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== 比较审敛法 ==

{{Calculus/Def|title=比较审敛法|text=若级数<math>S= \sum_{n=j}^{\infty}{s_n}</math>和<math>Z= \sum_{n=j}^{\infty}{z_n}</math>在区间<math>[j, \infty)</math>上满足<math>0 \leq z_n \leq s_n</math>，则
# 若<math>Z</math>发散，则<math>S</math>发散
# 若<math>S</math>收敛，则<math>Z</math>收敛}}

=== 例1 ===
已知级数<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}</math>发散，判断下列级数敛散性：

# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n+1}}</math>
# <math>\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n-1}}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{3}{n}}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n}}}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>

=== 解答 ===

# 级数可改写为<math>\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n}}</math>，故级数发散。
# 级数可改写为<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}</math>，故级数发散。
# 级数可改写为<math>3 \times \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}</math>，即 <math>3 \times \infty </math>，故级数发散。
# 对任意<math>n</math>，<math>\frac{1}{\sqrt{n}}</math>大于<math>\frac{1}{n}</math>，故级数发散。
# 对任意<math>n</math>，<math>\frac{1}{n^2}</math>小于<math>\frac{1}{n}</math>，故需要进一步分析以确定级数敛散性。

=== 例2 ===

已知级数<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>收敛，判断下列级数敛散性：

# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-n}}</math>
#<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n} \sin^2 x}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{2^n}}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{1.5^n}}</math>
# <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2^n}}</math>

=== 解答 ===

# <math>n^{-2}</math>递减的速度比<math>2^{-n}</math>快，但级数不满足<math>0 \leq z_n \leq s_n</math>，因为<math> n < 2 </math>时<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>大于<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>。为此，我们可删掉第一项，得到<math>1 + \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>和<math>2 + \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>。比较<math>\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>和<math>\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>可得 <math>\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>收敛。
# 对任意<math>n</math>，<math>\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-n}}</math>小于 <math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>，故级数收敛。
# 对任意<math>n</math>，<math>0</math>小于<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n} \sin^2 x}</math>小于等于<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>，故级数收敛。
# 级数可改写为<math>2 \times \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>，故级数收敛。
# 对任意<math>n</math>，<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{1.5^n}}</math>大于<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}</math>，故需要进一步分析以确定级数敛散性。
# 级数不满足非负的要求，故需要进一步分析以确定级数敛散性。

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