查看“︁訊號與系統/系統穩定性”︁的源代码

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|G2=Math
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== '''穩定特性''' ==

● 一系統當輸入訊號的數值有限，其對應的輸出訊號值也有限，此種系統稱BIBO(Bounded Input Bounded Output)穩定系統；反之，輸入有限數值的訊號而輸出無限值之系統為不穩定系統。 

● 定理 : 一LTI系統之單位脈衝響應為 <math>h(t)</math> ，此一系統為BIBO穩定的充分(sufficient)且必要(necessary)條件為

       <math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t)\mid\, dt =0</math>

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== '''證明(充分條件)''' ==

若 <math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t) \mid \, dt \le N \le \infty</math><math>\Rightarrow</math>系統為BIBO穩定。
 
【證明】系統輸出為

   <math>y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \mid x(\lambda)h(t- \lambda) \mid \, d\lambda </math>

   <math>\Rightarrow \mid y(t)\mid = \mid \int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)h(t-\lambda )\, d\lambda \mid \le \int_{-\infty}^{\infty} \mid x(\lambda) \mid \mid h(t-\lambda)\mid \, d\lambda</math>

因為輸入訊號<math>x(t)</math>是有限值，故

        <math>\mid x(\lambda) \mid \le M < \infty</math>

   <math>\Rightarrow \mid y(t) \mid \le M \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\lambda) \mid \, d\lambda</math>   or  <math>\mid y(t) \mid \le M \int_{-\infty}^{\infty} \mid h(\eta) \mid \, d\eta</math>  令<math>\eta =t-\lambda </math>

故當<math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t)\mid \, dt \le N < \infty</math>時，則<math>\mid y(t) \mid dt \le MN <\infty</math>此系統為BIBO穩定。

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== '''證明(必要條件)''' ==

若系統為BIBO穩定<math>\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t)\mid\, dt <\infty</math>
【證明】要證明此一命題，可考慮同義之命題如下 : 
          
若<math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t)\mid\, dt \longrightarrow \infty </math> 系統不為BIBO穩定(即存在數值有限的輸入訊號<math>x(t)</math>使得<math>\mid y(t)\mid <\infty</math>不成立)

                                                                                                                
此一同義命題的証明非常容易，只需找到一數值有限的輸入訊號使得輸出<math>\mid y(t)\mid \rightarrow \infty</math>即可 

考慮    <math>x(\lambda) = \begin{cases} +1, & \mbox{if }h(t-\lambda)>0 \\ 0, & \mbox{if }h(t-\lambda)=0 \\ -1, & \mbox{if }h(t-\lambda)<0 \end{cases}</math>

則系統的輸出
   <math>y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\lambda)h(t-\infty)\, d\lambda </math>
      <math>=\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t-\lambda)\mid \, d\lambda</math>  (令<math>t-\lambda=\eta</math>)
     <math>=\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(\eta)\mid \, d\eta</math>
故    <math>\mid y(t)\mid \rightarrow \infty</math>

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== '''範例3.21''' ==

一連續時間LTI系統的脈衝響應<math>h(t)=u(t)</math>，試討論其特性。

解】根據前述討論連續時間LTI系統之特性條件，此連續時間LTI系統的特性分別說明如下。
  ●具記憶特性，因為脈衝響應<math>h(t)</math>不符合系統無記憶條件：<math>h(t)=0 , t\ne 0</math>也就是說當<math>t>0</math>時<math>h(t)=u(t)</math>仍有數值。

  ●具因果特性，因為脈衝響應<math>h(t)</math>符合<math>h(t)=0</math>當<math>t<0</math>。

  ●系統不穩定，因為<math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t)\mid\, dt =\int_{-\infty}^{\infty} 1\, dt = \infty</math>，不符合BIBO穩定系統之定義。

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== '''範例3.22''' ==

一連續時間LTI系統的脈衝響應為<math>h(t)=e^{-at}u(t) , a>0</math>

根據前述討論連續時間LTI系統之特性條件，此連續時間LTI系統的特性分別說明如下。

  ●具記憶特性，因為脈衝響應<math>h(t)</math>當<math>t>0</math>時<math>h(t)</math>仍有數值，不符合系統無記憶條件：<math>h(t)=0,  t \ne 0</math>。

  ●具因果特性，因為脈衝響應<math>h(t)</math>符合<math>h(t)=0</math>當<math>t<0</math>。

  ●系統穩定，因為<math>\int_{-\infty}^{\infty} \mid h(t)\mid \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-at}\, dt ={1 \over a}<\infty </math>，符合BIBO穩定系統之定義。