訊號與系統/傅立葉頻譜的特性

傅立葉頻譜的特性

$\mathrm{X}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$

$\mathrm{X}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)e^{j2\pi (-f)t}dt$

$\mathrm{X}(f)=[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }^{*}(t)e^{-j2\pi ft}dt$]${*}^{}$

                        當$\chi (t)$為實數訊號

$\mathrm{X}(f)=[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$]${*}^{}$= ${\mathrm{X}}^{*}(f)$

故 $\mid \mathrm{X}(-f)\mid =\mid \mathrm{X}(f)\mid$

$\mathrm{\angle }\mathrm{X}(-f)=-\mathrm{\angle }\mathrm{X}(f)$

即振幅頻譜具有偶對稱特性；相位頻譜具有奇對稱特性。

       注意：以上特性需要$\chi (t)$為實數訊號

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傅立葉頻譜的特性(續)

當$\chi (t)$為實數偶函數時 $\mathrm{X}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$ = $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)\cos 2\pi ftdt-j\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)\sin 2\pi ftdt$ $=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)\cos 2\pi ftdt-j0$

$=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)\cos 2\pi ftdt\Rightarrow \mathrm{X}(f)$為實數頻譜

$\mathrm{X}(-f)={\mathrm{X}}^{*}(f)=\mathrm{X}(f)\Rightarrow \mathrm{X}(f)$具有偶對稱

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傅立葉頻譜的特性(續)

當$\chi (t)$為實數奇函數時 $\mathrm{X}(f)=0-j2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)\sin 2\pi ftdt$ $j[-2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t)\sin 2\pi ftdt]$實數

$\mathrm{X}(f)$為純虛數頻譜。

又$\mathrm{X}(-f)={\mathrm{X}}^{*}(f)=-\mathrm{X}(f)\Rightarrow \mathrm{X}(f)$具有奇對稱

結論： 當$\chi (t)$為實數偶函數$\Rightarrow \mathrm{X}(f)$為實數偶函數

當$\chi (t)$為實數奇函數$\Rightarrow \mathrm{X}(f)$為純虛數奇函數

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傅立葉轉換存在的條件

數學上確保傅立葉轉換可以收斂的條件是： (1)絕對可積分，即$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid \chi (t)\mid dt<\mathrm{\infty }$

(2)任意有限時間區間內，$\chi (t)$極值(包括極大與極小)的個數有限。

(3)任意有限時間區間內，$\chi (t)$不連續點的個數有限且這些不連續點也 必須為有限值。

若允許脈衝訊號$\delta (t)$和$\delta (f)$可以用於傅立葉轉換對，則許多訊號 (諸如常用的脈衝訊號、步階訊號、複指數、弦波訊號以及週期訊號等) 都可有其傅立葉轉換，這種傅立葉轉換稱為廣義的傅立葉轉換(generalized Fourier transform)。