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|G2=Math
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== 指數傅立葉級數係數的數值運算 ==
指數傅立葉級數的係數

<math>X_n =\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>


欲作數值積分，首先對<math>x(t)e^{-jn\omega_0 t}</math>作取樣(sampling) 。假設取樣間隔為 T

<math>X_n =\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt \approx \frac{1}{T_0} \sum_{k=0}^{N-1} x(kT)e^{-jn\omega_0 kT}T</math>


<math>=\frac{1}{N_0}\sum_{k=0}^{N-1} x(KT)e^{-j2\pi nk/N_0}</math>



其中<math>N_0</math> 表示一個週期<math>T_0</math>內總共的取樣點數，<math>N_0 =\frac{T_0}{T}</math>

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== 指數傅立葉級數係數的數值運算(續) ==
令<math>X_n =\frac{1}{N_0}\sum_{k=0}^{N-1} x(KT)e^{-j2\pi nk/N_0}</math>


由上式可知<math>X_{n+N_0}= X_n</math>，也就是<math>x(t)</math> 經過取樣後其頻譜變成具有週期性。(詳細請參考第七章) 。此一現象將會造成膺頻效應(aliasing)。欲消減膺頻效應，必須縮小取樣間隔 <math>T</math>。


上面數值計算公式可用快速傅立葉轉換(FFT，fast Fourier Transform)演算法來提昇計算的效率。

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== 範例4.19 ==
試求指數傅立葉級數之係數，其訊號為：



.................圖

©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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...............圖


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%M 為所有計算的係數個數 

T0=pi;N0=256;T=T0/N0;M=10;

t=0:T:T*(N0-1);t=t';

f=exp(-t/2);f(1)=0.604;
%fft(f)為快速傅立葉轉換
Dn=fft(f)/N0;

[Dnangle,Dnmag]=cart2pol(real(Dn),imag(Dn));

k=0:length(Dn)-1;k=k';

subplot(211),stem(k,Dnmag);

subplot(212),stem(k,Dnangle);

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