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集合是数学中一个基本概念，本课主要学习集合。
== 集合与元素 ==
一般地，我们把研究对象统称为'''元素'''，把一些元素组成的整体叫做'''集合'''，简称'''集'''。通常，我们用大写字母<math>A, B, C \cdots</math>表示集合，用小写字母<math>a, b, c \cdots</math>表示集合中的元素。如果<math>a</math> 是集合<math>A</math> 的元素，我们就称<math>a</math> '''属于'''集合<math>A</math>，记作<math>a\in A</math>；反之，则称<math>a</math> 不属于集合<math>A</math>，记作<math>a\not\in A</math><ref>有时也将<math>\not\in</math>记作<math>\overline{\in}</math>。</ref>。<br>
<br>
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为'''全集'''（通常情况下，也把给定的集合称为全集），通常记作<math>U</math>或<math>I</math>。

=== 集合的表示 ===
集合一般有两种表示法：'''列举法'''和'''描述法'''。
==== 列举法 ====
顾名思义，列举法就是一个一个将集合中的元素列举出来，再用“<math>\{ \}</math>”将元素括起来表示集合，元素与元数之间应用“<math>, </math>”隔开。当元素个数过多时，可在将元素规律表示出来后用“<math>\cdots </math>”省略后续元素。
{{TextBox|1=
;例1.6.1{{anchor|综合数学}}: 
用列举法表示集合<math>A= </math>“不大于20的正奇数”，<math>B= </math>“大于或等于10的偶数”。<br>
'''解'''  这里集合<math>A</math>是一个有限集合，元素较少，可以完全列举；但集合<math>B</math>是一个无穷集合，只能用省略号省去部分元素。<br>
故<br>
:<math>
\begin{alignat}{2}
&A= \{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}, \\
&B= \{ 10, 12, 14, 16, \cdots\}\mbox{。 }
\end {alignat}
</math>}}
==== 描述法 ====
描述法是表示一个集合最常用的方法。设<math>P(x)</math>为某个与<math>x</math>有关的条件或法则，<math>X</math>为满足<math>P(x)</math>的全体<math>x</math>构成的集合，则记<math>X</math>为<br>
::<math>X=\{ x | P(x) \}</math>。<ref>当描述法式子中未指明数的性质时，默认为实数。</ref>
相应地，设<math>P(x,y)</math>为某个与<math>x,y</math>有关的条件或法则，<math>A</math>为满足<math>P(x,y)</math>的全体有序数对<math>(x,y)</math>构成的集合，则记<math>A</math>为<br>
::<math>A=\{ (x,y) | P(x,y) \}</math>。
{{TextBox|1=
;例1.6.2{{anchor|综合数学}}: 
用描述法表示例1.1.2中的集合。<br>
'''解'''  依题意，用描述法表示集合，则<br>
::<math>
\begin{alignat}{2}
&A= \{ x|x=2n+1,0\le n\le 9,n\in \mathbb {Z}\}, \\
&B= \{ x|x=2n,n\ge 5,n\in \mathbb{Z}\}\mbox{。 }\end {alignat}
</math><br>
答案不唯一。
}}
=== 集合的分类 ===
集合有许多种，在数学上可以将集合按元素的个数分为'''无限集'''、'''有限集'''和'''空集'''，还可以按元素的类别分为'''数集'''和'''点集'''等。
==== 数集和点集 ====
顾名思义，数集就是数构成的集合，点集就是点构成的集合。我们见的最多的集合就是数集。数学中有一些特殊数集<ref>有时可以用粗体字母表示特殊数集的符号。</ref>：
::由有理数和无理数构成的集合叫作实数集，记作<math>\mathbb {R}</math>；
::由整数和分数构成的集合叫作有理数集，记作<math>\mathbb {Q}</math>；
::由自然数和负整数构成的集合叫作整数集，记作<math>\mathbb {Z}</math>；
::由零和正整数构成的集合叫作自然数集，记作<math>\mathbb {N}</math>。有时为了明确自然数集中包括0，我们会将它记作<math>\mathbb {N}_0</math>；反之，不包含0的自然数集（正整数集）我们记作<math>\mathbb {N}^*</math>；
::由除了1和它本身以外不再有其他的因数的整数构成的集合叫作质数集（有时称作素数集），记作<math>\mathbb {P}</math>；
::由形如<math>a+b\mathrm {i}</math>的数构成的集合叫作复数集，其中<math>a,b\in \mathbb{R}</math>，<math>\mathrm{i}</math>为虚数单位且<math>\mathrm {i}^2 =-1</math>，记作<math>\mathbb {C}</math>；
还有一些特殊数集如四元数集（<math>\mathbb{H}</math>）、八元数集（<math>\mathbb{O}</math>）和十六元数集（<math>\mathbb{S}</math>）等现阶段不要求掌握，虚数集、无理数集（均用<math>\mathbb{I}</math>表示）等有消歧义的一般不使用。
==== 无限集、有限集和空集 ====
令<math>\mathbb {N}^*</math>是正整数的全体，且<math>N_n=\{1, 2, 3, \cdots , n \}</math>,如果存在一个正整数<math>n</math>，使得集合<math>A</math>与<math>N_n</math>一一对应，那么我们称集合A为有限集。同时定义，不含任何元素的集合称作空集，记作<math>\varnothing</math>。空集是特殊的有限集<ref>由于空集不符合有限集定义，故有时不将它看作有限集。</ref>，且空集是否是点集或数集是任意的。相反地，有限集之外的集合我们叫作无限集。
{{TextBox|1=
;例1.6.3{{anchor|综合数学}}: 
判断下列集合是什么集合<br>
:(1)<math>A= \left \{ x|0\leqslant x\leq 10  \right \}</math>；<br>
:(2)<math>B=\left \{ x|x\in \mathbb{Z},x^2\leqslant 0 \right \}</math>；<br>
:(3)<math>C=\left \{ x|x\in \mathbb{N},x<-3  \right \}</math>；<br>
:(4)<math>D=\left \{ \left ( x,y \right )|x\geqslant y \right \}</math>；<br>
'''解'''  (1)依题意，集合<math>A=</math>“大于等于0、小于等于10的（实）数”，明显，集合<math>A</math>是无限数集；<br>
(2)由于实数范围内满足<math>x^2 \leq0</math>的数只有0，且<math>0\in \mathbb{Z}</math>，故集合<math>B=\left \{ 0 \right \}</math>为有限数集；<br>
(3)明显，自然数集内没有小于-3的数，则<math>C=\varnothing</math>，为空集；<br>
(4)由于集合满足<math>x\geqslant y</math>的点有无数个，故集合<math>D</math>为一无限点集。<br>
}}
=== 集合的性质 ===
集合有'''确定性'''、'''互异性'''和'''无序性'''三个性质。
==== 确定性 ====
给定一个集合，则哪些元素在这个集合中，哪些元素不在都应是确定的。例如“我们班个子高的学生”就不是一个集合，因为多高才叫“高个子”是不确定的，不满足集合的确定性；而“我们班身高大于170 cm的学生”是一个集合。或说，任意给定一个元素<math>a</math>，则它是否属于集合<math>A</math>是确定的。

==== 互异性 ====
集合中任意两个元素都是不同的对象。如<math>\{ 1, 1, 2\}</math>不是一个集合，而<math>\{ 1, 2\}</math>才是一个集合<ref>有时也将含有几个相同的元素的集合视为集合，并将几个相同元素视为一个元素。</ref>。互异性使集合中的元素是没有重复，即使两个相同的对象在同一个集合中，也只能算作这个集合的一个元素。
==== 无序性 ====
集合中的元素排列是没有顺序的。例如，集合<math>\{ 1, 3, 2\}=\{ 1, 2, 3\}</math>。<br>
<br>
以上就是集合的三个性质。
== 集合间的基本关系和运算 ==
=== 集合间的基本关系 ===
一般地，对于两个集合<math>A,B</math>，如果集合<math>A</math>中的任何一种元素都是集合<math>B</math>的元素，我们则称集合<math>A</math>是集合<math>B</math>的'''子集'''，记作<br>
::<math>A\subseteq B</math>（或<math>B\supseteq A</math>）<br>
读作“<math>A</math>包含于<math>B</math>”（或“<math>B</math>包含<math>A</math>”）。同时，如果有两个集合<math>A,B</math>满足<math>A\subseteq B</math>且<math>B\subseteq A</math>，我们则称这两个集合相等，记作<br>
::<math>A=B</math>。<br>
若对于两个集合<math>A,B</math>，有<br>
::<math>A\subseteq B</math>但<math>A\neq B</math><br>
我们则称集合<math>A</math>是集合<math>B</math>的'''真子集'''，记作<ref>有时也将“<math>\subset ,\supset</math>”写作“<math>\subsetneqq ,\supsetneqq</math>”，多见于我国（指中华人民共和国）中学教材。</ref><br>
::<math>A\subset B</math>（或<math>B\supset A</math>）<br>
读作“<math>A</math>真包含于<math>B</math>”（或“<math>B</math>真包含<math>A</math>”）。
由上述定义我们可以得到（'''子集的性质'''）：
:1.  空集是任何集合的子集；
:2.  任何集合都是它本身的子集，即
::<math>A\subseteq A</math>；
:3. （'''集合的传递性'''）如果集合<br />
::<math>A\subseteq B, B\subseteq C</math>，<br />
:则<br />
::<math>A\subseteq C</math>；<br />
:更一般地，我们有：<br />
:若<br />
::<math>A_1 \subseteq A_2 , A_2 \subseteq A_3 ,\cdots ,A_{n-1} \subseteq A_n,</math><br/>
:则<br />
::<math>A_1 \subseteq A_n</math>；<br>
:4.  若集合<math>A</math>中有<math>n</math>个元素，则<math>A</math>的子集共有<math>2^n</math>，真子集有<math>2^{n-1}</math>个。
集合的相等和真子集均满足上述性质。证明略。
{{TextBox|1=
;例1.6.4{{anchor|综合数学}}: 
列举出集合<br>
::<math>A=\{ 1,2,3 \}</math>
的全部子集。<br>
'''解'''  集合<math>A</math>的全部子集有：
::<math>\varnothing ,\{ 1\} ,\{2\} ,\{3\} ,\{1,2\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1,2,3\}</math>
}}

=== 集合的相关运算 ===
一般地，由集合<math>A</math>与集合<math>B</math>的所有元素构成的集合，称为<math>A,B</math>的'''并集'''，记为
::<math>A\cup B</math>，<br>
可表示为
::<math>A\cup B=\left \{ x|x\in A\vee x\in B  \right \}</math>。
又有，由集合<math>A</math>与集合<math>B</math>的所有公共元素构成的集合，称为<math>A,B</math>的'''交集'''，记为
::<math>A\cap B</math>，<br>
可表示为
::<math>A\cap B=\left \{ x|x\in A\wedge  x\in B  \right \}</math>。
{{TextBox|1=
;例1.6.5{{anchor|综合数学}}: 
若集合<br>
::<math>A=\{ 1,2,3 \} ,B=\{ 2, 3, 4\}</math>，<br>
求<math>A\cap \left ( A\cup B \right )</math><br>
'''解'''  由题，有
::<math>\begin{alignat}{3}
 A\cap \left ( A\cup B \right )&=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left ( \left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,3,4 \right \} \right )\\ 
 &=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 1,2,3,4 \right \} \\ 
 &= \left \{ 1,2,3 \right \}\mbox{。 }
\end{alignat}</math>
}}
对于由所有属于集合<math>B</math>但不属于集合<math>A</math>的元素，我们称为集合<math>A</math>相对于<math>B</math>的'''相对补集'''，记作
::<math>B-A</math><ref>或<math>\complement _BA</math>。</ref>，
可表示为
::<math>B-A =\left \{ x|x\in B\wedge x\not\in A \right \}</math>。<br>
特殊地，集合<math>A</math>相对于全集<math>U</math>的补集叫作'''绝对补集'''，记作
::<math>\overline{A}</math><ref>或<math>A^{C}</math>、<math>\complement _UA</math>。</ref>，<br>
可表示为
::<math>\overline{A}=\{ x|x\not\in A\}</math>。<br>
由所有属于<math>A\cup B</math>但不属于<math>A\cap B</math>的元素所构成的集合叫作集合<math>A,B</math>的'''对称差'''，记作
::<math>A \Delta B</math>，
可表示为
::<math>A\Delta B=\{ x|x\in A\cup B \wedge x\not\in A\cap B\}</math>。<br>
关于集合运算有以下常用结论：
:(1)'''等幂律'''：
::<math>A\cap A=A,A\cup A=A</math>；
:(2)'''同一律'''：
::<math>A\cap I=A,A\cup I=I,A\cap \varnothing =\varnothing ,A\cup \varnothing =A</math>；
:(3)'''互补律'''：
::<math>A\cap \overline{A}=\varnothing ,A\cup \overline{A}=I,\overline{\overline{A}}=A,\overline{I}=\varnothing,\overline{\varnothing}=I</math>；
:(4)'''交换律'''：
::<math> A\cap B=B\cap A,A\cup B=B\cup A</math>；
:(5)'''结合律'''：
::<math>A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C,A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C</math>；
:(6)'''分配率'''：
::<math>A\cap \left ( \bigcup_{i}A_{i} \right )=\bigcup_{i}\left ( A\cap A_{i} \right ),A\cup \left ( \bigcap_{i}A_{i} \right )=\bigcap_{i}\left ( A\cap A_{i} \right )</math>；
:(7)'''吸收率'''：
::<math>A\cup (A\cap B)= A,A\cap (A\cup B)=A</math>；
:(8)'''反演律'''：
::<math>\overline{\bigcap_{i}A_{i}}=\bigcap_{i}\overline{A_{i}},\overline{\bigcup_{i}A_{i}}=\bigcup_{i}\overline{A_{i}}</math>。
利用相关定义即可证明，略。上述运算定律在以后会有很大帮助。
=== 容斥原理 ===
若记有限集合<math>A</math>中的元素个数为<math>|A|</math><ref>有时也记为<math>\mathrm{card}(A)</math>。</ref>，则由Venn图（下图）可知：
:1.<math>|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|</math>；
:2.<math>|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|</math>。
<gallery>
File:Venn0000.svg|A∪B
File:Venn 0000 0000.svg|A∪B∪C
</gallery>
一般地，对于<math>n</math>个有限集合<math>A_1,A_2\cdots ,A_n</math>，则有
::<math>\left | \bigcup_{i=1}^{n} \right |=\sum_{k=1}^{n}\left ( \left ( -1 \right )^{k-1}\left ( \sum_{1\leqslant i_1 <i_2<\cdots <i_k\leqslant n}\left | \bigcap_{j=1}^{k}A_{i_j} \right | \right ) \right )</math>。
我们称上述公式为'''容斥定理'''。<br>
'''证'''  该原理可以用数学归纳法证明。<br>
当<math>n=2</math>时，结论显然成立。<br>
假设命题对<math>n-1</math>成立，需证明命题对<math>n</math>也成立。<br>
注意到<math>\bigcup_{i=1}^n A_i=\left (\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \right )\cup A_n</math>，由<math>n=2</math>的情形可知：
::<math>\begin{alignat}{2}
 \left |\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right |&=\left | \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \right |+\left | A_n \right |-\left | \left ( \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \right )\cap A_n \right | \\ 
 &=\left | \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \right |+\left | A_n \right |-\left |  \bigcup_{i=1}^{n-1}\left (A_i \cap A_n \right )\right |\mbox{， }
\end{alignat}</math><br>
由归纳假设，对于<math>n-1</math>个集合<math>A_1,A_2,\cdots ,A_n-1</math>，有
::<math>\begin{alignat}{2}
 \left | \bigcap_{i=1}^{n}\left ( A_i\cap A_n \right ) \right |&=\sum_{k=1}^{n-1}\left ( \left ( -1 \right )^{k-1}\left ( \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots <i_k\leqslant n}\left | \bigcap_{j=1}^{k}\left ( A_{i_j}\cap A_n \right ) \right | \right ) \right ) \\ 
 &= \sum_{k=1}^{n-1}\left ( \left ( -1 \right )^{k-1}\left ( \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots <i_k\leqslant n}\left | \left ( \bigcap_{j=1}^{k}A_{i_j} \right )\cap A_n \right | \right ) \right )\mbox{， }
\end{alignat}</math><br>
又由归纳假设，对于<math>n-1</math>个集合<math>A_1,A_2,\cdots ,A_n-1</math>，有
::<math>\left | \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i \right |=\sum_{k=1}^{n-1}\left ( \left ( -1 \right )^{k-1}\left ( \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots <i_k\leqslant n}\left | \bigcap_{j=1}^{k}A_{i_j} \right | \right ) \right )</math>，
把上两式代入一式，即得容斥原理。<math>\blacksquare</math>
== Venn图 ==
在2.3中提到的'''Venn图'''是用于显示元素集合重叠区域的图示，也称维恩图、文氏图。在集合论中，常常用Venn图来表示集合间的关系或运算。<br>
同样的，我们之前学过的集合的关系和运算也可以用Venn图表示如下：
<gallery>
File:Venn1111.svg|U
File:Venn1110.svg|A<sup>C</sup>∪B<sup>C</sup>
File:Venn0111.svg|A∪C
File:Venn1101.svg|A∪B<sup>C</sup>
File:Venn0110.svg|A Δ B
File:Venn1011.svg|A<sup>C</sup>∪B
File:Venn1100.svg|B<sup>C</sup>
File:Venn0101.svg|A
File:Venn1010.svg|A<sup>C</sup>
File:Venn0011.svg|B
File:Venn0100.svg|A∩B<sup>C</sup>
File:Venn1001.svg|(A Δ B)<sup>C</sup>
File:Venn0010.svg|A<sup>C</sup>∩B
File:Venn1000.svg|A<sup>C</sup>∩B<sup>C</sup>
File:Venn0001.svg|A∩B
File:Venn0000.svg|∅
</gallery>

== 区间与邻域 ==
集合论中常用的实数集合为区间与邻域。<br>
设<math>a,b \in \mathbb{R}</math>且<math>a<b</math>，我们定义：
:(1)'''闭区间'''：<math>[\, a,b\, ]=\{ x|a\leqslant x\leqslant b\}</math>；
:(2)'''开区间'''：<math>(a,b)=\{ x|a<x<b\}</math>；
:(3)'''半开区间'''：
::(3.1)左开区间：<math>(a,b\, ]=\{ x|a<x\leqslant b\}</math>；
::(3.2)右开区间：<math>[\, a,b)=\{ x|a\leqslant x<b\}</math>；
:(4)'''无穷区间'''：
::(4.1)  <math>(-\infty ,b\, ]=\{ x|x\leqslant b\}</math>；
::(4.2)  <math>(-\infty ,b)=\{ x|x<b\}</math>；
::(4.3)  <math>[\, a,+\infty )=\{ x|x\geqslant a\}</math>；
::(4.4)  <math>(a,+\infty )=\{ x|x>a\}</math>；
::(4.5)  <math>(+\infty ,-\infty)=\mathbb{R}</math>。<br>
通常，我们将上述四类区间统称为'''区间'''。其中(1)-(3)我们称为'''有限区间'''，<math>a,b</math>分别称为区间的左端点、右端点。<br>
设<math>\varepsilon</math>为某个正数，则称开区间<math>(x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon)</math>为点<math>x_0</math>的<math>\varepsilon</math>邻域；称<math>x_0</math>为邻域的中心，<math>\varepsilon</math>为邻域的半径。<br>
点<math>x_0</math>的邻域去掉中心<math>x_0</math>后的集合
::<math>(x_0-\varepsilon ,x_0)\cup(x_0,x_0+\varepsilon)</math><br>
称为点<math>x_0</math>的'''空心邻域'''或'''去心邻域'''；称开区间<math>(x_0-\varepsilon ,x_0)</math>为点<math>x_0</math>的'''左邻域'''，<math>(x_0,x_0+\varepsilon)</math>为点<math>x_0</math>的'''右邻域'''。<br>
点<math>x_0</math>的邻域可表示为不等式
::<math>|x-x_0|<\varepsilon</math>；<br>
点<math>x_0</math>的空心邻域可表示为不等式
::<math>0<|x-x_0|<\varepsilon</math>。

== 注释 ==