微积分学/重积分/习题

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定義

十一

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}6x^{2}y-2xdydx$

十三

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin ydydx$

十五

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{x}^2{\sin }^{3}ydydx$

十七

$\underset{R}{\iint }x{\sec }^{2}ydA,R=\{(x,y)|0\le x\le 2,0\le y\le \frac{\pi }{4}\}$

十九

$\underset{R}{\iint }x\sin (x+y)dA,R=[0,\frac{\pi }{6}]\times [0,\frac{\pi }{3}]$

廿三

求介於 Template:Mvar+Template:Mvar-Template:Mvar=-15 下和 {(Template:Mvar,Template:Mvar)|-1≤Template:Mvar≤2,-1≤Template:Mvar≤1} 上體積。

廿五

求 Template:Mvar=1+Template:MvarsinTemplate:Mvar、Template:Mvar=1、Template:Mvar=-1、Template:Mvar=0、Template:Mvar=Template:Mvar 和 Template:Mvar=0 所圍體積。

廿七

求 Template:Mvar(Template:Mvar,Template:Mvar)=Template:Mvar 在頂點 (-1,0)、(-1,5)、(1,5) 和 (1,0) 所圍區域上的平均。

廿九

$\underset{R}{\iint }\frac{xy}{1+x^4}dA,R=\{(x,y)|-1\le x\le 1,0\le y\le 1\}$

直角座標

十一

$\underset{D}{\iint }{y}^{2}dA$，Template:Mvar 是頂點 (0,1)、(1,2)、(4,1) 的三角形。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十三

求介於 Template:Mvar=Template:Mvar 和 Template:Mvar=Template:Mvar 所圍上，Template:Mvar=Template:Mvar+Template:Mvar 下體積。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十七

求第一象限 Template:Mvar+Template:Mvar=1、Template:Mvar=Template:Mvar、Template:Mvar=0 和 Template:Mvar=0 所圍體積。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十九

求 Template:Mvar+Template:Mvar=1、Template:Mvar-Template:Mvar=1、Template:Mvar+Template:Mvar+Template:Mvar=2 和 Template:Mvar+Template:Mvar-Template:Mvar=-10 所圍體積。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

廿一

求 $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1-x}{\int }}1-x-ydydx$ 畫圖。

廿五

求 $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{\ln }{\int }}xf(x,y)dydx$ 畫圖。

廿七

$\begin{array}{cc}& \underset{1}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{\ln }{\int }}xf(x,y)dydx\\ & =\end{array}$

廿九

$\underset{D}{\iint }{x}^{2}dA$

卌一

$\underset{S}{\iint }\sqrt{4-x^2{y}^2}dA,S=\{(x,y)|x^2+y^2\le 1,x\ge 0\}$

卌三

求 Template:Mvar(Template:Mvar,Template:Mvar)=Template:Mvar 在頂點 (0,0)、(1,0) 和 (1,3) 所圍區域上的平均。

代換法

十三

$\underset{R}{\iint }x-3ydA$，Template:Mvar 是頂點 (0,0)、(4,3)、(2,4) 的三角形，Template:Mvar=Template:Mvar+Template:Mvar，Template:Mvar=Template:Mvar+Template:Mvar。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十五

$\underset{R}{\iint }xydA$，Template:Mvar 是第一象限 Template:Mvar=Template:Mvar、Template:Mvar=Template:Mvar、Template:Mvar=1 和 Template:Mvar=3 所圍區域，$x=\frac{u}{v},y=v$。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十七

$\underset{R}{\iint }\frac{x-2y}{3x-y}dA$，Template:Mvar 是 Template:Mvar-Template:Mvar=0、Template:Mvar-Template:Mvar=4、Template:Mvar-Template:Mvar=1 和 Template:Mvar-Template:Mvar=8 所圍區域。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十九

$\underset{R}{\iint }\cos \frac{-x+y}{x+y}dA$，Template:Mvar 是頂點 (1.0)、(2,0)、(0,2) 和 (0,1) 所圍區域。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

廿一

$\underset{R}{\iint }{e}^{x+y}dA$，Template:Mvar 是 $|x|+|y|\le 1$ 所圍區域。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

極座標

七

$\underset{D}{\iiint }{x}^{2}ydA$，Template:Mvar 是中心在原點，半徑 5 的上半圓盤。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

九

$\underset{D}{\iiint }{e}^{-(x^2+y^2)}dA$，Template:Mvar 是 $x=\sqrt{4-y^2}$ 和 y 軸所圍區域。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十三

求介於 Template:Mvar=Template:Mvar+Template:Mvar 下和圓盤 Template:Mvar+Template:Mvar=25 上體積。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十七

求介於Template:Mvar+Template:Mvar=4 內和 4Template:Mvar+Template:Mvar)+Template:Mvar=64 體積。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

十九

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{4-x^2}}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dydx\\ & =\end{array}$

廿一

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\underset{\sqrt{3}y}{\overset{\sqrt{1-y^2}}{\int }}{x}^{2}ydxdy\\ & =\end{array}$

廿三

$\underset{D}{\iint }{e}^{{(x^2+y^2)}^2}dA$，Template:Mvar 是中心在原點，半徑 1 的圓盤。

$\begin{array}{cc}& \\ & =\end{array}$

三十

一

$\begin{array}{cc}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dA\\ & =\end{array}$

二

$\begin{array}{cc}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy\\ & =\end{array}$

三

$\begin{array}{cc}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\\ & =\end{array}$

四

$\begin{array}{cc}& \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx\\ & =\end{array}$