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==  随机事件及其概率 ==
在概率论里必须先定义一个可测空间
:<math>\Omega </math>在<math> \mathcal{F}</math>中；

:如果一个集合<math>A</math>在<math> \mathcal{F}</math>中，那么它的补集<math> A^c </math>也在<math> \mathcal{F}</math>中；

:如果有可数个集合<math>A_1 , A_2, \cdots , A_n \cdots</math>都在<math> \mathcal{F}</math>中，那么它们的并集也在<math> \mathcal{F}</math>中。
用数学语言来表示，就是
:<math>\Omega \in \mathcal{F};</math>
:<math>A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F};</math>
:<math>(\forall n\in \mathbb{N}~ ~ ~A_n \in\mathcal{F}) \Rightarrow \bigcup\limits_{n=1}^ \infty A_n\in \mathcal{F}.</math>

记号<math>\left(X,\mathcal{F}\right)</math>称为一个可测空间。<math>( \Omega,\mathcal{F}, P)</math>称为概率空间，如果<math>P</math>是一个概率测度，也就是说它必须符合
*空集的测度为零：
:: <math> P(\emptyset) = 0 </math>。
* <math>\sigma</math>可加性：若<math>A_1,A_2,\cdots</math>为<math>\mathcal{F}</math>中可数个两两不交的集合的序列，则所有<math>A_i\ </math>的并集的测度，等于每个<math>A_i\ </math>的测度之总和：
::<math> P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)</math>
*空集的测度为零：
:: <math> \mu(\emptyset) = 0 </math>。
*值在0和1之间并且
::<math>P(\Omega)=1</math>

随机变量是一个<math>\mathcal{F}</math>可测的函数。

概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称<math>\Omega</math>为样本空间，<math>\mathcal{F}</math>为事件集合，其子集为随机事件。
以扔硬币为例：如果是一个有<math>A,B</math>两面的硬币。

:<math>\Omega =\{ A,B\}</math>。假设我们赌“<math>A</math>”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量<math>X: \Omega \rightarrow \R</math>来表示。
:<math>X(A)=1</math>，<math>X(B)=-1</math>

如果这个硬币没有做过手脚 那么随机事件<math>A</math> 的概率 <math>P(A)=P(X=-1)=0.5</math>, 随机事件<math>B</math>的概率 <math>P(B)=P(X=-1)=0.5</math>. 符合<math>\sigma</math>可加性。

如果我们同时扔两个硬币
:<math>\Omega =\{ (A,A), (A,B),(B,A),(B,B)\}</math>

== 一 随机事件 ==

§1几个概念	
1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；<br />
（1）试验可在相同条件下重复进行；<br />
（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；<br />
（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
{| class="wikitable"
|例如：

* E1：掷一骰子，观察出现的总数；
* E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
* E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
|}
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为<math>A,B,C,...</math>
   例如：在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。
   例如：在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
   例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
   由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为<math>e</math>.
   例如，在E1中，用数字<math>1,2,...,6</math>表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集<math>\left \{ 1 \right \}, \left \{ 2 \right \}, ..., \left \{ 6 \right \}</math>便是E1中的基本事件。在E2中，用<math>H</math>表示正面，<math>T</math>表示反面，此试验的样本点有<math>\left ( H,H  \right )</math>，<math>\left ( H,T \right )</math>，<math>\left ( T,H \right )</math>，<math>\left ( T,T \right )</math>，其基本事件便是<math>\left \{ \left ( H,H  \right ) \right \}</math>，<math>\left \{ \left ( H,T \right ) \right \}</math>，<math>\left \{ \left ( T,H \right ) \right \}</math>，<math>\left \{ \left ( T,T \right ) \right \}</math>显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
    例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为<math>\left \{ 2,4,6 \right \}</math>。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为<math>\Omega</math>。
    例如，
    在E1中，<math>\Omega =\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}</math>
    在E2中，<math>\Omega =\left \{ \left ( H,H \right ), \left ( H,T \right ), \left ( T,H \right ), \left ( T,T \right ) \right  \}</math>
    在E3中，<math>\Omega =\left \{ 0,1,2,... \right \}</math>
§2事件间的关系与运算 
   1、包含:“若事件<math>A</math>的发生必导致事件<math>B</math>发生，则称事件<math>B</math>包含事件<math>A</math>，记为或<math>B</math>  <math>A</math>。 
      例如，在E1中，令件，简称为积，记为<math>A</math>  <math>B</math>或<math>AB</math>。
  例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令<math>A=\{</math>接到偶数次呼唤<math>\}</math>，<math>B=\{</math>接到奇数次呼唤<math>\}</math>，则<math>AB=\{</math>接到6的倍数次呼唤<math>\}</math>
  5、差：称事件<math>A</math>发生但事件<math>B</math>不发生的事件为<math>A</math>减<math>B</math>的差事件简称为差，记为<math>A-B</math>。
  例如，测量晶体管的<math>\beta</math>参数值，令<math>A=\{</math>测得<math>\beta</math>值不超过<math>50\}</math>，<math>B=\{</math>测得<math>\beta</math>值不超过<math>100\}</math>，则，<math>A-B=\phi</math>，<math>B-A=\{</math>测得<math>\beta</math>值为<math>50<\beta \leqslant 100\}</math>
  6、互不相容：若事件<math>A</math>与事件<math>B</math>不能同时发生，即<math>AB=\phi</math>，则称<math>A</math>与<math>B</math>是互不相容的。
  例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若<math>A=\{</math>红灯亮<math>\}</math>，<math>B=\{</math>绿灯亮<math>\}</math>，则<math>A</math>与<math>B</math>便是互不相容的。
  7、对立：称事件A不发生的事件为<math>A</math>的对立事件，记为  显然  ，<math>A\cap B=\phi</math>

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