訊號與系統/常用連續時間訊號

弦波訊號

弦波訊號(sinusoidal signal)表示為

x(t)=A$\cos$($\omega$${}_o$$t$+$\theta$) =A$\cos ($2$\pi$$f_o$t+$\theta$)

由上圖可知，弦波訊號為一週期訊號。 週期：

    $T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_o}=\frac{1}{f_0}$

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弦波訊號的參數

弦波訊號 x(t)=A$\cos$($\omega$${}_o$$t$+$\theta$) =A$\cos ($2$\pi$$f_o$t+$\theta$)的三個參數：

振幅(amplitude) ：上式中的 A，為弦波訊號的最大值。

頻率(frequency) ：上式中的 $f_0$，即為弦波訊號的頻率，代表每秒鐘會重複$f_0$個相同波形，常用單位為赫茲(Hz,hertz)。 而$\omega$$o$=2$\pi$$f$$o$ 則稱為角頻率(radian frequency) ，常用單位為弳度/秒(rad/sec) 。

由以上定義可知，弦波訊號的週期：

$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_o}=\frac{1}{f_0}$

相位(phase) ：上述中的 θ 為時間t=0時，弦波訊號的角度，此一相位可對應到時間上的超前(advance)或延遲(delay) 。

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弦波訊號的參數(續)

給定振幅、頻率及相位三個參數則可確定一個弦波訊號。

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相位與延遲

弦波訊號x(t)=A$\cos ($2$\pi$$f_o$t+$\theta$)延遲(delay)$t_d$後可表示為：

$x_d(t)$=x(t-$t_d$)=Acos(2$\pi$$f_o$(t-$t_d$)+$\theta$)=Acos(2$\pi$$f_o$$t$+$\theta$-2$\pi$$f_o$$t_d$)

顯然時間延遲所造成的效應相當於相位角相差$\varphi$=2$\pi$$f_o$$t_d$；換言之，兩弦波訊號之相位差為$\varphi$時，代表此正弦訊號之時間差為$t_d$=$\varphi$/ 2$\pi$$f_o$。

由三角公式知，

                   sin(2$\pi$$f_o$$t$)=cos(2$\pi$$f_o$$t$-$\frac{\pi }{2}$)

故正弦函數與餘弦函數均為弦波訊號，只是存在 $\frac{\pi }{2}$($90^o$)相位差。

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常用三角公式

$e^{\pm \mu }=cosu\pm jsinu$ （欧拉公式）

$cosu=\frac{1}{2}(e^{ju}+e^{-ju})$

$sinu=(e^{ju}-e^{-ju})/2j$

$si{n}^{2}u+co{s}^{2}u=1$

$co{s}^{2}u-si{n}^{2}u=cos2u$

$2sinu+cosu=sin2u$

$co{s}^{2}u=\frac{1}{2}(1+cos2u)$

$si{n}^{2}u=\frac{1}{2}(1-cos2u)$

$sin(u\pm v)$=$sinucosv\pm sinvcosu$

$cos(u\pm v)$=$cosucosv\mp sinusinv$

$sinusinv=\frac{1}{2}[cos(u-v)-cos(u+v)]$

$cosucosv=\frac{1}{2}[cos(u-v)+cos(u+v)]$

$sinucosv=\frac{1}{2}[sin(u-v)+sin(u+v)]$

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複指數訊號

複指數訊號(complex exponential signal) ：

                           x(t)=$A{e}^{j({\omega }_{o}t+\theta )}$)=$A{e}^{j(2\pi f_{o}t+\theta )}$     

在複數平面上，x(t)是一個長度為A的線段以固定的速度逆時針繞原點旋轉，如下圖：

其中，固定的繞行速度為每秒 ${\omega }_o$ 弳度(radian)或每秒 $f_o$ 圈 (cycle) ；而時間t=o時之角度為$\theta$，稱為初始相位(initial phase) 。

　

　

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範例2.1

在複數平面上3個不同的複指數訊號

　 x1(t)=$A{e}^{j{\omega }_{o}t}$

 x2(t)=$\frac{2A}{3}{e}^{j(2{\omega }_{o}t+\pi /6)}$

 x3(t)=$\frac{2A}{3}{e}^{j(3{\omega }_{o}t+\pi /2)}$

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弦波與複指數訊號

尤拉公式(Euler formula)

$e^{j\beta }$=cos$\beta$+jsin$\beta$

$A{e}^{j({\omega }_{o}t+\theta )}$=$Acos({\omega }_{o}t+\theta )$+$jAsin({\omega }_{o}t+\theta )$

$A{e}^{j(2\pi f_{o}t+\theta )}$=$Acos(2\pi f_{o}t+\theta )$+$jAsin(2\pi f_{o}t+\theta )$

由上可知，複指數訊號的實數部份即為弦波訊號之餘弦函數；

 虛數部分即為弦波訊號之正弦函數。 
                                             

故x(t)=$Acos({\omega }_{o}t+\theta )$=$Re[A{e}^{j({\omega }_{o}t+\theta )}]$=$Re[x_p(t)]$

或x(t)=$Acos(2\pi f_{o}t+\theta )$=$Re[A{e}^{j(2\pi f_{o}t+\theta )}]$=$Re[x_p(t)]$

    $x_p(t)$稱為弦波訊號 x(t)的旋轉相量(rotating phasor)

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加

x(t)=cos${\omega }_{o}t-\sqrt{3}$sin${\omega }_{o}t$=c cos(${\omega }_{o}t$+$\theta$)

方法Ι：三角公式化簡

方法Ⅱ：利用相量表示法(phasor representation)相加 　

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續)

x(t)=cos${\omega }_{o}t-\sqrt{3}$sin${\omega }_{o}t$=c cos(${\omega }_{o}t$+$\theta$)

方法Ι：三角公式化簡

$ccos({\omega }_{o}t+\theta )$=$ccos\theta cos{\omega }_{o}t$-$csin\theta sin{\omega }_{o}t$

=$acos{\omega }_{o}t$+$bsin{\omega }_{o}t$

故a=$ccos\theta$ , b=$-csin\theta$

$c=\sqrt{a^2+b^2}$ , $\theta$ =$ta{n}^{-1}\left[\frac{-b}{a}\right]$

a=1 , b=$-\sqrt{3}$

c=2 , $\theta =60^o$

$\Rightarrow$ x(t)= cos${\omega }_{o}t$-$\sqrt{3}sin{\omega }_{o}t$=2cos$({\omega }_{o}t+60^o)$

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續)

$x(t)=\cos {\omega }_{o}t-\sqrt{3}\sin {\omega }_{o}t=c\cos ({\omega }_{o}t+\theta )$

方法Ⅱ：相量表示法

   $1\cos {\omega }_{o}t$ 的旋轉相量為 $1e^{j{\omega }_{o}t}$
  $-\sqrt{3}\sin {\omega }_{o}t=\sqrt{3}\cos ({\omega }_{o}t+90^o)$ 之旋轉相量為 $\sqrt{3}{e}^{j({\omega }_{o}t+90^o)}$

 由於兩者有相同的頻率，即兩者在複數平面上繞行的速度相同，故可視為固
   定不動(類似於火車上的乘客，在地面觀察為快速前進；但由火車上的其他乘
   客觀察則為靜止不動) 。

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範例2.2：相同頻率之弦波訊號相加(續)

定義：相量表示法

$cos{\omega }_{o}t$ $\to$ $1e^{j{0}^o}$ 表示為$1\mathrm{\angle }{0}^o$

將此二個相量相加可得

$1\mathrm{\angle }{0}^o$+$\sqrt{3}\mathrm{\angle }90^o$ = $2\mathrm{\angle }60^o$

$\Rightarrow$ 旋轉向量$2e^{j{\omega }_{o}t+60^o}$

$\Rightarrow$x(t)=$2cos({\omega }_{o}t+60^o)$

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指數訊號

x(t)=$e^{(\sigma +j\omega )t}$=$e^{\sigma t}$ $e^{j\omega t}$=$e^{\sigma t}$$(cos\omega t+jsin\omega t)$ =$e^{\sigma t}cos\omega t$+$e^{\sigma t}jsin\omega t$ =$x_r(t)$+j$x_i(t)$

$x_r(t)$與j$x_i(t)$為指數遞增(或遞減)之弦波訊號

當$\omega =0\Rightarrow$ x(t)=$e^{\sigma t}$(實數指數訊號)

當$\alpha =0\Rightarrow$ x(t)=$e^{j\omega t}$(複數指數訊號)

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