查看“︁線性代數/線性變換”︁的源代码

== 基本定義 ==
{{CBox|bg=#e0f3d9|bgleft=#69aa4a
|text=
<math>(V,\,\oplus,\,\cdot)</math> 是定義在體 <math>(F,\,+,\,\times)</math> 上的[[線性代數/線性空間|線性空間]]，若[[w:函數|函數]] <math>f:V\to V</math> 滿足
:<math>(\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a \cdot v \oplus b\cdot w) = a \cdot f(v) \oplus b \cdot f(w)\,]</math>
稱函數 <math>f</math> 是定義在 <math>V</math> 的'''線性變換'''(Linear Transformation)或'''線性算子'''(linear operator)。
}}

有時會定義
:<math>L(V):=\{f\,|\,(f:V\to V)\wedge(\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a \cdot v \oplus b\cdot w) = a \cdot f(v) \oplus b \cdot f(w)\,]\}</math>
並以
:<math>f\in L(V)</math>
來表示 <math>f</math> 是定義在 <math>V</math> 的線性變換。

我們可以把上面的定義稍作推廣
{{CBox|bg=#e0f3d9|bgleft=#69aa4a
|text=
<math>(V,\,\oplus,\,\cdot)</math> 和 <math>(W,\,\odot,\,\circ)</math> 是定義在體 <math>(F,\,+,\,\times)</math> 上的[[線性代數/線性空間|線性空間]]，若[[w:函數|函數]] <math>f:V\to W</math> 滿足
:<math>(\forall v\in V)(\forall w\in W)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a \cdot v \oplus b\cdot w) = a \circ f(v) \odot b \circ f(w)\,]</math>
稱函數 <math>f</math> 是從 <math>V</math> 映射到 <math>W</math>的 '''線性變換'''。
}}

{{TextBox|1=
;示例1.2{{anchor|ex:RThreeHomoRTwoFirst}}:<!--\label{ex:RThreeHomoRTwoFirst}-->
从<math>\mathbb{R}^3</math>到<math>\mathbb{R}^2</math>的投影函数<math> \pi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 </math>

:<math>
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\stackrel{\pi}{\longmapsto}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
</math>

是一个线性变换。

它尊重加法：

:<math>
\pi(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}\!+\!\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix})
=
\pi(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix})
=
\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{pmatrix}
=
\pi(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix})
+
\pi(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix})
</math>

和标量乘法：

:<math>
\pi(r\cdot\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix})
=
\pi(\begin{pmatrix} rx_1 \\ ry_1 \\ rz_1 \end{pmatrix})
=
\begin{pmatrix} rx_1 \\ ry_1 \end{pmatrix}
=
r\cdot\pi(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix})
</math>

由于这个函数不是单射（例如，<math>\mathbf{0}</math>和<math>\mathbf{e}_3</math>都被映射到<math>\mathbb{R}^2</math>中的零向量），它不是一个同构。
}}

== 維度定理==