訊號與系統/系統穩定性

穩定特性

● 一系統當輸入訊號的數值有限，其對應的輸出訊號值也有限，此種系統稱BIBO(Bounded Input Bounded Output)穩定系統；反之，輸入有限數值的訊號而輸出無限值之系統為不穩定系統。

● 定理 : 一LTI系統之單位脈衝響應為 $h(t)$ ，此一系統為BIBO穩定的充分(sufficient)且必要(necessary)條件為

      $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt=0$

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證明(充分條件)

若 $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt\le N\le \mathrm{\infty }$$\Rightarrow$系統為BIBO穩定。

【證明】系統輸出為

  $y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid x(\lambda )h(t-\lambda )\mid d\lambda$

  $\Rightarrow \mid y(t)\mid =\mid \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\lambda )h(t-\lambda )d\lambda \mid \le \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid x(\lambda )\mid \mid h(t-\lambda )\mid d\lambda$

因為輸入訊號$x(t)$是有限值，故

       $\mid x(\lambda )\mid \le M<\mathrm{\infty }$

  $\Rightarrow \mid y(t)\mid \le M\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-\lambda )\mid d\lambda$   or  $\mid y(t)\mid \le M\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(\eta )\mid d\eta$  令$\eta =t-\lambda$

故當$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt\le N<\mathrm{\infty }$時，則$\mid y(t)\mid dt\le MN<\mathrm{\infty }$此系統為BIBO穩定。

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證明(必要條件)

若系統為BIBO穩定$\Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt<\mathrm{\infty }$ 【證明】要證明此一命題，可考慮同義之命題如下 :

若$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt⟶\mathrm{\infty }$ 系統不為BIBO穩定(即存在數值有限的輸入訊號$x(t)$使得$\mid y(t)\mid <\mathrm{\infty }$不成立)

此一同義命題的証明非常容易，只需找到一數值有限的輸入訊號使得輸出$\mid y(t)\mid \to \mathrm{\infty }$即可

考慮 $x(\lambda )=\{\begin{array}{cc}+1,& \text{if }h(t-\lambda )>0\\ 0,& \text{if }h(t-\lambda )=0\\ -1,& \text{if }h(t-\lambda )<0\end{array}$

則系統的輸出

  $y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\lambda )h(t-\mathrm{\infty })d\lambda$
     $=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t-\lambda )\mid d\lambda$  (令$t-\lambda =\eta$)
    $=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(\eta )\mid d\eta$

故 $\mid y(t)\mid \to \mathrm{\infty }$

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範例3.21

一連續時間LTI系統的脈衝響應$h(t)=u(t)$，試討論其特性。

解】根據前述討論連續時間LTI系統之特性條件，此連續時間LTI系統的特性分別說明如下。

 ●具記憶特性，因為脈衝響應$h(t)$不符合系統無記憶條件：$h(t)=0,t\ne 0$也就是說當$t>0$時$h(t)=u(t)$仍有數值。

 ●具因果特性，因為脈衝響應$h(t)$符合$h(t)=0$當$t<0$。

 ●系統不穩定，因為$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}1dt=\mathrm{\infty }$，不符合BIBO穩定系統之定義。

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範例3.22

一連續時間LTI系統的脈衝響應為$h(t)=e^{-at}u(t),a>0$

根據前述討論連續時間LTI系統之特性條件，此連續時間LTI系統的特性分別說明如下。

 ●具記憶特性，因為脈衝響應$h(t)$當$t>0$時$h(t)$仍有數值，不符合系統無記憶條件：$h(t)=0,t\ne 0$。

 ●具因果特性，因為脈衝響應$h(t)$符合$h(t)=0$當$t<0$。

 ●系統穩定，因為$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mid h(t)\mid dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-at}dt=\frac{1}{a}<\mathrm{\infty }$，符合BIBO穩定系統之定義。