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|G1=Communication
|G2=Math
}}

== 指數傅立葉級數 ==
假設X(t)為一週期訊號，基本週期為0，則X(t)可表示成複指數訊號的和：
<math>\mathbf{\chi(t)}</math>=...+<math>X_{-2}e^{-j2\omega_0t}</math>+<math>X_{1}e^{-j\omega_0t}</math>+<math>\mathbf{X_{0}}</math>+<math>X_{1}e^{j\omega_0t}</math>+<math>X_{2}e^{j2\omega_0t}</math>+...

=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_{n}e^{jn\omega_0t}</math>



其中       <math>\omega_0=\frac{\boldsymbol{2\pi}}{\boldsymbol{T}_0} </math>
----

== 指數傅立葉級數的係數 ==
三角傅立葉級數

      <math>\mathbf{\chi(t)}</math>=<math>a_0</math>+<math>\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t</math>)


尤拉公式 : 

     <math>\sin n\omega_0t</math>=<math>\frac{e^{jn\omega_0t}-e^{-jn\omega_0t}}{2j}</math>



     <math>\cos n\omega_0t</math>=<math>\frac{e^{jn\omega_0t}+e^{-jn\omega_0t}}{2}</math>

----



x(t)=<math>a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\frac{e^{jn\omega_0t}+e^{-jn\omega_0t}}{2}+b_n\frac{e^{jn\omega_0t}-e^{-jn\omega_0t}}{2j})</math>

   =<math>a_0+\sum_{n=1}^\infty</math><math>\frac{1}{2}(a_n-jb_n)e^{jn\omega_0t}</math>+<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}(a_n+jb_n)e^{-jn\omega_0t}</math>

   =<math>\sum_{n=1}^\infty</math><math>\frac{1}{2}(a_n+jb_n)e^{-jn\omega_0t}</math>+<math>a_0+</math><math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}(a_n-jb_n)e^{jn\omega_0t}</math>


<math>\Rightarrow X(t)</math>=...+<math>X_{-2}e^{-j2\omega_0t}+X_{-1}e^{-j\omega_0t}+X_0+X_{1}e^{j\omega_0t}+X_{2}e^{j2\omega_0t}+...</math>

   =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty</math><math>X_{n}e^{jn\omega_0t}</math>
----







其中         <math>X_n=\begin{cases} \frac{1}{2}(a_{-n}+jb_{-n})  \qquad   n<0  \\  a_0 \qquad n=0  \\  \frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n})   \qquad  n>0  \end{cases}</math>


以上為指數傅立葉級數的係數<math>X_n</math>與三角傅立葉級數的係數<math>a_n</math> 及<math>b_n</math> 之關係式

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三角傅立葉級數第二式
     X(t)=<math>C_0+\sum_{n=1}^\infty</math><math>C_n\cos (n\omega_0t+\theta_n)</math>


尤拉公式


     <math>C_n\cos (n\omega_0t+\theta_n)</math>=<math>\frac{C_n}{2}[e^{j(n\omega_0t+\theta_n)}+e^{-j(n\omega_0t+\theta_n)}]</math>
                =<math>(\frac{C_n}{2}e^{j\theta_n})e^{jn\omega_0t}</math>+<math>(\frac{C_n}{2}e^{-j\theta_n})e^{-jn\omega_0t} </math>
                               
    X(t)=<math>C_0+\sum_{n=1}^\infty</math><math>(\frac{C_n}{2}e^{j\theta_n})e^{jn\omega_0t}</math>+<math>\sum_{n=1}^\infty</math><math>(\frac{C_n}{2}e^{-j\theta_n})e^{-jn\omega_0t} </math>   
    =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty</math><math>X_ne^{jn\omega_0t}</math>        
----






         其中     <math>X_n=\begin{cases} \frac{C_{-n}}{2}e^{-j\theta_{-n}} \qquad n<0 \\ C_0 \qquad n=0 \\ \frac{C_{n}}{2}e^{j\theta_{n}}\qquad n>0 \end{cases}</math>

以上為指數傅立葉級數的係數<math>X_n</math>與三角傅立葉級數第二式的係數<math>C_n</math>及<math>\theta_n</math>之關係式


由上說明可知，三角傅立葉級數與指數傅立葉級數是完全等效的。


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== 指數傅立葉級數係數的直接算法 ==
假設一週期訊號<math>X(t)</math>的基本週期<math>T_0</math>，此一訊號可表示成指數傅立葉級數 : 

                 X(t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty</math><math>X_{n}e^{jn\omega_0t}</math>


其中   <math>\omega_0=\frac{\boldsymbol{2\pi}}{\boldsymbol{T}_0} </math>


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直接求係數   <math>X_k</math>: 
    等號兩邊同乘上<math>e^{-jk\omega_0t}</math>再對時間 t 積分，積一個基本週期<math>T_0</math>的時間範圍 : 

    <math>\int_{T_0}^{} X(t)e^{-jk\omega_0t}dt</math>=<math>\int_{T_0}^{}(\sum_{n=-\infty}^\infty </math><math>X_n</math><math>e^{jn\omega_0t})e^{-jk\omega_0t}dt</math>

    =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty</math><math>X_n</math><math>\begin{matrix} \underbrace{\int_{T_0}^{}e^{j(n-k)\omega_0t}dt} \\ 
   = \begin{cases} 0 \qquad n\neq k \\T_0   \qquad n=k\end{cases}\end{matrix}     </math>
   =<math>X_k T_0</math> 


故<math>X_k =\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{}X(t)e^{-jk\omega_0t}dt</math>

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== 範例4.12 ==
下圖為一方波週期訊號<math>X(t)</math>之時域波形，其週期為<math>T_0(\omega_0=\frac{2\Pi}{T_0})</math>，求此訊號之指數傅立葉級數。

...............圖


一方波週期訊號之時域波形
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


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【解】

       <math>X_0=\frac{1}{T_0}\begin{matrix} \int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} X(t)dt\end{matrix}=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{4}}^{\frac{T_0}{4}}1dt=\frac{1}{2}</math>

      <math>X_n=\frac{1}{T_0}\begin{matrix} \int_{\frac{-T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} X(t)e^{-jn\omega_0t}dt\end{matrix}=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{-T_0}{4}}^{\frac{T_0}{4}}e^{-jn\omega_0t}dt</math>


     =<math>\frac{1}{-j2\pi n}[e^{\frac{-jn\pi}{2}}-e^{\frac{jn\pi}{2}}]</math>=<math>\frac{1}{n\pi}</math>[<math>\frac{e^\frac{jn\pi}{2}-e^\frac{-jn\pi}{2}}{j2}</math>]


     =<math>\frac{sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}</math><math>= \begin{cases} 0, \qquad n=2K\ne 0 \\ (-1)^k
 \frac{1}{(2k+1)\pi}, \qquad n=2K+1 \end{cases}</math>


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整理並改寫上述係數為:

<math>X_0 = \frac{1}{2}; \qquad</math>      <math>X_{2k} = 0,k\ne 0;\qquad</math>   <math>X_{2k+1} = (-1)^k 
\frac{1}{(2K+1)\pi}</math>


最後將此方波週期訊號表示成以下之指數傅立葉級數式展開式。

<math>X(t)=</math> <math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 t}
</math>=<math>
\frac{1}{2}+\sum_{n=-\infty}^\infty 
\frac{(-1)^k}{(2K+1)\pi}e^{j(2k+1)\omega_0 t}


</math>

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訊號X(t)的雙邊振幅頻譜和相位頻譜

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............圖


                           ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

== 範例4.13 ==
請將訊號表示成指數傅立葉級數展開式

<math>X_c (t)</math>=<math>3e^{j(2000\pi t+
\frac{\pi}{6}
)}</math>+<math>4e^{j(4000\pi t+
\frac{\pi}{3}
)}</math>+<math>e^{-j(6000\pi t+
\frac{\pi}{6}
)}</math>

【解】

<math>X_c (t)</math>=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty e^{jn\omega_0}</math>

           =<math>3e^{j(2000\pi t+
\frac{\pi}{6}
)}</math>+<math>4e^{j(4000\pi t+
\frac{\pi}{3}
)}</math>+<math>e^{-j(6000\pi t+
\frac{\pi}{6})}</math>

訊號由3項複指數函數組合而成，其頻率分別為1000、2000與3000Hz，先找出3項頻率的最大公因數為1000，因此訊號是一週期訊號且其基本頻率為1000 Hz(<math>\omega_0 = 2000\pi rad/s</math>)，仔細觀察可發現其表示式已是指數傅立葉級數之型式，因此只要改寫成為

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<math>X_c (t)</math> = <math>3e^{j(2000\pi t+
\frac{\pi}{6}
)}</math>+<math>4e^{j(4000\pi t+
\frac{\pi}{3}
)}</math>+<math>e^{-j(6000\pi t+
\frac{\pi}{6})}
</math>

= <math>3e^
{j\pi/6} e^{j2000\pi t}+4e^
{j\pi/3} e^{j4000\pi t}+e^
{-j\pi/6} e^{-j6000\pi t}</math>

= <math>3e^
{j\pi/6} e^{j2\pi f_0 t}+4e^
{j\pi/3} e^{j2\pi 2f_0 t}+e^
{-j\pi/6} e^{-j2\pi 3f_0 t}  \qquad  , (f_0 = 1000)</math>

= <math>3e^
{j\pi/6} e^{j\omega_0 t}+4e^
{j\pi/3} e^{j2
\omega_0 t}+e^
{-j\pi/6} e^{-j3
\omega_0 t}  \qquad   (
\omega_0 = 2000\pi)</math>

即 <math>X_1 = 3e^
{j\pi/6}</math>;<math>X_2 = 4e^
{j\pi/3}</math>;<math>X_{-3} = e^
{-j\pi/6}</math>;<math>X_n =0,n\ne 1,2,3</math>



注意:<math>X_c(t)</math>為一複數週期訊號，故不滿足於後面將討論的指數傅立葉級數的對稱性(即<math>X_{-n} = X_n^*</math>) 。

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== 範例4.14 ==

經過半波整流後的週期弦波訊號可表示如下 : 
<math>X(t)=\begin{cases} A\sin \omega_0 t \qquad 0\le t \le T_0 /2 \\ 0 \qquad T_0/2 \le t\le T_0 \end{cases}</math>

...........................圖

此訊號仍為週期訊號<math>(X(t)=X(t+T_0))</math>，試求其指數傅立葉級數

【解】   週期<math>T_0 \Rightarrow \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}</math>

            指數傅立葉級數 :

               <math>X(t)=\sum_{-\infty}^\infty X_{n} e^{jn\omega_0 t}</math>

----

<math>X_n = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0 /2} A\sin \omega_0 te^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>

=<math>\frac{A}{2j T_0}</math><math>\int_{0}^{T_0 /2}(e^{j\omega
_0 t} -e^{-j\omega
_0 t})e^{-jn\omega
_0 t}\, dt</math>

=<math>\frac{A}{2j T_0}</math>[<math>\int_{0}^{T_0 /2} e^{j\omega
_0(1-n)t}\, dt</math>-<math>\int_{0}^{T_0 /2} e^{-j\omega
_0(1+n)t}\, dt]</math>

=<math>-
\frac{A}{4\pi}</math>[<math>
\frac{e^{j(1-n)\pi} -1}{1-n}</math>+<math>\frac{e^{-j(1+n)\pi} -1}{1+n}</math>] ,<math>n \ne \pm 1</math>


說明:

    <math>e^{j(1\pm n)\pi}</math>=<math>\cos (1\pm n)\pi</math>+<math>j\sin (1\pm n)\pi</math>

    <math>=-(-1)^n</math>

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<math>\Rightarrow  X_n</math>=<math>\begin{cases} 0\qquad n\qquad odd,n\ne\pm 1\\ \frac{A}{\pi}\frac{1}{1-n^2} \qquad n\qquad even \\ ?\qquad n=\pm1 \end{cases}</math>

<math>X_1 = \frac{A}{2jT_0}</math><math>\int_{0}^{T_0 /2} (e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t})e^{-j\omega_0 t}\,dt</math>


  =<math>\frac{A}{2jT_0}</math><math>\int_{0}^{T_0 /2} (1-e^{-j2\omega_0 t})\,dt</math>
  =<math>
\frac{A}{4j}=-j
\frac{A}{4}</math>

同法可得 : 

 <math>  X_{-1} = -\frac{A}{4j}=j
\frac{A}{4}</math>
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== 範例4.15 ==
週期脈衝序列(periodic impulse train) <math>\delta_{T_0}(t) </math>的定義為

<math>\delta_{T_0}(t)=\sum_{m=-\infty}^\infty \delta(t-mT_0)</math>試求其傅立葉級數



..............................圖


                                                  ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998



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【解】 指數傅立葉級數


          <math>\delta_{T_0}(t)=\sum_{n=-
\infty}^
\infty D_n e^{jn\omega_0 t} \qquad \omega_0 =\frac{2\pi}{T_0} </math>



其中  

<math>D_n =\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \delta_{T_0}(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>       <math>\qquad</math> 取積分範圍由<math>-\frac{T_0}{2} 
\sim 
\frac{T_0}{2}
</math>                                  
 

=<math>\frac{1}{T_0}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2} \delta(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>        <math>\qquad</math>由<math>\delta_{T_0}(t)=\delta(t)</math>

=<math>\frac{1}{T_0}\int_{-T_{0}/2}^{T_{0}/2} \delta(t)\, dt</math>在此一範圍內   

=<math>\frac{1}{T_0}</math> 



          <math>\delta_{T_0}(t)=\frac{1}{T_0}
\sum_{n=-
\infty}^
\infty e^{jn\omega_0 t}</math>
                 




----


        <math>\delta_{T_0}(t)</math>的雙邊振幅頻譜如下 :


.....................圖

                                      ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.






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     利用尤拉公式<math>e^{jn\omega
_0 t}+e^{-jn\omega
_0 t}=2\cos n\omega
_0 t</math>

<math>\delta_{T_0}(t)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{jn\omega_0 t}</math>=<math>\frac{1}{T_0}[1+2(\cos \omega
_0 t+\cos 2\omega
_0 t+...)]</math>

<math>=\frac{1}{T_0}[1+\sum_{n=1}^\infty 2\cos (n\omega_0 t)]</math>



<math>\delta_{T_0}(t)</math>的單邊頻譜如下 :


..................................圖

      
                                          ©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.


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== 常見訊號的傅立葉級數 ==

................................................

................................................

.....................圖.....................

................................................
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== 指數傅立葉級數係數的對稱性 ==
指數傅立葉級數

           <math>X(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty X_{n}e^{jn\omega_0 t}</math>


      其係數 : 

          <math>X_n = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>


故<math>X_{-n}=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-j(-n)\omega_0 t}\, dt</math>

    =<math>  \left\{ [\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-j(-n)\omega_0 t}\, dt]^* \right\} ^*  </math>      *表示共軛複數

    =<math>\left\{ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x^*(t)e^{-j(+n)\omega_0 t}\, dt \right\} ^*  </math>    當<math>x(t)</math> 為實數函數

    =<math>\left\{ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt \right\} ^*  </math>

   =<math>X_n^*</math>



----


      <math>X_n</math> 一般而言是複數，用極座標表示 :
             <math>X_n = \left| X_n \right| </math><math>e^{j\angle X_n}</math>    <math>\angle  X_n</math>表示<math>X_n</math>的相角



根據上述條件 : 
              <math>X_{-n}=X_n^*</math>

         <math>\Rightarrow \left| X_{-n} \right|= \left| X_n^* \right|  =\left| X_n \right|</math>取共軛複數絕對值等

         <math>\angle X_{-n} =\angle X_{-n}^* =-\angle X_{n}</math>共軛複數的相角差一個負號



結論 :當<math> x(t)</math> 為實數週期訊號的條件下，其指數傅立葉級數的係數<math>X_n</math>具 
              有底下特性：  
            (1)<math>X_n</math>的絕對值對 n 而言為偶對稱。
            (2)<math>X_n</math>的相位角對 n 而言為奇對稱。

----

考慮<math>X(t</math>)為實數偶函數 :
            指數傅立葉級數的係數<math>X_n</math>

     <math>X_n = \frac{1}{T_0} \int_{T_0}^{} x(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>

     =<math>\frac{1}{T_0}\int_{-T_0 /2}^{T_0 /2} x(t)[\cos n\omega_0 t-j\sin n\omega_0 t]\, dt</math>

     =<math>\begin{matrix} \underbrace{\frac{1}{T_0}[\int_{-T_0 /2}^{T_0 /2} x(t)\cos n\omega_0 t\, dt} \\ \end{matrix}</math>-<math>\begin{matrix} \underbrace{j\int_{-T_0 /2}^{T_0 /2} x(t)\sin n\omega_0 t\, dt} \\  \end{matrix}</math>




<math>X(t)</math>是偶函數,<math>\cos n\omega_0 t</math>也是偶函數           <math> \qquad</math>      <math> X(t)</math>是偶函數,<math>\sin n\omega_0 t</math>是奇函數   


                      
<math>X(t)\cos n\omega_0 t</math>仍為偶函數 <math>\qquad</math><math>X(t)\sin n\omega_0 t</math>為奇函數


          <math>\Rightarrow  \int_{-T_0 /2}^{T_0 /2} x(t)\sin n\omega_0 t\, dt</math>=0

 =<math>\frac{2}{T_0} \int_{0}^{T_0 /2} x(t)\cos n\omega_0 t\, dt</math>


----


<math>\Rightarrow  x(t)</math>與<math>\cos n\omega_0 t</math>均為實數，故積分結果仍為實數。

         結論 : 當<math>x(t)</math>為實數偶函數時，其指數傅立葉級數的係數<math>X_n</math> 為實數 。

同法可證明，當<math>x(t) </math> 為實數奇函數時，<math> x(t)</math> 的指數傅立葉級數的係數<math>X_n</math> 為純虛數或  0。


----



若<math>x(t)</math>為半波奇對稱(half-wave odd symmetrical ，即 :

          <math>x(t-\frac{T_0}{2})=-x(t)</math>
     
      則<math>X_n =0   \qquad</math><math>n=0,\pm 2,\pm 4,...</math>

證明請同學自行練習

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級數                                                 係數                                     對稱性

1.三角正弦-餘弦



..........................圖







2.複數指數



..........................圖
----


== 傅立葉級數的變換(1) ==
振幅轉換 :
             已知  X(t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 t}</math>

                            另一訊號 y(t)=<math>\alpha x(t)+\beta</math>
 
                             則y(t)的傅立葉級數為

                                  y(t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty Y_0 e^{jn\omega_0 t}</math>

                                   =<math>\alpha[\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 t}]+\beta</math>

                                    =<math>(\alpha X_0 +\beta)+\sum_{n=-\infty  n\ne 0}^\infty \alpha X_n e^{jn\omega_0 t}</math>




              


                 故<math>\begin{cases} Y_0 =\alpha X_0 +\beta \\ Y_n =\alpha X_n      \qquad n\ne 0  \end{cases}</math>



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== 範例4.16 ==
試求週期訊號y(t)的傅立葉級數 :


.........................圖



          ©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003

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【解】仔細觀察上圖可以發現，此一圖形與標準的鋸齒波X(t)(如下圖)存
       在一關係 :
                <math>y(t)=-\frac{4}{A}x(t)+1=\alpha x(t)+\beta</math>


............................圖



 ©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

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經查表可知，標準鋸齒波x(t)的傅立葉級數為 :

           <math>x(t)=\frac{A}{2}+\sum_{n=-\infty   n\ne 0}^\infty \frac{A}{2\pi n}e^{j\frac{\pi}{2}}e^{jn\omega_0 t}</math>




      故<math>y(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty Y_n e^{jn\omega_0 t} </math>


      其中  <math>Y_0 =\alpha X_0 +\beta</math>
  
                 <math>(-\frac{4}{A})\frac{A}{2}+1=-1</math>

           <math>Y_n =\alpha X_n =(-\frac{4}{A})\frac{A}{2\pi n}e^{j\pi /2}</math>

           <math>\frac{2}{\pi n}e^{-j\pi /2}     \qquad   n\ne 0</math>

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== 傅立葉級數的變換(2) ==
時間變換
    (a) y(t) 為 x(t) 延遲<math>t_0</math> 時間，即y(t)=<math>x(t-t_0)</math>

       y(t)=<math>x(t-t_0)</math>=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0(t-t_0)}</math>

                   =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty [X_n e^{-jn\omega_0 t_0}]e^{jn\omega_0 t}</math>

                   =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty Y_n e^{jn\omega_0 t}</math>

    <math>\Rightarrow   Y_n =X_n e^{-jn\omega_0 t_0}</math>




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== 傅立葉級數的變換 ==
(b) y(t) 為 x(t) 左右翻轉，即y(t)=x(-t)

y(t)=x(-t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 (-t)}</math>

          =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_{-n} e^{jn\omega_0 t}</math>
 
          =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n^* e^{jn\omega_0 t}</math>

           =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty Y_n e^{jn\omega_0 t}</math>



故<math>Y_n =X_n^*</math>

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== 範例4.17 ==
同範例4.16，改用時間變換搭配振幅變換求解。





【解】首先定義z(t)=x(-t)



©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.


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z(t)=x(-t)=<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 (-t)}</math>

          =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_{-n} e^{jn\omega_0 t}</math>
 
          =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty X_n^* e^{jn\omega_0 t}</math>

           =<math>\sum_{n=-\infty}^\infty Z_n e^{jn\omega_0 t}</math>


<math>Z_n =X_n^* =\begin{cases} \frac{A}{2}\qquad n=0 \\ \frac{A}{2\pi n}e^{-j\pi /2} 
\qquad  n\ne 0\end{cases}</math>
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觀察<math> y(t)</math> 與 <math>z(t)</math>可得
   
     <math>y(t)=\frac{4}{A}z(t)-3</math>

<math>\Rightarrow \begin{cases} Y_0 = \frac{4}{A}Z_0 -3=\frac{4}{A}\frac{A}{2}-3=-1 \\ Y_n =\frac{4}{A}Z_n =\frac{4}{A}\frac{A}{2\pi n}e^{-j\pi /2}=\frac{2}{\pi n}e^{-j\pi /2}  \qquad n\ne 0  \end{cases}</math>



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== 大師的風範 ==
同學辛苦了，休息一下並瞻仰一下大師風範！



.........................圖




Jean Baptiste Joseph Fourier                J.  Willard  Gibbs

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