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==基础题==
#<math>\lim_{x\to2}(4x^2-3x+1)</math><br>解答：<math>4(4)-2(3)+1=16-6+1=\mathbf{11}</math>
#<math>\lim_{x\to5}x^2</math><br>解答：<math>5^2=\mathbf{25}</math>

==单侧极限==
#<math>\lim_{x\to0^-}\frac{x^3+x^2}{x^3+2x^2}</math><br>解答：分解因式：<math>\frac{x^2}{x^2}\cdot\frac{x+1}{x+2}</math>，可知<math>x=0</math>为一可去间断点，故极限为<math>\mathbf{\frac12}</math>
#<math>\lim_{x\to7^-}(|x^2+x|-x)</math><br>解答：<math>|7^2+7|-7=\mathbf{49}</math>
#<math>\lim_{x\to-1^+}\sqrt{1-x^2}</math><br>解答：<math>\sqrt{1-x^2}</math>在<math>x^2<1</math>时有意义，故极限为<math>\sqrt{1-1^2}=\mathbf{0}</math>
#<math> \lim_{x\to-1^-}\sqrt{1-x^2}</math><br>解答：<math>\sqrt{1-x^2}</math>在<math>x^2>1</math>时无意义，故极限'''不存在'''

==双侧极限==
#<math>\lim_{x\to-1}\frac{1}{x-1}</math><br>解答：<math>\mathbf{-\frac12}</math>
#<math>\lim_{x\to4}\frac{1}{x-4}</math><br>解答：<math>\lim_{x\to4^-}\frac{1}{x-4}=-\infty</math><br><math>\lim_{x\to4^+}\frac{1}{x-4}=+\infty</math><br>极限'''不存在'''
#<math> \lim_{x\to 2}  \frac{1}{x-2} </math><br>解答：<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty</math><br><math>\lim_{x\to 2^+}  \frac{1}{x-2}=+\infty</math><br>极限'''不存在'''
#<math> \lim_{x\to -3}  \frac{x^2 - 9}{x+3} </math><br>解答：<math> \lim_{x\to -3}  \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = \lim_{x\to -3}  x-3 = -3-3=\mathbf{-6}</math>
#<math> \lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 9}{x-3} </math><br>解答：<math> \lim_{x\to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to 3} x+3 = 3+3 = \mathbf{6}</math>
#<math> \lim_{x\to -1} \frac{x^2+2x+1}{x+1} </math><br>解答：<math> \lim_{x\to -1} \frac{(x+1)(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to -1} x+1 = -1+1 = \mathbf{0}</math>
#<math> \lim_{x\to -1} \frac{x^3+1}{x+1} </math><br>解答：<math> \lim_{x\to -1} \frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to -1} x^2-x+1 = (-1)^2-(-1)+1 = 1+1+1 = \mathbf{3}</math>
#<math> \lim_{x\to 4} \frac{x^2 + 5x-36}{x^2 - 16} </math><br>解答：<math> \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(x+9)}{(x-4)(x+4)} = \lim_{x\to 4} \frac{x+9}{x+4} = \frac{4+9}{4+4} = \mathbf{\frac{13}{8}}</math>
#<math> \lim_{x\to 25} \frac{x-25}{\sqrt{x}-5} </math><br>解答：<math> \lim_{x\to 25} \frac{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}-5} = \lim_{x\to 25} (\sqrt{x}+5) = \sqrt{25}+5 = 5+5 = \mathbf{10}</math>
#<math> \lim_{x\to 0} \frac{\left|x\right|}{x} </math><br>解答：<math>\lim_{x\to 0^-} \frac{\left|x\right|}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x\to 0^-} -1 = -1</math><br><math>\lim_{x\to 0^+} \frac{\left|x\right|}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x\to 0^+} 1 = 1</math><br>极限'''不存在'''
#<math> \lim_{x\to 2} \frac{1}{(x-2)^2} </math><br>解答：当<math>x</math>趋近于<math>2</math>时，分母趋近于<math>0</math>，故极限为<math>\mathbf{+\infty}</math>
#<math> \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x^2+16}}{x-3} </math><br>解答：当<math>x</math>趋近于<math>3</math>时，分子趋近于<math>5</math>，分母趋近于<math>0</math>，但从左侧趋近时极限为<math>-\infty</math>，从右侧趋近时极限为<math>+\infty</math>，故极限'''不存在'''
#<math> \lim_{x\to -2} \frac{3x^2-8x -3}{2x^2-18} </math><br>解答：<math> \frac{3(-2)^2-8(-2) -3}{2(-2)^2-18} = \frac{3(4)+16-3}{2(4)-18} = \frac{12+16-3}{8-18} = \frac{25}{-10} = \mathbf{-\frac{5}{2}}</math>
#<math> \lim_{x\to 2} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2-2x+1} </math><br>解答：<math>\frac{2^2 + 2(2) + 1}{2^2-2(2)+1} = \frac{4 + 4 + 1}{4-4+1} = \frac{9}{1} = \mathbf{9}</math>
#<math> \lim_{x\to 3} \frac{x+3}{x^2-9} </math><br>解答：<math>\lim_{x\to 3} \frac{x+3}{(x+3)(x-3)} = \lim_{x\to 3} \frac{1}{x-3}</math><br><math>\lim_{x\to 3^- } \frac{1}{x-3} = -\infty</math><br><math>\lim_{x\to 3^+} \frac{1}{x-3} = +\infty</math><br>极限'''不存在'''
#<math> \lim_{x\to -1} \frac{x+1}{x^2+x} </math><br>解答：<math>\lim_{x\to -1} \frac{x+1}{x(x+1)} = \lim_{x\to -1} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = \mathbf{-1}</math>
#<math> \lim_{x\to 1} \frac{1}{x^2+1} </math><br>解答：<math>\frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{1+1} = \mathbf{\frac{1}{2}}</math>
#<math> \lim_{x\to 1} x^3 + 5x - \frac{1}{2-x} </math><br>解答：<math>1^3 + 5(1) - \frac{1}{2-1} = 1 + 5 - \frac{1}{1} = 6 - 1 = \mathbf{5}</math>
#<math> \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x^2+2x-3} </math><br>解答：<math>\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)} = \lim_{x\to 1} \frac{x+1}{x+3} = \frac{1+1}{1+3} = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}</math>
#<math> \lim_{x\to 1} \frac{5x}{x^2+2x-3} </math><br>解答：当<math>x</math>趋近于<math>1</math>时，分子趋近于<math>5</math>，分母趋近于<math>0</math>，但从左侧趋近时极限为<math>-\infty</math>，从右侧趋近时极限为<math>+\infty</math>，故极限'''不存在'''

==无穷极限==
#<math> \lim_{x\to \infty} \frac{-x + \pi}{x^2 + 3x + 2} </math><br>解答：分母比分子高阶，故极限为<math>\mathbf{0}</math>
#<math> \lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+2x+1}{3x^2+1} </math><br>解答：分子与分母同阶，故极限为最高次项系数之比，即<math>\mathbf{\frac{1}{3}}</math>
#<math> \lim_{x\to -\infty} \frac{3x^2 + x}{2x^2 - 15} </math><br>解答：分子与分母同阶，故极限为最高次项系数之比，即<math>\mathbf{\frac{3}{2}}</math>
#<math> \lim_{x\to -\infty} 3x^2-2x+1 </math><br>解答：极限为<math>\mathbf{+\infty}</math>
#<math> \lim_{x\to \infty} \frac{2x^2-32}{x^3-64} </math><br>解答：分母比分子高阶，故极限为<math>\mathbf{0}</math>
#<math> \lim_{x\to \infty} 6 </math><br>解答：极限为<math>\mathbf{6}</math>
#<math> \lim_{x\to \infty} \frac{3x^2 +4x}{x^4+2} </math><br>解答：分母比分子高阶，故极限为<math>\mathbf{0}</math>
#<math> \lim_{x\to -\infty} \frac{2x+3x^2+1}{2x^2+3} </math><br>解答：分子与分母同阶，故极限为最高次项系数之比，即<math>\mathbf{\frac{3}{2}}</math>
#<math> \lim_{x\to -\infty} \frac{x^3-3x^2+1}{3x^2+x+5} </math><br>解答：分子比分母高阶，故极限为<math>\mathbf{-\infty}</math>
#<math> \lim_{x\to \infty} \frac{x^2+2}{x^3-2} </math><br>解答：分母比分子高阶，故极限为<math>\mathbf{0}</math>

==分段函数极限==
#<math> f(x) = \begin{cases} (x-2)^2 & \mbox{, }x<2 \\ x-3 & \mbox{, }x\geq 2. \end{cases} </math>
##<math> \lim_{x\to 2^-}f(x) </math><br>解答：<math>(2-2)^2 = \mathbf{0}</math>
##<math> \lim_{x\to 2^+}f(x) </math><br>解答：<math>2-3 = \mathbf{-1}</math>
##<math> \lim_{x\to 2}f(x) </math><br>解答：左右两侧极限不相等，故极限'''不存在'''
#<math> g(x) = \begin{cases} -2x+1 & \mbox{, }x\leq 0 \\ x+1 & \mbox{, }0<x<4 \\ x^2 +2 & \mbox{, }x \geq 4. \end{cases} </math>
##<math> \lim_{x\to 4^+} g(x) </math><br>解答：<math>4^2+2 = 16+2 = \mathbf{18}</math>
##<math> \lim_{x\to 4^-} g(x) </math><br>解答：<math>4+1 = \mathbf{5}</math>
##<math> \lim_{x\to 0^+} g(x) </math><br>解答：<math>0+1 = \mathbf{1}</math>
##<math> \lim_{x\to 0^-} g(x) </math><br>解答：<math>-2(0)+1 = \mathbf{1}</math>
##<math> \lim_{x\to 0} g(x) </math><br>解答：左右两侧极限相等，故极限为<math>\mathbf{1}</math>
##<math> \lim_{x\to 1} g(x) </math><br>解答：<math>1+1 = \mathbf{2}</math>
#<math> h(x) = \begin{cases} 2x-3 & \mbox{, }x<2 \\ 8 & \mbox{, }x=2 \\ -x+3 & \mbox{, } x>2. \end{cases} </math>
##<math> \lim_{x\to 0} h(x) </math><br>解答：<math>2(0)-3 = \mathbf{-3}</math>
##<math> \lim_{x\to 2^-} h(x) </math><br>解答：<math>2(2)-3 = 4-3 = \mathbf{1}</math>
##<math> \lim_{x\to 2^+} h(x) </math><br>解答：<math>-(2)+3 = \mathbf{1}</math>
##<math> \lim_{x\to 2} h(x) </math><br>解答：左右两侧极限相等，故极限为<math>\mathbf{1}</math>

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