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{{noteTA
|G1=Communication
|G2=math
}}

== 複數表示法 ==


<math>\bullet</math>卡氏或直角型式 <math>  \mathbf{ (Cartesian or rectangular form) } </math>


<math>  \mathbf{  z=a+jb } </math>
 

<math>\bullet</math>極座標型式<math>  \mathbf{ (polar form) } </math>  


<math>\mathbf{  z=Ae^{j \theta} }</math>

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== 卡氏或直角型式 ==


<math>  \mathbf{ z=a+jb  } </math>  


<math>  \mathbf{ a=Re(z);b=Im(z) } </math> 


<math>  \mathbf{  a } </math>和 <math>  \mathbf{ b } </math> 為實數，且分別表示複數之實部(real part)與虛部(imaginary part) 


''' ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。'''
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== 極座標型式 ==


<math>\mathbf{ z=Ae^{j\theta}}</math> 


<math> \mathbf{A=|z|;  \theta = \angle z}</math> 


<math>  \mathbf{ A } </math> 是<math>  \mathbf{ z } </math> 的強度或大小<math>  \mathbf{ (magnitude) } </math>  、 是<math>  \mathbf{ z } </math> 的相角<math>  \mathbf{ (angle) } </math> 或相位<math>  \mathbf{ (phase) } </math>  


''' ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。''' 
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== 直角型式V.S極座標型式 ==


<math>\mathbf{  a=Acos\theta \qquad b=Asin\theta}</math> 


<math>\mathbf{ A=\sqrt{a^2 + b^2 }}</math>  ;  <math>\mathbf{  \theta=tan^{-1} \frac{b}{a}}</math>


若 <math>  \mathbf{ A=1  } </math> ,即  <math>\mathbf{ e^{j\theta}=cos \theta + jsin \theta}</math>(尤拉公式)


'''©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。'''
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== 範例2.17 ==


請將複數<math>  \mathbf{z=-2+j2 } </math> 表示成極座標型式並標示在複數平面圖上 ：
	

【解】

<math>\mathbf{ A=\sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}; \theta = tan^{-1} (\frac{-2}{2})=\frac{3\pi}{4}}</math> 


<math>\mathbf{ z=2\sqrt{2}e^{j \frac{3\pi}{4}}}</math> 


'''©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。 ''' 

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== 範例2.18 ==


請將複數<math>\mathbf{ z=4e^{j\frac{11\pi}{6}}   =  z=4e^{-j\frac{\pi}{6}}}</math>      表示成直角型式並標示在複數平面圖上 ：


【解】


<math>\mathbf{  a=4cos \frac{11\pi}{6} = 2\sqrt{3};b=4sin \frac{11\pi}{6}=-2}</math> 


<math>\mathbf{ z=2 \sqrt {3} - j2} </math> 


''' ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。'''
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== 範例2.19 ==


請將複數 <math>\mathbf{  z=e^{j\theta}}</math>           表示成直角型式
	

【解】


<math> \mathbf{ z=e^{j\theta}=cos\theta + jsin \theta}</math> 


''' ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。'''
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== 複數之加、減、乘、除運算 ==


<math>\bullet</math>卡氏或直角型式


<math>\mathbf{ z_1 + z_2 =(a_1 + a_2)+j(b_1+b_2)}</math> 


<math>\mathbf{ z_1 - z_2 =(a_1 - a_2)+j(b_1-b_2)}</math>


<math>\mathbf{  z_1 z_2=(a_1 + jb_1)(a_2 + jb_2 )=(a_1 a_2 -b_1 b_2)+j(a_1 b_2 + a_2 b_1)}</math> 


<math>\mathbf{ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 + jb_1}{a_2 + jb_2}=\frac{(a_1 + jb1)(a_2 - jb_2)}{(a_2 + jb_2)(a_2 - jb_2)}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}+j\frac{-a_1 b_2 + a_2 b_1}{a_2^2 + b_2^2}}</math>


<math>\bullet</math>極座標型式 


<math>\mathbf{ z_1 + z_2= (A_1 cos \theta_1 + jA_1 sin \theta_1)+(A_2 cos \theta_2 + jA_2 sin \theta_2) = (A_1 cos \theta_1 + A_2 cos \theta_2)+j(A_1 sin \theta_1 + A_2 sin \theta_2)}</math> 


<math>\mathbf{ z_1 - z_2= (A_1 cos \theta_1 + jA_1 sin \theta_1)-(A_2 cos \theta_2 + jA_2 sin \theta_2) = (A_1 cos \theta_1 - A_2 cos \theta_2)+j(A_1 sin \theta_1 - A_2 sin \theta_2) }</math>


<math>\mathbf{ z_1 z_2 = A_1 e^{j\theta_1}A_2 e^{j\theta_2} = (A_1 A_2)e^{j(\theta_1 +\theta_2)}} </math> 


<math>\mathbf{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{A_1 e^{j\theta_1}}{A_2 e^{j\theta_2}} = (\frac{A_1}{A_2})e^{j(\theta_1 - \theta_2)}}</math> 
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== 範例2.20 ==


給定兩複數：     <math>\mathbf{ z_1=3+j4}</math>       與        <math>\mathbf{ z_2 = 5-j5}</math>  ，試求 <math>\mathbf{  z_1}</math>     與  <math>\mathbf{ z_2 } </math>    之加、減、乘、除運算。
	

【解】


<math>\mathbf{ z_1 + z_2 = 8 - j}</math>


<math>\mathbf{ z_1 - z_2 = -2-j9}</math>


<math>\mathbf{ z_1 z_2 = (3+j4)(5-j5) = (15+20)+j(20-15) = 35+j5}</math>


<math>\mathbf{ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3+j4}{5-j5} = \frac{(3+j4)(5+j5)}{(5-j5)(5+j5)} = \frac{-5}{50} + j\frac{35}{50}}</math> 
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== 範例2.21 ==


給定兩複數： <math>\mathbf{ z_1=2e^{j\frac{\pi}{6}}}</math>          與  <math>\mathbf{ z_2=4e^{j\frac{\pi}{3}}}</math>    試求<math>\mathbf{  z_1}</math>    與  <math>\mathbf{ z_2}</math>   之加、減、乘、除運算。
	

【解】


<math>\mathbf{ z_1 + z_2 = (\sqrt{3}+j)+(2+j2\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})+j(1+2\sqrt{3})}</math> 


<math>\mathbf{ z_1 - z_2 = (\sqrt{3}+j)-(2+j2\sqrt{3}) = ( \sqrt { 3 } - 2 ) + j ( 1- 2 \sqrt { 3 } )} </math> 


<math> \mathbf{ z_1 z_2 = (2e^{j\frac{\pi}{6}})(4e^{\frac{\pi}{3}}) = (2 \times 4)e^{j(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3})} = 8e^{j\frac{\pi}{2}}}</math> 


<math>\mathbf{  \frac{z_1}{z_2} = \frac{2e^{j\frac{\pi}{6}}}{4e^{\frac{\pi}{3}}} = \frac{1}{2}e^{-j\frac{\pi}{6}}}</math> 
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== 複數之共軛運算 ==


<math>\bullet</math> 複數   <math>\mathbf{ z=a+jb=Ae^{j\theta} }</math>       之共軛複數定義如下：


<math>\mathbf{ z^*=a-jb=Ae^{-j\theta}}</math>


<math>\bullet</math>有用的關係式


<math>\mathbf{ zz^*=(a+jb)(a-jb) =a^2 +b^2}</math> 


<math>\mathbf{ zz^*= ( Ae^{j \theta})(Ae^{-j\theta}) = A^2 }</math> 


<math>\mathbf{ \frac{z}{z^*} = \frac{Ae^{j\theta}}{Ae^{-j\theta}} = e^{j2\theta}}</math> 


<math>\mathbf{ z+z^*=(a+jb)+(a-jb)=2a=2Re(z) }</math>


<math>\bullet</math>有用的關係式


<math>\mathbf{  z-z^*=(a+jb)-(a-jb) = j2b = j2Im(z)}</math> 


<math>\mathbf{ (z_1 + z_2)^*=z_1^* + z_2^*}</math>  


<math>\mathbf{ (z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*}</math>  


<math>\mathbf{ (\frac{z_1}{z_2})^* = \frac{z_1^*}{z_2^*}}</math> 
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== 複數之次方運算 ==


<math>\bullet</math>複數之次方運算以極座標型式來計算較容易。


<math>\mathbf{ \bullet}</math> 複數  <math>\mathbf{ z = Ae^{j\theta}} </math>    之<math>  \mathbf{ n } </math> 次方為  


<math> \mathbf{ z^n = (Ae^{j\theta})^n = A^n e^{jn\theta} = A^n (\cos n\theta + j\sin n\theta)} </math> 


<math>\bullet</math>將 <math>\mathbf{ z = Ae^{j\theta} = A (\cos\theta + j\sin\theta)} </math>   
                                                   

代入上式並改寫成


<math>\mathbf{ z^n = [A(\cos\theta + j\sin\theta)]^n = A^n (\cos\theta + j\sin\theta)^n = A^n(\cos n\theta + j\sin n\theta)}</math> 


<math>\bullet</math> <math>  \mathbf{ DeMoivre's  } </math> 關係式


<math>\mathbf{ (\cos\theta + j\sin\theta)^n = \cos n\theta + j\sin n\theta}</math> 
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== 複數之次方根運算 ==


<math>\bullet  \mathbf{  z = Ae^{j\theta}}</math>   複數之<math>  \mathbf{ n } </math> 次方根為<math>  \mathbf{ w } </math>


<math>\mathbf{  w^n = z = Ae^{j\theta}}</math>                                                               


<math>\bullet</math>解以下的方程式即可得其次方根    


<math>\mathbf{  w^n - Ae^{j\theta} = 0} </math>                                                  


<math>  \mathbf{ w } </math>   的<math>  \mathbf{ n } </math>    個解 


<math> \mathbf{  w_k = A^{\frac{1}{n}} e^{j \frac{\theta + 2k \pi}{n}},\ \ \  } </math>   <math>  \mathbf{  k = 0,1, \dots, n-1  } </math>
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== 範例2.22 ==


給定複數 <math>\mathbf{ z = -8} </math>     ，求 <math>  \mathbf{ z } </math> 之立方根 


先將複數表示成極座標形式<math>\mathbf{   z = -8 = 8e^{j\pi} = 8 e^{j(\pi + 2k\pi)}} </math>    ( <math>  \mathbf{ k } </math>為整數)


<math>  \mathbf{ z } </math> 之 <math>  \mathbf{ 3 } </math>個立方根：


<math>\mathbf{ w_k = 8^{ \frac{1}{3}} e^{j\frac{\pi + 2k\pi}{3}}} </math> ，<math>  \mathbf{ k =0,1,2} </math>


即  <math>\mathbf{  w_0 = 2e^{j \frac{\pi}{3}}} </math>       ， <math>\mathbf{   w_1 = 2e^{j\pi}} </math>  ， <math>\mathbf{  w_2 = 2e^{j\frac{5\pi}{3}}}</math>   。將<math>  \mathbf{ 3 } </math>個解表示在複數平面上(如圖
<math>  \mathbf{ B-5 } </math> )( <math>  \mathbf{ z } </math>之 <math>  \mathbf{ n } </math>個 <math>  \mathbf{ n } </math>次方根之位置在半徑為 <math>\mathbf{   A^{\frac{1}{n}}}</math>    之圓上，相角差為  <math>\mathbf{   \frac{2\pi}{n}}</math>   或相角
平分此圓) 。 


'''©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。'''
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== 參考資料 ==


B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

Rodger E. Ziemer and William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002.

Simon Haykin, Communication Systems, 4th ed., John Wiley & Sons,  2001.

John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., Prentice Hall International, 2002.
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