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== 弦波訊號 ==



弦波訊號(sinusoidal signal)表示為


x(t)=A<math>\cos</math>(<math>\omega</math><math>_o</math><math>t</math>+<math>\theta</math>) =A<math>\cos(</math>2<math>\pi</math><math>f_o</math>t+<math>\theta</math>)







由上圖可知，弦波訊號為一週期訊號。
週期：
    
      
     <math>T_0={2\pi \over \omega _o}={1\over f_0} </math>



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== 弦波訊號的參數 ==

弦波訊號 x(t)=A<math>\cos</math>(<math>\omega</math><math>_o</math><math>t</math>+<math>\theta</math>) =A<math>\cos(</math>2<math>\pi</math><math>f_o</math>t+<math>\theta</math>)的三個參數：


振幅(amplitude) ：上式中的 A，為弦波訊號的最大值。


頻率(frequency) ：上式中的 <math>f_0</math>，即為弦波訊號的頻率，代表每秒鐘會重複<math>f_0</math>個相同波形，常用單位為赫茲(Hz,hertz)。
而<math>\omega</math><math>o</math>=2<math>\pi</math><math>f</math><math>o</math> 則稱為角頻率(radian  frequency) ，常用單位為弳度/秒(rad/sec) 。


由以上定義可知，弦波訊號的週期： 


 <math>T_0={2\pi \over \omega _o}={1\over f_0} </math>



相位(phase) ：上述中的 θ 為時間t=0時，弦波訊號的角度，此一相位可對應到時間上的超前(advance)或延遲(delay) 。



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== 弦波訊號的參數(續) ==

給定振幅、頻率及相位三個參數則可確定一個弦波訊號。













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== 相位與延遲 ==

弦波訊號x(t)=A<math>\cos(</math>2<math>\pi</math><math>f_o</math>t+<math>\theta</math>)延遲(delay)<math>t_d</math>後可表示為：


<math>x_d(t)</math>=x(t-<math>t_d</math>)=Acos(2<math>\pi</math><math>f_o</math>(t-<math>t_d</math>)+<math>\theta</math>)=Acos(2<math>\pi</math><math>f_o</math><math>t</math>+<math>\theta</math>-2<math>\pi</math><math>f_o</math><math>t_d</math>)


顯然時間延遲所造成的效應相當於相位角相差<math>\phi</math>=2<math>\pi</math><math>f_o</math><math>t_d</math>；換言之，兩弦波訊號之相位差為<math>\phi</math>時，代表此正弦訊號之時間差為<math>t_d</math>=<math>\phi</math>/ 2<math>\pi</math><math>f_o</math>。

由三角公式知，
                    sin(2<math>\pi</math><math>f_o</math><math>t</math>)=cos(2<math>\pi</math><math>f_o</math><math>t</math>-<math>\pi \over 2 </math>)

故正弦函數與餘弦函數均為弦波訊號，只是存在 <math>\pi \over 2 </math>(<math>90^o</math>)相位差。



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== 相位與延遲(續) ==







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== 常用三角公式 ==                                    
<math>e^{\pm\mu}=cosu \pm jsinu</math>   （欧拉公式）                
                                                          
<math>cosu={1\over 2}(e^{ju} +e^{-ju })</math>


<math>sinu=(e^{ju}-e^{-ju})/2j</math>


<math>sin ^2 u+cos^2 u=1</math>


<math>cos^2 u-sin^2 u=cos2u</math>


<math>2sinu+cosu=sin2u</math>

<math>cos^2 u={1\over 2}(1+cos2u)</math>

<math>sin^2 u={1\over 2}(1-cos2u)</math>


<math>sin(u\pm  v)</math>=<math> sinu cosv\pm sinv cosu  </math>


<math>cos(u\pm  v)</math>=<math> cosu cosv\mp sinu sinv  </math>


<math>sinusinv={1\over 2}[cos(u-v)-cos(u+v)]</math>

<math>cosucosv={1\over 2}[cos(u-v)+cos(u+v)]</math>

<math>sinucosv={1\over 2}[sin(u-v)+sin(u+v)]</math>



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== 複指數訊號 ==

複指數訊號(complex exponential signal) ：

                            x(t)=<math>Ae^{j(\omega _ot+\theta)}</math>)=<math>Ae^{j(2\pi f_ot+\theta) }</math>     




在複數平面上，x(t)是一個長度為A的線段以固定的速度逆時針繞原點旋轉，如下圖：                                                                    


其中，固定的繞行速度為每秒 <math>\omega_o</math> 弳度(radian)或每秒 <math>f_o</math>     圈 (cycle) ；而時間t=o時之角度為<math>\theta</math>，稱為初始相位(initial phase) 。



　

　

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== 範例2.1 ==
                        

在複數平面上3個不同的複指數訊號



　
x1(t)=<math>Ae^{j\omega_ot}</math>

  x2(t)=<math>{2A \over 3}e^{j(2\omega_ot+\pi /6)}</math>
 
  x3(t)=<math>{2A \over 3}e^{j(3\omega_ot+\pi /2)}</math>








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== 弦波與複指數訊號 ==
尤拉公式(Euler formula)                                  

<math>e^{j\beta}</math>=cos<math>\beta</math>+jsin<math>\beta</math>


<math>Ae^{j(\omega_ot+\theta)}</math>=<math>Acos(\omega_ot+\theta)</math>+<math>jAsin(\omega_ot+\theta)</math>


<math>Ae^{j(2\pi f_ot+\theta)}</math>=<math>Acos(2\pi f_ot+\theta)</math>+<math>jAsin(2\pi f_ot+\theta)</math>



由上可知，複指數訊號的實數部份即為弦波訊號之餘弦函數；
  虛數部分即為弦波訊號之正弦函數。 
                                              
故x(t)=<math>Acos(\omega_ot+\theta)</math>=<math>Re[Ae^{j(\omega_ot+\theta)}]</math>=<math>Re[x_p(t)]                                                                                      </math>              
                                                                                                               
或x(t)=<math>Acos(2\pi f_ot+\theta)</math>=<math>Re[Ae^{j(2\pi f_ot+\theta)}]</math>=<math>Re[x_p(t)]                                                                                      </math>              
                                                                                                          

     <math> x_p(t)</math>稱為弦波訊號 x(t)的旋轉相量(rotating phasor)





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== 範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加 ==



x(t)=cos<math>\omega_ot -\sqrt{3}</math>sin<math>\omega_ot</math>=c cos(<math>\omega_ot</math>+<math>\theta</math>)


方法Ι：三角公式化簡       
                                                                             
方法Ⅱ：利用相量表示法(phasor representation)相加 　






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== 範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續) ==


x(t)=cos<math>\omega_ot -\sqrt{3}</math>sin<math>\omega_ot</math>=c cos(<math>\omega_ot</math>+<math>\theta</math>)





方法Ι：三角公式化簡   

<math>c cos(\omega_ot+\theta)</math>=<math>c cos\theta  cos\omega_ot</math>-<math>c sin\theta sin\omega_ot</math>

=<math>a cos\omega_ot</math>+<math>b sin\omega_ot </math>


故a=<math>c cos\theta</math>   ,   b=<math>-c sin\theta</math>

<math>c=\sqrt {a^2+b^2}</math>   ,  <math>\theta</math> =<math>tan^{-1}\left[ \frac{-b}{a} \right]</math>

a=1    ,  b=<math>-\sqrt{3}</math>

c=2    ,  <math>\theta=60^o</math>

<math>\Rightarrow</math> x(t)= cos<math>\omega_ot</math>-<math>\sqrt{3}sin \omega_ot</math>=2cos<math>(\omega_ot+60^o)</math>





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== 範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續) ==


<math>x(t)=\cos \omega_{o}t -\sqrt{3} \sin \omega_{o}t = c \cos(\omega_{o}t + \theta)</math>



方法Ⅱ：相量表示法

    <math>1\cos \omega_ot</math> 的旋轉相量為 <math>1 e^{j \omega_ot}</math>
   <math>-\sqrt{3} \sin \omega_ot=\sqrt{3} \cos(\omega_ot+90^o)</math> 之旋轉相量為 <math>\sqrt{3} e^{j(\omega_ot+90^o)}</math>


  由於兩者有相同的頻率，即兩者在複數平面上繞行的速度相同，故可視為固
    定不動(類似於火車上的乘客，在地面觀察為快速前進；但由火車上的其他乘
    客觀察則為靜止不動) 。




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==範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續) ==

定義：相量表示法                                                                                


<math>cos\omega_ot</math> <math>\to</math> <math>1e^{j0^o}</math>
表示為<math>1\angle 0^o</math>

將此二個相量相加可得


<math>1\angle 0^o</math>+<math>\sqrt{3}\angle 90^o</math> = <math>2\angle 60^o</math>

 <math>\Rightarrow</math> 旋轉向量<math>2e^{j\omega_ot+ 60^o}</math>


 <math>\Rightarrow</math>x(t)=<math>2cos(\omega_ot+ 60^o)</math>






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== 指數訊號 ==


x(t)=<math>e^{(\sigma+j\omega)t}</math>=<math>e^{\sigma t}</math> <math>e^{j\omega t }</math>=<math>e^{\sigma t}</math><math>(cos\omega t+jsin\omega t)</math>
=<math>e^{\sigma t} cos\omega t</math>+<math>e^{\sigma t }jsin\omega t</math>
=<math>x_r(t)</math>+j<math>x_i(t)</math>




<math>x_r(t)</math>與j<math>x_i(t)</math>為指數遞增(或遞減)之弦波訊號



當<math>\omega=0    \Rightarrow</math> x(t)=<math>e^{\sigma t }</math>(實數指數訊號)


當<math>\alpha=0    \Rightarrow</math> x(t)=<math>e^{j\omega t }</math>(複數指數訊號)




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== 指數訊號（續） ==