
|-
|
|<math>=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx</math>
|}

故
:<math>\int e^x\cos xdx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int e^x\cos xdx</math>
解得
:<math>\int e^x\cos xdx=\frac{e^x\bigl(\sin x+\cos x\bigr)}{2}</math> 

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