訊號與系統/系統的分類

系統分類

• 連續時間(continuous-time)系統 V.S 離散時間(discrete-time)系統
• 無記憶(memoryless)系統 V.S 有記憶(memory)系統
• 因果(causal)系統 V.S 非因果(noncausal)系統
• 線性(linear)系統 V.S 非線性(nonlinear)系統
• 時變(time-varying)系統 V.S 非時變(time-invariant)系統

連續時間(continuous-time)系統 V.S 離散時間(discrete-time)系統

• 連續時間系統 : 當輸入訊號$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 與輸出訊號$𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 均是連續時間訊號之系統。
• 離散時間系統 : 輸入訊號$𝒙\mathit{[}𝒏\mathit{]}$ 與輸出訊號$𝒚\mathit{[}𝒏\mathit{]}$ 均是離散時間序列之系統。

範例1.12

簡單的RC電路，若將電壓源訊號視為一連續時間輸入訊號，且將電容之兩端電壓訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 視為一連續時間輸出訊號，

則此簡單的RC電路即是單一輸入/單一輸出訊號連續時間系統之一個例子。

其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：

$\frac{dy(t)}{dt}+\frac{1}{RC}y(t)=\frac{1}{RC}x(t)$

範例1.13

張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第$𝒏$個月)存入某銀行之金額為 $𝒙\mathit{[}𝒏\mathit{]}$ ，假設月利率為0.0025，以複利方式計息，那麼當月份計息後，張先生在該銀行之總存款金額 $𝒚\mathit{[}𝒏\mathit{]}$ 為 ：

$𝒚\mathit{[}𝒏\mathit{]}\mathit{=}1\mathit{.}0025𝒚\mathit{[}𝒏\mathit{-}1\mathit{]}\mathit{+}𝒙\mathit{[}𝒏\mathit{]}$

若將總存款金額 $𝒚\mathit{[}𝒏\mathit{]}$ 視為輸出序列，當月存入金額 $𝒙\mathit{[}𝒏\mathit{]}$ 視為輸入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個單一輸入/輸出之離散時間系統 。

無記憶(memoryless)系統 V.S 有記憶(memory)系統

• 無記憶系統 : 系統在任意時間 $𝒕\mathit{=}{𝒕}_1$ 的輸出只與 $𝒕\mathit{=}{𝒕}_1$ 時的輸入有關 。
• 有記憶系統 : 系統在時間 $𝒕\mathit{=}{𝒕}_1$ 的輸出是由 $𝒕\mathit{=}{𝒕}_1$ 的輸入以及其他時間 $𝒕\mathit{\ne }{𝒕}_1$ 的輸入共同決定 。

範例1.14

一個簡單的RC電路，假設跨於電阻之電壓為輸出訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ ，而$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$為輸入電流源訊號，那麼此連續時間系統之輸出/輸入訊號關係可描述為 ：

$𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{=}𝑹𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$

顯然輸出訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 只與同一時間的輸入訊號有關，即成比例關係，故此系統為無記憶系統 。

範例1.15

考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ ，輸入電流源訊號仍設為 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ ，那麼以此輸出/輸入訊號之系統描述為 ：

$y(t)=\frac{1}{C}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x(\tau )d\tau$

顯然，輸出訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 與時間 $𝒕$ 之前的所有輸入訊號 $𝒙\mathit{(}\mathit{\tau }\mathit{)}$ ，$-\mathrm{\infty }<\tau \le t$ 都有關係，故此系統為有記憶系統(與我們認知電容為一記憶元件之觀念相符) 。

因果(causal)系統 V.S 非因果(noncausal)系統

• 因果系統 : 一系統的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號有關 。
• 非因果系統 : 輸出訊號與未來時間的輸入訊號有關 。
• 此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入訊號為「因」，輸出訊號為「果」，先有因才有果，有輸入訊號後

才有輸出訊號的系統符合此因果概念是以稱為因果系統。換句話說，輸入訊號之前便有輸出訊號(無中生有)的系統為非因果系統 。

• 無記憶的系統必然為因果系統 。

範例1.16

假設一系統之輸入/輸出關係描述為 ：

$𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{=}𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{+}𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{-}2\mathit{)}$

輸出訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 決定於同一時間的輸入訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 及兩2秒前之輸入訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{-}2\mathit{)}$ ，符合因果關係，故此系統為 因果系統。

範例1.17

假設一系統之輸入/輸出關係描述為 ：

$𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{=}𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{-}2\mathit{)}\mathit{+}𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{+}2\mathit{)}$

系統之輸出訊號 $𝒚\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 為 2 秒前的輸入訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{-}2\mathit{)}$ 及 2 秒後之輸入訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{+}2\mathit{)}$ 的和，

輸出訊號與未來輸入訊號有關，不具因果關係，故此系統為非因果系統 。

ex. 非因果(noncausal)系統

• 非因果系統無法以即時(real time)的方式實現 。
• 必須加入適當的延遲 。

線性(linear)系統 V.S 非線性(nonlinear)系統

重疊原理(superposition property) :

線性系統必須具有重疊原理 ; 不滿足重疊原理為非線性系統 。

範例1.18

假設系統之輸出/輸入關係為: $y(t)=(t-2)x(t)$ ，請說明此系統為一線性系統 。

解答

假設將任意兩訊號 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 可表示成

$y_1(t)=T[x_1(t)]=(t-2)x_1(t)$

$y_2(t)=T[x_2(t)]=(t-2)x_2(t)$

檢驗輸入訊號 ${\alpha }_1{x}_1(t)$+${\alpha }_2{x}_2(t)$ 對應之輸出訊號

$T[{\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)]=(t-2)[{\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)]$

$={\alpha }_1(t-2)x_1(t)+{\alpha }_2(t-2)x_2(t)$

$={\alpha }_1{y}_1(t)+{\alpha }_2{y}_2(t)$

符合重疊原理，故此系統為一線性系統 。

範例1.19

假設系統之輸出/輸入關係為: $y(t)=x^2(t)$ ，請說明此系統為一非線性系統 。

解答

假設將任意兩訊號 $x1(t)$ 和 $x2(t)$ 分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號 $y1(t)$ 和 $y2(t)$ 可表示成

$y_1(t)=T[x_1(t)]=x_1^2(t)$

$y_2(t)=T[x_2(t)]=x_2^2(t)$

檢驗輸入訊號 ${\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)$ 對應之輸出訊號

$T[{\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)]$ = $[{\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t){]}^2$

$={\alpha }_1^2{x}_1^2(t)+2{\alpha }_1{\alpha }_2{x}_1(t)x_2(t)+{\alpha }_2^2{x}_2^2(t)$

$\ne {\alpha }_1{y}_1(t)+{\alpha }_2{y}_2(t)$

不符合重疊特性，故此系統為一非線性系統 。

範例1.20

假設系統之輸出/輸入關係為 : $y_{(}t)=(\frac{1}{12})x(t)-\frac{5}{6}$ ，請說明此系統為一非線性系統 。

解答

令 $y_1(t)=T[x_1(t)]=\frac{1}{12}{x}_1(t)-\frac{5}{6}$

$y_2(t)=T[x_2(t)]=\frac{1}{12}{x}_2(t)-\frac{5}{6}$

檢驗輸入訊號 ${\alpha }_1{x}_1(t)$+${\alpha }_2{x}_2(t)$ 對應之輸出訊號

$T[{\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)]=\frac{1}{12}[{\alpha }_1{x}_1(t)+{\alpha }_2{x}_2(t)]$ - $\frac{5}{6}$

$={\alpha }_1\frac{1}{12}{x}_1(t)$ + ${\alpha }_2\frac{1}{12}{x}_2(t)$ - $\frac{5}{6}$

$\ne {\alpha }_1{y}_1(t)+{\alpha }_2{y}_2(t)$

不符合重疊特性，故此系統為一非線性系統。

ex. 線性(linear)系統

• 一系統之數學模型如可表成如下線性微分方程式  :
  • $\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\dots +a_{0}y=b_m\frac{d^{m}x}{d{t}^m}+\dots +b_1\frac{dx}{dt}+b_{0}x$
  • 則此一系統必為線性系統。方程式中的係數 $a_i$ 與 $b_i$ 可為常數或時間的函數。
• 大部分實際的系統均具有非線性的特性。但在 "小訊號" 的條件下，常可近似為線性系統。

時變(time-varying)系統 V.S 非時變(time-invariant)系統

• 非時變系統 : 若一系統之輸入訊號的輸入時間提前或延後 $t_0$ 時，其對應的輸出訊號波形與原輸出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後 $t_0$ 。
• 不符合以上特性之系統稱為 時變系統 。

範例1.21

系統 : $y(t)=(t-2)x(t)$ ，請說明此系統為一時變系統 。

解答

此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為 $x(t)$ 和 $y(t)$，假設輸入訊號之輸入時間延後 $t_0$ ，此時輸入訊號為 $x_d(t)=x(t-t_0)$ ，此情況之系統輸出為

$y_d(t)=T[x_d(t)]=T[x(t-t_0)]=(t-2)x(t-t_0)$

檢驗原輸出訊號輸出時間也平移 $t0$ 之結果為

$y(t-t_0)=(t-t_0-2)x(t-t_0)$

顯然 $y_d(t)$ 與 $y(t-t_0)$ 不相等，故此系統為一時變系統 。

範例1.22

假設系統之輸出/輸入關係為 : $y(t)=cos(x(t))$ ，請說明此系統為一非時變系統 。

解答

此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為 $x(t)$ 和 $y(t)$，假設輸入訊號之輸入時間延後 $t0$ ，此時輸入訊號為 $x_d(t)=x(t-t_0)$ ，此情況之系統輸出訊號為

$y_d(t)=T[x_d(t)]=T[x(t-t_0)]=cos(x(t-t_0))$

檢驗原輸出訊號輸出時間也平移 $t0$ 之結果為

$y(t-t_0)=cos(x(t-t_0))$

$y_d(t)$ 與 $y(t-t_0)$ 相等，故此系統為一非時變系統 。