微积分学/极限/解答

基础题

1. $\underset{x\to 2}{\lim }(4x^2-3x+1)$
   解答：$4(4)-2(3)+1=16-6+1=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟏}$
2. $\underset{x\to 5}{\lim }{x}^2$
   解答：$5^2=\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟓}$

单侧极限

1. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^3+x^2}{x^3+2x^2}$
   解答：分解因式：$\frac{x^2}{x^2}\cdot \frac{x+1}{x+2}$，可知$x=0$为一可去间断点，故极限为$\frac{1}{2}$
2. $\underset{x\to 7^{-}}{\lim }(|x^2+x|-x)$
   解答：$|7^2+7|-7=\mathrm{𝟒}\mathrm{𝟗}$
3. $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{1-x^2}$
   解答：$\sqrt{1-x^2}$在$x^2<1$时有意义，故极限为$\sqrt{1-1^2}=\mathrm{𝟎}$
4. $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\sqrt{1-x^2}$
   解答：$\sqrt{1-x^2}$在$x^2>1$时无意义，故极限不存在

双侧极限

1. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1}{x-1}$
   解答：$\mathbf{-}\frac{1}{2}$
2. $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{1}{x-4}$
   解答：$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{1}{x-4}=-\mathrm{\infty }$
   $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{x-4}=+\mathrm{\infty }$
   极限不存在
3. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x-2}$
   解答：$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\mathrm{\infty }$
   $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$
   极限不存在
4. $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^2-9}{x+3}$
   解答：$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=\underset{x\to -3}{\lim }x-3=-3-3=\mathbf{-}\mathrm{𝟔}$
5. $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}$
   解答：$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }x+3=3+3=\mathrm{𝟔}$
6. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+1}$
   解答：$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(x+1)(x+1)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }x+1=-1+1=\mathrm{𝟎}$
7. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+1}{x+1}$
   解答：$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }{x}^2-x+1=(-1{)}^2-(-1)+1=1+1+1=\mathrm{𝟑}$
8. $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2+5x-36}{x^2-16}$
   解答：$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(x-4)(x+9)}{(x-4)(x+4)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x+9}{x+4}=\frac{4+9}{4+4}=\frac{13}{8}$
9. $\underset{x\to 25}{\lim }\frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$
   解答：$\underset{x\to 25}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}{\sqrt{x}-5}=\underset{x\to 25}{\lim }(\sqrt{x}+5)=\sqrt{25}+5=5+5=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}$
10. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}$
    解答：$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }-1=-1$
    $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }1=1$
    极限不存在
11. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{(x-2{)}^2}$
    解答：当$x$趋近于$2$时，分母趋近于$0$，故极限为$\mathbf{+}\mathrm{\infty }$
12. $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+16}}{x-3}$
    解答：当$x$趋近于$3$时，分子趋近于$5$，分母趋近于$0$，但从左侧趋近时极限为$-\mathrm{\infty }$，从右侧趋近时极限为$+\mathrm{\infty }$，故极限不存在
13. $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{3x^2-8x-3}{2x^2-18}$
    解答：$\frac{3(-2{)}^2-8(-2)-3}{2(-2{)}^2-18}=\frac{3(4)+16-3}{2(4)-18}=\frac{12+16-3}{8-18}=\frac{25}{-10}=\mathbf{-}\frac{5}{2}$
14. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1}$
    解答：$\frac{2^2+2(2)+1}{2^2-2(2)+1}=\frac{4+4+1}{4-4+1}=\frac{9}{1}=\mathrm{𝟗}$
15. $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+3}{x^2-9}$
    解答：$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x-3}$
    $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\mathrm{\infty }$
    $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{x-3}=+\mathrm{\infty }$
    极限不存在
16. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x+1}{x^2+x}$
    解答：$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x+1}{x(x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{-1}=\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$
17. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x^2+1}$
    解答：$\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
18. $\underset{x\to 1}{\lim }{x}^3+5x-\frac{1}{2-x}$
    解答：$1^3+5(1)-\frac{1}{2-1}=1+5-\frac{1}{1}=6-1=\mathrm{𝟓}$
19. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^2+2x-3}$
    解答：$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1}{x+3}=\frac{1+1}{1+3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
20. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{5x}{x^2+2x-3}$
    解答：当$x$趋近于$1$时，分子趋近于$5$，分母趋近于$0$，但从左侧趋近时极限为$-\mathrm{\infty }$，从右侧趋近时极限为$+\mathrm{\infty }$，故极限不存在

无穷极限

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-x+\pi }{x^2+3x+2}$
   解答：分母比分子高阶，故极限为$\mathrm{𝟎}$
2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{3x^2+1}$
   解答：分子与分母同阶，故极限为最高次项系数之比，即$\frac{1}{3}$
3. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2+x}{2x^2-15}$
   解答：分子与分母同阶，故极限为最高次项系数之比，即$\frac{3}{2}$
4. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }3x^2-2x+1$
   解答：极限为$\mathbf{+}\mathrm{\infty }$
5. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x^2-32}{x^3-64}$
   解答：分母比分子高阶，故极限为$\mathrm{𝟎}$
6. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }6$
   解答：极限为$\mathrm{𝟔}$
7. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2+4x}{x^4+2}$
   解答：分母比分子高阶，故极限为$\mathrm{𝟎}$
8. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x+3x^2+1}{2x^2+3}$
   解答：分子与分母同阶，故极限为最高次项系数之比，即$\frac{3}{2}$
9. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3-3x^2+1}{3x^2+x+5}$
   解答：分子比分母高阶，故极限为$\mathbf{-}\mathrm{\infty }$
10. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2+2}{x^3-2}$
    解答：分母比分子高阶，故极限为$\mathrm{𝟎}$

分段函数极限

1. $f(x)=\{\begin{array}{cc}(x-2{)}^2& \text{, }x<2\\ x-3& \text{, }x\ge 2.\end{array}$
   1. $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)$
      解答：$(2-2{)}^2=\mathrm{𝟎}$
   2. $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)$
      解答：$2-3=\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$
   3. $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$
      解答：左右两侧极限不相等，故极限不存在
2. $g(x)=\{\begin{array}{cc}-2x+1& \text{, }x\le 0\\ x+1& \text{, }0<x<4\\ x^2+2& \text{, }x\ge 4.\end{array}$
   1. $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }g(x)$
      解答：$4^2+2=16+2=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟖}$
   2. $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }g(x)$
      解答：$4+1=\mathrm{𝟓}$
   3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$
      解答：$0+1=\mathrm{𝟏}$
   4. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g(x)$
      解答：$-2(0)+1=\mathrm{𝟏}$
   5. $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$
      解答：左右两侧极限相等，故极限为$\mathrm{𝟏}$
   6. $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)$
      解答：$1+1=\mathrm{𝟐}$
3. $h(x)=\{\begin{array}{cc}2x-3& \text{, }x<2\\ 8& \text{, }x=2\\ -x+3& \text{, }x>2.\end{array}$
   1. $\underset{x\to 0}{\lim }h(x)$
      解答：$2(0)-3=\mathbf{-}\mathrm{𝟑}$
   2. $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }h(x)$
      解答：$2(2)-3=4-3=\mathrm{𝟏}$
   3. $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }h(x)$
      解答：$-(2)+3=\mathrm{𝟏}$
   4. $\underset{x\to 2}{\lim }h(x)$
      解答：左右两侧极限相等，故极限为$\mathrm{𝟏}$