查看“︁微积分学/重积分/习题”︁的源代码

-{T|zh:重积分习题}-
==定義==
===十一===
<math>\int_1^4\int_0^26x^2y-2x\,dydx</math>
===十三===
<math>\int_0^2\int_0^\frac\pi2x\sin y\,dydx</math>
===十五===
<math>\int_0^3\int_0^\frac\pi2x^2\sin^3y\,dydx</math>
===十七===
<math>\iint_Rx\sec^2ydA,R=\{(x,y)|0\le x\le2,0\le y\le\frac\pi4\}</math>
===十九===
<math>\iint_Rx\sin(x+y)dA,R=\left[0,\frac\pi6\right]\times\left[0,\frac\pi3\right]</math>
===廿三===
求介於 {{mvar|n=4|x}}+{{mvar|n=6|y}}-{{mvar|n=2|z}}=-15 下和 {({{mvar|x}},{{mvar|y}})|-1≤{{mvar|x}}≤2,-1≤{{mvar|y}}≤1} 上體積。
===廿五===
求 {{mvar|z}}=1+{{mvar|e|u=x}}sin{{mvar|y}}、{{mvar|x}}=1、{{mvar|x}}=-1、{{mvar|y}}=0、{{mvar|y}}={{mvar|π}} 和 {{mvar|z}}=0 所圍體積。
===廿七===
求 {{mvar|f}}({{mvar|x}},{{mvar|y}})={{mvar|xy}} 在頂點 (-1,0)、(-1,5)、(1,5) 和 (1,0) 所圍區域上的平均。
===廿九===
<math>\iint_R\frac{xy}{1+x^4}dA, R=\{(x,y)|-1\le x\le1,0\le y\le1\}</math>
==直角座標==
===十一===
<math>\iint_Dy^2dA</math>，{{mvar|D}} 是頂點 (0,1)、(1,2)、(4,1) 的三角形。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十三===
求介於 {{mvar|y}}={{mvar|x|u=2}} 和 {{mvar|x}}={{mvar|y|u=2}} 所圍上，{{mvar|z}}={{mvar|n=3|x}}+{{mvar|n=2|y}} 下體積。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十七===
求第一象限 {{mvar|x|u=2}}+{{mvar|y|u=2}}=1、{{mvar|z}}={{mvar|y}}、{{mvar|x}}=0 和 {{mvar|z}}=0 所圍體積。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十九===
求 {{mvar|x|u=2}}+{{mvar|y}}=1、{{mvar|x|u=2}}-{{mvar|y}}=1、{{mvar|x}}+{{mvar|y}}+{{mvar|z}}=2 和 {{mvar|n=2|x}}+{{mvar|n=2|y}}-{{mvar|z}}=-10 所圍體積。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===廿一===
求 <math>\int_0^1\int_0^{1-x}1-x-ydydx</math> 畫圖。
===廿五===
求 <math>\int_1^2\int_0^\ln xf(x,y)dydx</math> 畫圖。
===廿七===
<math>
\begin{align}&
\int_1^2\int_0^\ln xf(x,y)dydx
\\&
=
\end{align}
</math>
===廿九===
<math>\iint_Dx^2dA</math>
===卌一===
<math>\iint_S\sqrt{4-x^2y^2}dA, S=\{(x,y)|x^2+y^2\le1,x\ge0\}</math>
===卌三===
求 {{mvar|f}}({{mvar|x}},{{mvar|y}})={{mvar|xy}} 在頂點 (0,0)、(1,0) 和 (1,3) 所圍區域上的平均。
==代換法==
===十三===
<math>\iint_Rx-3ydA</math>，{{mvar|R}} 是頂點 (0,0)、(4,3)、(2,4) 的三角形，{{mvar|x}}={{mvar|n=2|u}}+{{mvar|v}}，{{mvar|y}}={{mvar|u}}+{{mvar|n=2|v}}。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十五===
<math>\iint_RxydA</math>，{{mvar|R}} 是第一象限 {{mvar|y}}={{mvar|x}}、{{mvar|y}}={{mvar|n=3|x}}、{{mvar|xy}}=1 和 {{mvar|xy}}=3 所圍區域，<math>x=\frac uv\;,\;y=v</math>。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十七===
<math>\iint_R\frac{x-2y}{3x-y}dA</math>，{{mvar|R}} 是 {{mvar|x}}-{{mvar|n=2|y}}=0、{{mvar|x}}-{{mvar|n=2|y}}=4、{{mvar|n=3|x}}-{{mvar|y}}=1 和 {{mvar|n=3|x}}-{{mvar|y}}=8 所圍區域。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十九===
<math>\iint_R\cos\frac{-x+y}{x+y}dA</math>，{{mvar|R}} 是頂點 (1.0)、(2,0)、(0,2) 和 (0,1) 所圍區域。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===廿一===
<math>\iint_Re^{x+y}dA</math>，{{mvar|R}} 是 <math>|x|+|y|\le1</math> 所圍區域。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
==極座標==
===七===
<math>\iiint_Dx^2ydA</math>，{{mvar|D}} 是中心在原點，半徑 5 的上半圓盤。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===九===
<math>\iiint_De^{-\left(x^2+y^2\right)}dA</math>，{{mvar|D}} 是 <math>x=\sqrt{4-y^2}</math> 和 y 軸所圍區域。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十三===
求介於 {{mvar|z}}={{mvar|x|u=2}}+{{mvar|y|u=2}} 下和圓盤 {{mvar|x|u=2}}+{{mvar|y|u=2}}=25 上體積。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十七===
求介於{{mvar|x|u=2}}+{{mvar|y|u=2}}=4 內和 4{{mvar|=(|x|u=2}}+{{mvar|y|u=2}})+{{mvar|z|u=2}}=64 體積。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===十九===
<math>
\begin{align}&
\int_0^2\int_0^\sqrt{4-x^2}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dydx
\\&
=
\end{align}
</math>
===廿一===
<math>
\begin{align}&
\int_0^\frac12\int_{\sqrt3y}^\sqrt{1-y^2}x^2ydxdy
\\&
=
\end{align}
</math>
===廿三===
<math>\iint_De^{\left(x^2+y^2\right)^2}dA</math>，{{mvar|D}} 是中心在原點，半徑 1 的圓盤。

<math>
\begin{align}&
\\&
=
\end{align}
</math>
===三十===
====一====
<math>
\begin{align}&
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\left(x^2+y^2\right)}dA
\\&
=
\end{align}
</math>
====二====
<math>
\begin{align}&
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy
\\&
=
\end{align}
</math>
====三====
<math>
\begin{align}&
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx
\\&
=
\end{align}
</math>
====四====
<math>
\begin{align}&
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx
\\&
=
\end{align}
</math>