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|G1=Communication
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== 系統分類 ==

* 連續時間(continuous-time)系統 V.S 離散時間(discrete-time)系統
* 無記憶(memoryless)系統 V.S 有記憶(memory)系統
* 因果(causal)系統 V.S 非因果(noncausal)系統
* 線性(linear)系統 V.S 非線性(nonlinear)系統
* 時變(time-varying)系統 V.S 非時變(time-invariant)系統

== 連續時間(continuous-time)系統 V.S 離散時間(discrete-time)系統 ==

* 連續時間系統 : 當輸入訊號<math>\boldsymbol{x(t)}</math> 與輸出訊號<math>\boldsymbol{y(t)}</math> 均是連續時間訊號之系統。
* 離散時間系統 : 輸入訊號<math>\boldsymbol{x[n]}</math> 與輸出訊號<math>\boldsymbol{y[n]}</math> 均是離散時間序列之系統。

=== 範例1.12 ===

簡單的RC電路，若將電壓源訊號視為一連續時間輸入訊號，且將電容之兩端電壓訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math> 視為一連續時間輸出訊號，
   
則此簡單的RC電路即是'''單一輸入/單一輸出訊號連續時間系統'''之一個例子。

其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：
: <math>\frac{dy(t)}{dt} + {\frac{1}{RC}}y(t) = {\frac{1}{RC}}x(t)</math>

<!-- 圖出處  © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。 
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=== 範例1.13 ===

張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第<math>\boldsymbol{n}</math>個月)存入某銀行之金額為 <math>\boldsymbol{x[n]}</math> ，假設月利率為0.0025，以複利方式計息，那麼當月份計息後，張先生在該銀行之總存款金額 <math>\boldsymbol{y[n]}</math> 為 ：
: <math>\boldsymbol{y[n] = 1.0025 y[n-1] + x[n]}</math>           

若將總存款金額 <math>\boldsymbol{y[n]}</math> 視為輸出序列，當月存入金額 <math>\boldsymbol{x[n]}</math> 視為輸入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個'''單一輸入/輸出之離散時間系統''' 。

== 無記憶(memoryless)系統 V.S 有記憶(memory)系統 ==

* 無記憶系統 : 系統在任意時間 <math>\boldsymbol{t = t_1}</math> 的輸出只與 <math>\boldsymbol{t = t_1}</math> 時的輸入有關 。
* 有記憶系統 : 系統在時間 <math>\boldsymbol{t = t_1}</math> 的輸出是由 <math>\boldsymbol{t = t_1}</math> 的輸入以及其他時間 <math>\boldsymbol{t \ne t_1}</math> 的輸入共同決定 。  

=== 範例1.14 ===

一個簡單的RC電路，假設跨於電阻之電壓為輸出訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math> ，而<math>\boldsymbol{x(t)}</math>為輸入電流源訊號，那麼此連續時間系統之輸出/輸入訊號關係可描述為 ：
: <math>\boldsymbol{y(t) = Rx(t)}</math>
顯然輸出訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math> 只與同一時間的輸入訊號有關，即成比例關係，故此系統為'''無記憶系統''' 。

<!-- 圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。 -->
=== 範例1.15 ===

考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math> ，輸入電流源訊號仍設為 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> ，那麼以此輸出/輸入訊號之系統描述為 ：
: <math>y(t) = {\frac{1}{C}} \int_{-\infty}^{t} x(\tau)\, d\tau</math>

顯然，輸出訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math>  與時間 <math>\boldsymbol{t}</math> 之前的所有輸入訊號 <math>\boldsymbol{x(\tau)}</math> ，<math>{-\infty < \tau  \le t}</math> 都有關係，故此系統為'''有記憶系統'''(與我們認知電容為一記憶元件之觀念相符)  。

== 因果(causal)系統 V.S 非因果(noncausal)系統 ==

* 因果系統 : 一系統的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號有關 。
* 非因果系統 : 輸出訊號與未來時間的輸入訊號有關 。
* 此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入訊號為「因」，輸出訊號為「果」，先有因才有果，有輸入訊號後
才有輸出訊號的系統符合此因果概念是以稱為因果系統。換句話說，輸入訊號之前便有輸出訊號(無中生有)的系統為非因果系統 。
* 無記憶的系統必然為因果系統 。

=== 範例1.16 ===

假設一系統之輸入/輸出關係描述為 ：
: <math>\boldsymbol{y(t) = x(t) + x(t - 2)}</math> 
輸出訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math> 決定於同一時間的輸入訊號 <math>\boldsymbol{x(t)}</math> 及兩2秒前之輸入訊號 <math>\boldsymbol{x(t - 2)}</math> ，符合因果關係，故此系統為 因果系統。

=== 範例1.17 ===

假設一系統之輸入/輸出關係描述為 ：
: <math>\boldsymbol{y(t) = x(t - 2) + x(t + 2)}</math> 
系統之輸出訊號 <math>\boldsymbol{y(t)}</math> 為 2 秒前的輸入訊號 <math>\boldsymbol{x(t - 2)}</math> 及 2 秒後之輸入訊號 <math>\boldsymbol{x(t + 2)}</math> 的和，
         
輸出訊號與未來輸入訊號有關，不具因果關係，故此系統為非因果系統 。

== ex. 非因果(noncausal)系統 ==

* 非因果系統無法以即時(real time)的方式實現 。
* 必須加入適當的延遲 。

<!-- 圖出處  © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998. -->
== 線性(linear)系統 V.S 非線性(nonlinear)系統 ==

重疊原理(superposition property) : <!-- 圖出處  © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。 -->

線性系統必須具有重疊原理 ; 不滿足重疊原理為非線性系統 。

=== 範例1.18 ===

假設系統之輸出/輸入關係為: <math>y(t) = (t - 2)x(t)</math> ，請說明此系統為一線性系統 。

==== 解答 ====

假設將任意兩訊號 <math>x_1(t)</math> 和 <math>x_2(t)</math> 分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號 <math>y_1(t)</math> 和 <math>y_2(t)</math> 可表示成
: <math>y_1(t) = T[x_1(t)] = (t - 2)x_1(t)</math>
: <math>y_2(t) = T[x_2(t)] = (t - 2)x_2(t)</math>
檢驗輸入訊號 <math>\alpha_1 x_1(t)</math>+<math>\alpha_2 x_2(t)</math> 對應之輸出訊號
: <math>T [\alpha_1 x_1(t)+\alpha_2 x_2(t)] = (t - 2)[\alpha_1 x_1(t)+\alpha_2 x_2(t)]</math>
:: <math>= \alpha_1 (t - 2) x_1(t)+\alpha_2 (t - 2) x_2(t)</math> <!-- 要想等号对齐，最理想的是用 align -->
:: <math>= \alpha_1 y_1(t)+ \alpha_2 y_2(t)</math>
符合重疊原理，故此系統為一線性系統 。

=== 範例1.19 ===

假設系統之輸出/輸入關係為:  <math>y(t) = x^2(t)</math> ，請說明此系統為一非線性系統 。
     
==== 解答 ====
 假設將任意兩訊號 <math>x1(t)</math> 和 <math>x2(t)</math> 分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號 <math>y1(t)</math> 和 <math>y2(t)</math> 可表示成
: <math>y_1(t) = T[x_1(t)] = x_1^2(t)</math>
: <math>y_2(t) = T[x_2(t)] = x_2^2(t)</math>
檢驗輸入訊號 <math>\alpha_1 x_1(t) + \alpha_2 x_2(t)</math> 對應之輸出訊號
: <math>T[\alpha_1x_1(t) + \alpha_2x_2(t)]</math> = <math>[\alpha_1x_1(t) + \alpha_2x_2(t)]^2</math>
:: <math>= \alpha_1^{2} x_1^{2}(t) + 2 \alpha_1 \alpha_2 x_1(t)x_2(t) + \alpha_2^2 x_2^2(t)</math> 
:: <math>\ne \alpha_1 y_1(t)+ \alpha_2 y_2(t)</math>
不符合重疊特性，故此系統為一非線性系統 。

=== 範例1.20 ===

假設系統之輸出/輸入關係為 :  <math>y_(t) = (\frac{1}{12}) x(t) - \frac{5}{6}</math> ，請說明此系統為一非線性系統 。
 
==== 解答 ====
令 <math>y_1(t) = T[x_1(t)] = \frac{1}{12} x_1(t) - \frac{5}{6}</math>         
: <math>y_2(t) = T[x_2(t)] = \frac{1}{12} x_2(t) - \frac{5}{6}</math>
檢驗輸入訊號 <math>\alpha_1 x_1(t)</math>+<math>\alpha_2 x_2(t)</math> 對應之輸出訊號
: <math>T [\alpha_1 x_1(t) + \alpha_2 x_2(t)] = \frac{1}{12}[\alpha_1 x_1(t)+\alpha_2 x_2(t)]</math> - <math>\frac{5}{6}</math>
:: <math>= \alpha_1 \frac{1}{12} x_1(t)</math> + <math>\alpha_2 \frac{1}{12} x_2(t)</math> - <math>\frac{5}{6}</math>
:: <math>\ne \alpha_1 y_1(t)+ \alpha_2 y_2(t)</math>
不符合重疊特性，故此系統為一非線性系統。

== ex. 線性(linear)系統 ==

* 一系統之數學模型如可表成如下線性微分方程式  : 
** <math>\frac{d^{n} y}{d \; t^{n}} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d \; t^{n-1}} + \ldots + a_0 y = b_m \frac{d^{m} x}{d \; t^{m}} + \ldots  + b_1 \frac{dx}{dt} + b_0 x</math>
** 則此一系統必為線性系統。方程式中的係數 <math>a_i</math> 與 <math>b_i</math> 可為常數或時間的函數。
* 大部分實際的系統均具有非線性的特性。但在 "小訊號" 的條件下，常可近似為線性系統。

== 時變(time-varying)系統 V.S 非時變(time-invariant)系統 ==

* 非時變系統 : 若一系統之輸入訊號的輸入時間提前或延後 <math>t_0</math> 時，其對應的輸出訊號波形與原輸出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後 <math>t_0</math>  。
* 不符合以上特性之系統稱為 時變系統 。

<!-- 圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。 -->
=== 範例1.21 ===

系統 : <math>y(t) = (t - 2)x(t)</math> ，請說明此系統為一時變系統 。

==== 解答 ====

此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為 <math>x(t)</math> 和 <math>y(t)</math>，假設輸入訊號之輸入時間延後 <math>t_0</math> ，此時輸入訊號為 <math>x_d(t) = x(t - t_0)</math> ，此情況之系統輸出為
: <math>y_d(t) = T [x_d(t)] = T[x(t - t_0)] = (t - 2)x(t - t_0)</math>
檢驗原輸出訊號輸出時間也平移 <math>t0</math> 之結果為
: <math>y(t - t_0) = (t - t_0 - 2)x(t - t_0)</math>
顯然 <math>y_d(t)</math> 與 <math>y(t - t_0)</math> 不相等，故此系統為一時變系統 。

=== 範例1.22 ===

假設系統之輸出/輸入關係為 : <math>y(t) = cos (x(t))</math> ，請說明此系統為一非時變系統 。

==== 解答 ====

此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為 <math>x(t)</math> 和 <math>y(t)</math>，假設輸入訊號之輸入時間延後 <math>t0</math> ，此時輸入訊號為 <math>x_d(t) = x(t - t_0)</math> ，此情況之系統輸出訊號為
: <math>y_d(t) = T [x_d(t)] = T[x(t - t_0)] = cos (x(t - t_0))</math>
檢驗原輸出訊號輸出時間也平移 <math>t0</math> 之結果為
: <math>y(t - t_0) = cos (x(t - t_0))</math>
<math>y_d(t)</math> 與 <math>y(t - t_0)</math> 相等，故此系統為一非時變系統 。