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|G1=Communication
|G2=Math
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== 傅立葉頻譜的特性 ==
<math>\Chi(f)= \int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>

<math>\Chi(f)= \int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{j2\pi (-f)t}\, dt</math>

<math>\Chi(f)= [\int_{-\infty}^{\infty}\chi^*(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>]<math>^*</math>
                         當<math>\chi(t)</math>為實數訊號
<math>\Chi(f)= [\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math>]<math>^*</math>= <math>\Chi^*(f)</math>

故   
<math>\mid\Chi(-f)\mid = \mid\Chi(f)\mid</math>

<math>\angle\Chi(-f) = -\angle\Chi(f)</math>

即振幅頻譜具有偶對稱特性；相位頻譜具有奇對稱特性。
        注意：以上特性需要<math>\chi(t)</math>為實數訊號

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== 傅立葉頻譜的特性(續) ==
當<math>\chi(t)</math>為實數偶函數時
<math>\Chi(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) e^{-j2\pi ft}\, dt</math> =
<math>\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) \cos 2\pi ft\, dt - j\int_{-\infty}^{\infty}\chi(t) \sin 2\pi ft\, dt</math>
<math> =2\int_{0}^{\infty}\chi(t) \cos 2\pi ft\, dt-j0</math>

<math> =2\int_{0}^{\infty}\chi(t) \cos 2\pi ft\, dt \Rightarrow \Chi(f)</math>為實數頻譜                                                   

 <math>\Chi(-f)= \Chi^*(f)= \Chi(f)\Rightarrow \Chi(f)</math>具有偶對稱
 

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== 傅立葉頻譜的特性(續) ==
當<math>\chi(t)</math>為實數奇函數時
<math>\Chi(f)=0-j2\int_{0}^{\infty}\chi(t) \sin 2\pi ft\, dt</math>
<math>j[-2\int_{0}^{\infty}\chi(t) \sin 2\pi ft\, dt]</math>實數

<math>\Chi(f)</math>為純虛數頻譜。

又<math>\Chi(-f)= \Chi^*(f)= -\Chi(f)\Rightarrow \Chi(f)</math>具有奇對稱

結論：
當<math>\chi(t)</math>為實數偶函數<math>\Rightarrow \Chi(f)</math>為實數偶函數

當<math>\chi(t)</math>為實數奇函數<math>\Rightarrow \Chi(f)</math>為純虛數奇函數

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== 傅立葉轉換存在的條件 ==
數學上確保傅立葉轉換可以收斂的條件是：
(1)絕對可積分，即<math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid\chi(t)\mid\, dt<\infty</math>

(2)任意有限時間區間內，<math>\chi(t)</math>極值(包括極大與極小)的個數有限。

(3)任意有限時間區間內，<math>\chi(t)</math>不連續點的個數有限且這些不連續點也 必須為有限值。

若允許脈衝訊號<math>\delta(t)</math>和<math>\delta(f)</math>可以用於傅立葉轉換對，則許多訊號 (諸如常用的脈衝訊號、步階訊號、複指數、弦波訊號以及週期訊號等) 都可有其傅立葉轉換，這種傅立葉轉換稱為廣義的傅立葉轉換(generalized Fourier transform)。