微积分学/比较审敛法

比较审敛法

例1

已知级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$发散，判断下列级数敛散性：

1. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}$
2. $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n-1}$
3. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3}{n}$
4. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}$
5. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

解答

1. 级数可改写为$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$，故级数发散。
2. 级数可改写为$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$，故级数发散。
3. 级数可改写为$3\times \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$，即 $3\times \mathrm{\infty }$，故级数发散。
4. 对任意$n$，$\frac{1}{\sqrt{n}}$大于$\frac{1}{n}$，故级数发散。
5. 对任意$n$，$\frac{1}{n^2}$小于$\frac{1}{n}$，故需要进一步分析以确定级数敛散性。

例2

已知级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$收敛，判断下列级数敛散性：

1. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$
2. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-n}$
3. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}{\sin }^{2}x$
4. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{2^n}$
5. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1.5^n}$
6. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2^n}$

解答

1. $n^{-2}$递减的速度比$2^{-n}$快，但级数不满足$0\le z_n\le s_n$，因为$n<2$时$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$大于$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$。为此，我们可删掉第一项，得到$1+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$和$2+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$。比较$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$和$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$可得 $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$收敛。
2. 对任意$n$，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-n}$小于 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$，故级数收敛。
3. 对任意$n$，$0$小于$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}{\sin }^{2}x$小于等于$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$，故级数收敛。
4. 级数可改写为$2\times \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$，故级数收敛。
5. 对任意$n$，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1.5^n}$大于$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$，故需要进一步分析以确定级数敛散性。
6. 级数不满足非负的要求，故需要进一步分析以确定级数敛散性。