訊號與系統/指數傅立葉級數的數值運算

指數傅立葉級數係數的數值運算

指數傅立葉級數的係數

$X_{n} = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} x (t) e^{- j n ω_{0} t} d t$

欲作數值積分，首先對 $x (t) e^{- j n ω_{0} t}$ 作取樣(sampling) 。假設取樣間隔為 T

$X_{n} = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}}^{} x (t) e^{- j n ω_{0} t} d t \approx \frac{1}{T_{0}} \sum_{k = 0}^{N - 1} x (k T) e^{- j n ω_{0} k T} T$

$= \frac{1}{N_{0}} \sum_{k = 0}^{N - 1} x (K T) e^{- j 2 π n k / N_{0}}$

其中 $N_{0}$ 表示一個週期 $T_{0}$ 內總共的取樣點數， $N_{0} = \frac{T_{0}}{T}$

令 $X_{n} = \frac{1}{N_{0}} \sum_{k = 0}^{N - 1} x (K T) e^{- j 2 π n k / N_{0}}$

由上式可知 $X_{n + N_{0}} = X_{n}$ ，也就是 $x (t)$ 經過取樣後其頻譜變成具有週期性。(詳細請參考第七章) 。此一現象將會造成膺頻效應(aliasing)。欲消減膺頻效應，必須縮小取樣間隔 $T$ 。

上面數值計算公式可用快速傅立葉轉換(FFT，fast Fourier Transform)演算法來提昇計算的效率。

試求指數傅立葉級數之係數，其訊號為：

.................圖

©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

...............圖

%M 為所有計算的係數個數

T0=pi;N0=256;T=T0/N0;M=10;

t=0:T:T*(N0-1);t=t';

f=exp(-t/2);f(1)=0.604; %fft(f)為快速傅立葉轉換 Dn=fft(f)/N0;

[Dnangle,Dnmag]=cart2pol(real(Dn),imag(Dn));

k=0:length(Dn)-1;k=k';

subplot(211),stem(k,Dnmag);

subplot(212),stem(k,Dnangle);