概率论

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随机事件及其概率

在概率论里必须先定义一个可测空间

$\mathrm{\Omega }$在$ℱ$中；

如果一个集合$A$在$ℱ$中，那么它的补集$A^c$也在$ℱ$中；

如果有可数个集合$A_1,A_2,\cdots ,A_n\cdots$都在$ℱ$中，那么它们的并集也在$ℱ$中。

用数学语言来表示，就是

$\mathrm{\Omega }\in ℱ;$

$A\in ℱ\Rightarrow A^c\in ℱ;$

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{A}_n\in ℱ)\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℱ.$

记号$(X,ℱ)$称为一个可测空间。$(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$称为概率空间，如果$P$是一个概率测度，也就是说它必须符合

• 空集的测度为零：

$P(\mathrm{\varnothing })=0$。

• $\sigma$可加性：若$A_1,A_2,\cdots$为$ℱ$中可数个两两不交的集合的序列，则所有$A_i$的并集的测度，等于每个$A_i$的测度之总和：

$P(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i)$

• 空集的测度为零：

$\mu (\mathrm{\varnothing })=0$。

• 值在0和1之间并且

$P(\mathrm{\Omega })=1$

随机变量是一个$ℱ$可测的函数。

概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称$\mathrm{\Omega }$为样本空间，$ℱ$为事件集合，其子集为随机事件。 以扔硬币为例：如果是一个有$A,B$两面的硬币。

$\mathrm{\Omega }=\{A,B\}$。假设我们赌“$A$”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量$X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$来表示。

$X(A)=1$，$X(B)=-1$

如果这个硬币没有做过手脚 那么随机事件$A$ 的概率 $P(A)=P(X=-1)=0.5$, 随机事件$B$的概率 $P(B)=P(X=-1)=0.5$. 符合$\sigma$可加性。

如果我们同时扔两个硬币

$\mathrm{\Omega }=\{(A,A),(A,B),(B,A),(B,B)\}$

一 随机事件

§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；
（1）试验可在相同条件下重复进行；
（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；
（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如： E1：掷一骰子，观察出现的总数； E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为$A,B,C,...$

  例如：在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

  例如：在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为$e$.

  例如，在E1中，用数字$1,2,...,6$表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集$\left\{1\right\},\left\{2\right\},...,\left\{6\right\}$便是E1中的基本事件。在E2中，用$H$表示正面，$T$表示反面，此试验的样本点有$(H,H)$，$(H,T)$，$(T,H)$，$(T,T)$，其基本事件便是$\left\{(H,H)\right\}$，$\left\{(H,T)\right\}$，$\left\{(T,H)\right\}$，$\left\{(T,T)\right\}$显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为$\{2,4,6\}$。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为$\mathrm{\Omega }$。
   例如，
   在E1中，$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$
   在E2中，$\mathrm{\Omega }=\{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}$
   在E3中，$\mathrm{\Omega }=\{0,1,2,...\}$

§2事件间的关系与运算

  1、包含:“若事件$A$的发生必导致事件$B$发生，则称事件$B$包含事件$A$，记为或$B$  $A$。 
     例如，在E1中，令件，简称为积，记为$A$  $B$或$AB$。
 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令$A=\{$接到偶数次呼唤$\}$，$B=\{$接到奇数次呼唤$\}$，则$AB=\{$接到6的倍数次呼唤$\}$
 5、差：称事件$A$发生但事件$B$不发生的事件为$A$减$B$的差事件简称为差，记为$A-B$。
 例如，测量晶体管的$\beta$参数值，令$A=\{$测得$\beta$值不超过$50\}$，$B=\{$测得$\beta$值不超过$100\}$，则，$A-B=\varphi$，$B-A=\{$测得$\beta$值为$50<\beta ⩽100\}$
 6、互不相容：若事件$A$与事件$B$不能同时发生，即$AB=\varphi$，则称$A$与$B$是互不相容的。
 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若$A=\{$红灯亮$\}$，$B=\{$绿灯亮$\}$，则$A$与$B$便是互不相容的。
 7、对立：称事件A不发生的事件为$A$的对立事件，记为  显然  ，$A\cap B=\varphi$