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== 积分审敛法 ==
{{Calculus/Def|title=积分审敛法|text=设级数<math>S= \sum_{n=j}^{\infty}{s_n}</math>，若<math>s(n)</math>在区间<math>[j, \infty)</math>上连续递减，则
# 若<math>\int_{j}^{\infty}{s(n)dn}</math>收敛，则<math>S</math>收敛
# 若<math>\int_{j}^{\infty}{s(n)dn}</math>发散，则<math>S</math>发散}}
积分审敛法实际上是比较审敛法的特例。
<center>[[File:Righthand-Riemann-Sum-Integral-Test.svg|500x500像素]]</center>
如图，曲线为<math>s(n)</math>的图像，各矩形面积之和为<math>\sum_{n=j}^{\infty}{s_n}</math>，显然<math>\sum_{n=j}^{\infty}{s_n}</math>小于<math>\int_{j}^{\infty}{s(n)dn}</math>，因此若<math>\int_{j}^{\infty}{s(n)dn}</math>收敛，则<math>S</math>收敛。
<center>[[File:Lefthand-Reimann-Sum-Integral-Test.svg|500x500像素]]</center>
如图，曲线为<math>s(n)</math>的图像，各矩形面积之和为<math>\sum_{n=j}^{\infty}{s_n}</math>，显然<math>\sum_{n=j}^{\infty}{s_n}</math>大于<math>\int_{j}^{\infty}{s(n)dn}</math>，因此若<math>\int_{j}^{\infty}{s(n)dn}</math>发散，则<math>S</math>发散。

=== 例1 ===
对以下级数运用积分审敛法

<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}</math>

=== 解答 ===
反常积分得<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-1}{n} - \frac{-1}{(1)}</math>为1，收敛，故级数收敛。

=== 例2 ===
对以下级数运用积分审敛法

<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2+1}{n}}</math>

=== 解答 ===
<math>\frac{n^2+1}{n}</math>不满足递减要求。但实际上由极限审敛法便可得级数发散。

=== 例3 ===
对以下级数运用积分审敛法

<math>\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(n-3)^2+1}}</math>

=== 解答 ===
<math>\frac{1}{(n-3)^2+1}</math>只在<math>[3,+\infty)</math>递减，因此级数可改写为<math>\sum_{n=1}^{2}{\frac{1}{(n-3)^2+1}} + \sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{(n-3)^2+1}}</math>，对后一项反常积分得<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \arctan(n-3)</math>为<math>\frac{\pi}{2}</math>，收敛，故级数收敛。{{BookCat}}