微积分学/不定积分

定义

设$F(x)$是区间$I$上的可导函数。若对任给$x\in I$，有$F^{\prime }(x)=f(x)$或$dF(x)=f(x)dx$，则称$F(x)$为$f(x)$在$I$上的一个原函数，或简单地说，$F(x)$是$f(x)$的原函数。

设$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，则称$F(x)+C$（$C$取任意常数）为$f(x)$的不定积分（有时也简称为积分），记作$\int f(x)dx$，即$\int f(x)dx=F(x)+C$。

称$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$x$为积分变量，$f(x)dx$为被积表达式，$C$为积分常数。

例1

$x^4$的导函数是$4x^3$，则$4x^3$的原函数是$x^4$加上一个常数。有

$\int 4x^{3}dx=x^4+C$

例2

考察函数$6x^2$。由求导法则

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

有

$\frac{d}{dx}{x}^3=3x^2$

又由于

$2\frac{d}{dx}{x}^3=2\times 3x^2=6x^2$

因此，$2x^3$是$6x^2$的一个原函数。

性质

反比例函数的积分

注意：当指数为$-1$时，幂函数的积分规则不适用，必须使用反比例函数的积分规则。由于对数函数的真数必为正，因此须加上绝对值符号。

三角函数的积分

例

$\int [x^4+1+2\sin x]dx$	$=\int x^{4}dx+\int 1dx+\int 2\sin xdx$
	$=\frac{x^5}{5}+x-2\cos x+C$

分部积分法

例1

求$\int x\cos xdx$

令

$u=x$，则$du=dx$

$dv=\cos xdx$，则$v=\sin x$

所以

$\int x\cos xdx$	$=\int udv$
	$=uv-\int vdu$
	$=x\sin x-\int \sin xdx$
	$=x\sin x+\cos x+C$

例2

求$\int x^2{e}^{x}dx$

令

$u=x^2$，则$du=2xdx$

$dv=e^{x}dx$，则$v=e^x$

所以

$\int x^2{e}^{x}dx$	$=\int udv$
	$=uv-\int vdu$
	$=x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx$
	$=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$

再令

$u=x$，则$du=dx$

$dv=e^{x}dx$，则$v=e^x$

所以

$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=e^x(x-1)$

因此

$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2e^x(x-1)+C=e^x(x^2-2x+2)+C$

例3

求$\int \ln xdx$

原式可写作

$\int \ln x\cdot 1dx$

令

$u=\ln x$，则$du=\frac{dx}{x}$

$v=x$，则$dv=1dx$

所以

$\int \ln xdx$	$=x\ln x-\int \frac{x}{x}dx$
	$=x\ln x-\int 1dx$
	$=x\ln x-x+C$
	$=x(\ln x-1)+C$

例4

求$\int \arctan xdx$

原式可写作$\arctan x=\arctan x\cdot 1$

令

$u=\arctan x$，则$du=\frac{dx}{1+x^2}$

$v=x$，则$dv=1dx$

所以

$\int \arctan xdx$	$=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}dx$
	$=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

例5

求$\int e^x\cos xdx$

令

$u=e^x$，则$du=e^{x}dx$

$dv=\cos xdx$，则$v=\sin x$

所以

$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx$

再令

$u=e^x$，则$du=e^{x}dx$

$v=-\cos x$，则$dv=\sin xdx$

所以

$\int e^x\sin xdx$	$=-e^x\cos x-\int -e^x\cos xdx$
	$=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx$

故

$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int e^x\cos xdx$

解得

$\int e^x\cos xdx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$