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===基本物理量的定義===
<table class=wikitable>
<tr><th></th><th>相對論</th><th>牛頓力學</th><th>說明</th></tr>
<tr><th>速度v(向量)</th><th><math>\frac{dx}{dt}</math></th><th><math>\frac{dx}{dt}</math></th><th>位置對時間微分</th></tr>
<tr><th>加速度a(向量)</th><th><math>\frac{dv}{dt}</math></th><th><math>\frac{dv}{dt}</math></th><th>速度對時間微分</th></tr>
<tr><th>力F(向量)</th><th><math>\frac{d(mv)}{dt}</math></th><th><math>ma=m*\frac{dv}{dt}</math></th><th>動量mv對時間微分，<br/>牛頓力學中<math>m</math>為常數</th></tr>
<tr><th>功與能(純量)</th><th><math>F*dx</math></th><th><math>F*dx</math></th><th>施力*位移</th></tr>
</table>
===一、第一組推導：以「微分『功』的定義來主導」===
運用 <math>\frac{dx^2}{dx}=2x</math> 則 <math>\frac{dx}{dx^2}=\frac{1}{2x}</math>
====(一)微分相對論質量====
#由 <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}</math> 得 <math>m^2=\frac{m_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}=\frac{m_0^2c^2}{c^2-v^2}</math> 移項後得<br/><math>m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2</math> 或 <math>m^2c^2=m_0^2c^2+m^2v^2</math>
#等號兩邊都對 t 微分，由於 <math>m_0</math> 和 <math>c</math> 都不會隨時間變化，<math>m_0^2c^2</math> 對時間微分會得 0 ，所以 <math>\frac{d(m^2*c^2)}{dt}=\frac{d(m^2*v^2)}{dt}</math>，化簡得 <math>d(m^2*c^2)=d(m^2*v^2)</math>，代入(二)

====(二)微分「功」的定義====
<math>dE_k=F*{dx}=\frac{d(m*v)}{dt}{dx}=d(m*v)*v=\frac{d(m^2v^2)}{d((mv)^2)}*d(m*v)*v=d(m^2v^2)*\frac{d(mv)}{d((mv)^2)}*v</math><br/><math>=d(m^2v^2)*\frac{1}{2mv}*v=d(m^2v^2)*\frac{1}{2m}=d(m^2v^2)*\frac{dm}{dm^2}=d(m^2v^2)*\frac{dm*c^2}{dm^2*c^2}=dm*c^2*\frac{d(m^2v^2)}{d(m^2c^2)}</math>由於(一)所以<br/><math>=dm*c^2</math>

====(三)動能====
對 <math>dE_k</math> 積分得相對論動能 <math>E_k={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2</math>

===二、第二組推導：以「微分『功』的定義來主導(展開再合併)」===
====(一)微分「功」的定義====
<math>dE_k=F*{dx}=\frac{d(m*v)}{dt}{dx}=d(m*v)*v=(dm*v+m*dv)*v=dm*v^2+m*v*dv</math><br/><math>=\frac{2m*dm*v^2+2m*m*v*dv}{2m}=\frac{2m*dm*v^2+2v*dv*m^2}{2m}=\frac{d(m^2)*v^2+d(v^2)*m^2}{2m}</math><br/><math>=\frac{d(m^2v^2)}{\frac{d(m^2)}{dm}}=dm*\frac{d(m^2v^2)}{d(m^2)}=dm*c^2\frac{d(m^2v^2)}{c^2*d(m^2)}=dm*c^2\frac{d(m^2v^2)}{d(m^2c^2)}=dm*c^2</math>
====(二)微分相對論質量====
#由 <math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}</math> 得 <math>m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2</math> 或 <math>m^2c^2=m_0^2c^2+m^2v^2</math>
#等號兩邊都對 t 微分，由於 <math>m_0</math> 和 <math>c</math> 都不會隨時間變化，<math>m_0^2c^2</math> 對時間微分會得 0 ，所以 <math>\frac{d(m^2*c^2)}{dt}=\frac{d(m^2*v^2)}{dt}</math>，化簡得 <math>d(m^2*c^2)=d(m^2*v^2)</math>，代入上式
#對其積分得相對論動能 <math>E_k={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2</math>

===三、第三組推導：兩路並進===
====(一)微分「功」的定義====
<math>dE_k=F*{dx}=\frac{d(m*v)}{dt}{dx}=d(m*v)*v=(dm*v+m*dv)*v=dm*v^2+m*v*dv=</math>相對論質量<math>=dm*c^2</math>
====(二)微分相對論質量====
#由 <math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}</math> 得 <math>m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2</math> 或 <math>m^2c^2=m_0^2c^2+m^2v^2</math>
#等號兩邊都對 t 微分，由於 <math>m_0</math> 和 <math>c</math> 都不會隨時間變化，<math>m_0^2c^2</math> 對時間微分會得 0 ，所以 <math>\frac{d(m^2*c^2)}{dt}=\frac{d(m^2*v^2)}{dt}</math>，化簡得 <math>d(m^2*c^2)=d(m^2*v^2)</math>
#c 為常數，m、v均為變數，化簡上式得 <math>d(m^2)*c^2=d(m^2)*v^2+m^2*d(v^2)</math>
#用鏈式法則得 <math>\frac{dm^2}{dm}*dm*c^2=\frac{dm^2}{dm}*dm*v^2+m^2*\frac{d(v^2)}{dv}*dv</math>
#化簡上式得 <math>2m*dm*c^2=2m*dm*v^2+m^2*2v*dv</math>
#三項同除以 2m 得 <math>dm*c^2=dm*v^2+m*v*dv</math>
#代入第上段式得：<math>dE_k=dm*v^2+m*v*dv=dm*c^2</math>
#對其積分得相對論動能 <math>E_k={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2</math>