訊號與系統/複數表示法與運算

複數表示法

$\bullet$卡氏或直角型式 $\mathbf{(}𝐂𝐚𝐫𝐭𝐞𝐬𝐢𝐚𝐧𝐨𝐫𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐟𝐨𝐫𝐦\mathbf{)}$

$𝐳\mathbf{=}𝐚\mathbf{+}𝐣𝐛$

$\bullet$極座標型式$\mathbf{(}𝐩𝐨𝐥𝐚𝐫𝐟𝐨𝐫𝐦\mathbf{)}$

$𝐳\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$

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卡氏或直角型式

$𝐳\mathbf{=}𝐚\mathbf{+}𝐣𝐛$

$𝐚\mathbf{=}𝐑𝐞\mathbf{(}𝐳\mathbf{)};𝐛\mathbf{=}𝐈𝐦\mathbf{(}𝐳\mathbf{)}$

$𝐚$和 $𝐛$ 為實數，且分別表示複數之實部(real part)與虛部(imaginary part)

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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極座標型式

$𝐳\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$

$𝐀\mathbf{=}\mathbf{|}𝐳\mathbf{|};\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathrm{\angle }𝐳$

$𝐀$ 是$𝐳$ 的強度或大小$\mathbf{(}𝐦𝐚𝐠𝐧𝐢𝐭𝐮𝐝𝐞\mathbf{)}$ 、 是$𝐳$ 的相角$\mathbf{(}𝐚𝐧𝐠𝐥𝐞\mathbf{)}$ 或相位$\mathbf{(}𝐩𝐡𝐚𝐬𝐞\mathbf{)}$

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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直角型式V.S極座標型式

$𝐚\mathbf{=}𝐀𝐜𝐨𝐬\mathit{\theta }𝐛\mathbf{=}𝐀𝐬𝐢𝐧\mathit{\theta }$

$𝐀\mathbf{=}\sqrt{{𝐚}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐛}^{\mathrm{𝟐}}}$  ; $\mathit{\theta }\mathbf{=}𝐭𝐚{𝐧}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}\frac{b}{a}$

若 $𝐀\mathbf{=}\mathrm{𝟏}$ ,即 ${𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}\mathbf{=}𝐜𝐨𝐬\mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣𝐬𝐢𝐧\mathit{\theta }$(尤拉公式)

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例2.17

請將複數$𝐳\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟐}\mathbf{+}𝐣\mathrm{𝟐}$ 表示成極座標型式並標示在複數平面圖上 ：

【解】

$𝐀\mathbf{=}\sqrt{{\mathrm{𝟐}}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathrm{𝟐}{\mathbf{)}}^{\mathrm{𝟐}}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟐}};\mathit{\theta }\mathbf{=}𝐭𝐚{𝐧}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}\mathbf{(}\frac{-2}{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{3\pi }{4}$

$𝐳\mathbf{=}\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟐}}{𝐞}^{𝐣\frac{3\pi }{4}}$

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例2.18

請將複數$𝐳\mathbf{=}\mathrm{𝟒}{𝐞}^{𝐣\frac{11\pi }{6}}\mathbf{=}𝐳\mathbf{=}\mathrm{𝟒}{𝐞}^{\mathbf{-}𝐣\frac{\pi }{6}}$ 表示成直角型式並標示在複數平面圖上 ：

【解】

$𝐚\mathbf{=}\mathrm{𝟒}𝐜𝐨𝐬\frac{11\pi }{6}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟑}};𝐛\mathbf{=}\mathrm{𝟒}𝐬𝐢𝐧\frac{11\pi }{6}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟐}$

$𝐳\mathbf{=}\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{-}𝐣\mathrm{𝟐}$

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例2.19

請將複數 $𝐳\mathbf{=}{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$ 表示成直角型式

【解】

$𝐳\mathbf{=}{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}\mathbf{=}𝐜𝐨𝐬\mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣𝐬𝐢𝐧\mathit{\theta }$

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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複數之加、減、乘、除運算

$\bullet$卡氏或直角型式

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}𝐣{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{)}\mathbf{(}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}𝐣{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{-}{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}{𝐚}_{\mathrm{𝟏}}{𝐛}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}{𝐛}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{)}$

$\frac{z_1}{z_2}\mathbf{=}\frac{a_1+j{b}_1}{a_2+j{b}_2}\mathbf{=}\frac{(a_1+jb1)(a_2-j{b}_2)}{(a_2+j{b}_2)(a_2-j{b}_2)}\mathbf{=}\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}\mathbf{+}𝐣\frac{-a_1{b}_2+a_2{b}_1}{a_2^2+b_2^2}$

$\bullet$極座標型式

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}𝐣{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}𝐣{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}𝐣{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}𝐣{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐜𝐨𝐬{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}𝐬𝐢𝐧{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐞}^{𝐣{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}{𝐞}^{𝐣{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}}\mathbf{=}\mathbf{(}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}{𝐞}^{𝐣\mathbf{(}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}}$

$\frac{z_1}{z_2}\mathbf{=}\frac{A_1{e}^{j{\theta }_1}}{A_2{e}^{j{\theta }_2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{A_1}{A_2}\mathbf{)}{𝐞}^{𝐣\mathbf{(}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{\mathit{\theta }}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}}$

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範例2.20

給定兩複數： ${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}\mathrm{𝟑}\mathbf{+}𝐣\mathrm{𝟒}$ 與 ${𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟓}\mathbf{-}𝐣\mathrm{𝟓}$ ，試求 ${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}$ 與 ${𝐳}_{\mathrm{𝟐}}$ 之加、減、乘、除運算。

【解】

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟖}\mathbf{-}𝐣$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟐}\mathbf{-}𝐣\mathrm{𝟗}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathrm{𝟑}\mathbf{+}𝐣\mathrm{𝟒}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathrm{𝟓}\mathbf{-}𝐣\mathrm{𝟓}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}\mathbf{+}\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟎}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟎}\mathbf{-}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟓}\mathbf{+}𝐣\mathrm{𝟓}$

$\frac{z_1}{z_2}\mathbf{=}\frac{3+j4}{5-j5}\mathbf{=}\frac{(3+j4)(5+j5)}{(5-j5)(5+j5)}\mathbf{=}\frac{-5}{50}\mathbf{+}𝐣\frac{35}{50}$

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範例2.21

給定兩複數： ${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}{𝐞}^{𝐣\frac{\pi }{6}}$ 與 ${𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟒}{𝐞}^{𝐣\frac{\pi }{3}}$ 試求${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}$ 與 ${𝐳}_{\mathrm{𝟐}}$ 之加、減、乘、除運算。

【解】

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{+}𝐣\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{+}𝐣\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{+}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}\mathrm{𝟏}\mathbf{+}\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{)}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{-}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{+}𝐣\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{+}𝐣\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{-}\mathrm{𝟐}\mathbf{)}\mathbf{+}𝐣\mathbf{(}\mathrm{𝟏}\mathbf{-}\mathrm{𝟐}\sqrt{\mathrm{𝟑}}\mathbf{)}$

${𝐳}_{\mathrm{𝟏}}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathrm{𝟐}{𝐞}^{𝐣\frac{\pi }{6}}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathrm{𝟒}{𝐞}^{\frac{\pi }{3}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{\times }\mathrm{𝟒}\mathbf{)}{𝐞}^{𝐣\mathbf{(}\frac{\pi }{6}\mathbf{+}\frac{\pi }{3}\mathbf{)}}\mathbf{=}\mathrm{𝟖}{𝐞}^{𝐣\frac{\pi }{2}}$

$\frac{z_1}{z_2}\mathbf{=}\frac{2e^{j\frac{\pi }{6}}}{4e^{\frac{\pi }{3}}}\mathbf{=}\frac{1}{2}{𝐞}^{\mathbf{-}𝐣\frac{\pi }{6}}$

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複數之共軛運算

$\bullet$ 複數 $𝐳\mathbf{=}𝐚\mathbf{+}𝐣𝐛\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$ 之共軛複數定義如下：

${𝐳}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}𝐚\mathbf{-}𝐣𝐛\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{\mathbf{-}𝐣\mathit{\theta }}$

$\bullet$有用的關係式

$𝐳{𝐳}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{(}𝐚\mathbf{+}𝐣𝐛\mathbf{)}\mathbf{(}𝐚\mathbf{-}𝐣𝐛\mathbf{)}\mathbf{=}{𝐚}^{\mathrm{𝟐}}\mathbf{+}{𝐛}^{\mathrm{𝟐}}$

$𝐳{𝐳}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{(}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}\mathbf{)}\mathbf{(}𝐀{𝐞}^{\mathbf{-}𝐣\mathit{\theta }}\mathbf{)}\mathbf{=}{𝐀}^{\mathrm{𝟐}}$

$\frac{z}{z^{*}}\mathbf{=}\frac{A{e}^{j\theta }}{A{e}^{-j\theta }}\mathbf{=}{𝐞}^{𝐣\mathrm{𝟐}\mathit{\theta }}$

$𝐳\mathbf{+}{𝐳}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{(}𝐚\mathbf{+}𝐣𝐛\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}𝐚\mathbf{-}𝐣𝐛\mathbf{)}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}𝐚\mathbf{=}\mathrm{𝟐}𝐑𝐞\mathbf{(}𝐳\mathbf{)}$

$\bullet$有用的關係式

$𝐳\mathbf{-}{𝐳}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}\mathbf{(}𝐚\mathbf{+}𝐣𝐛\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}𝐚\mathbf{-}𝐣𝐛\mathbf{)}\mathbf{=}𝐣\mathrm{𝟐}𝐛\mathbf{=}𝐣\mathrm{𝟐}𝐈𝐦\mathbf{(}𝐳\mathbf{)}$

$\mathbf{(}{𝐳}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{+}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}{z}_{\mathrm{𝟏}}^{\mathbf{*}}\mathbf{+}{z}_{\mathrm{𝟐}}^{\mathbf{*}}$

$\mathbf{(}{𝐳}_{\mathrm{𝟏}}{𝐳}_{\mathrm{𝟐}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}{z}_{\mathrm{𝟏}}^{\mathbf{*}}{z}_{\mathrm{𝟐}}^{\mathbf{*}}$

$\mathbf{(}\frac{z_1}{z_2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{*}}\mathbf{=}\frac{z_1^{*}}{z_2^{*}}$

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複數之次方運算

$\bullet$複數之次方運算以極座標型式來計算較容易。

$\mathbf{\bullet }$ 複數 $𝐳\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$ 之$𝐧$ 次方為

${𝐳}^{𝐧}\mathbf{=}\mathbf{(}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}{\mathbf{)}}^{𝐧}\mathbf{=}{𝐀}^{𝐧}{𝐞}^{𝐣𝐧\mathit{\theta }}\mathbf{=}{𝐀}^{𝐧}\mathbf{(}\cos 𝐧\mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin 𝐧\mathit{\theta }\mathbf{)}$

$\bullet$將 $𝐳\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}\mathbf{=}𝐀\mathbf{(}\cos \mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin \mathit{\theta }\mathbf{)}$

代入上式並改寫成

${𝐳}^{𝐧}\mathbf{=}\mathbf{[}𝐀\mathbf{(}\cos \mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin \mathit{\theta }\mathbf{)}{\mathbf{]}}^{𝐧}\mathbf{=}{𝐀}^{𝐧}\mathbf{(}\cos \mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin \mathit{\theta }{\mathbf{)}}^{𝐧}\mathbf{=}{𝐀}^{𝐧}\mathbf{(}\cos 𝐧\mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin 𝐧\mathit{\theta }\mathbf{)}$

$\bullet$ $𝐃𝐞𝐌𝐨𝐢𝐯𝐫{𝐞}^{\prime }𝐬$ 關係式

$\mathbf{(}\cos \mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin \mathit{\theta }{\mathbf{)}}^{𝐧}\mathbf{=}\cos 𝐧\mathit{\theta }\mathbf{+}𝐣\sin 𝐧\mathit{\theta }$

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複數之次方根運算

$\bullet 𝐳\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$ 複數之$𝐧$ 次方根為$𝐰$

${𝐰}^{𝐧}\mathbf{=}𝐳\mathbf{=}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}$

$\bullet$解以下的方程式即可得其次方根

${𝐰}^{𝐧}\mathbf{-}𝐀{𝐞}^{𝐣\mathit{\theta }}\mathbf{=}\mathrm{𝟎}$

$𝐰$ 的$𝐧$ 個解

${𝐰}_{𝐤}\mathbf{=}{𝐀}^{\frac{1}{n}}{𝐞}^{𝐣\frac{\theta +2k\pi }{n}},$ $𝐤\mathbf{=}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏},\mathbf{\dots },𝐧\mathbf{-}\mathrm{𝟏}$

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範例2.22

給定複數 $𝐳\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟖}$ ，求 $𝐳$ 之立方根

先將複數表示成極座標形式$𝐳\mathbf{=}\mathbf{-}\mathrm{𝟖}\mathbf{=}\mathrm{𝟖}{𝐞}^{𝐣\mathit{\pi }}\mathbf{=}\mathrm{𝟖}{𝐞}^{𝐣\mathbf{(}\mathit{\pi }\mathbf{+}\mathrm{𝟐}𝐤\mathit{\pi }\mathbf{)}}$ ( $𝐤$為整數)

$𝐳$ 之 $\mathrm{𝟑}$個立方根：

${𝐰}_{𝐤}\mathbf{=}{\mathrm{𝟖}}^{\frac{1}{3}}{𝐞}^{𝐣\frac{\pi +2k\pi }{3}}$ ，$𝐤\mathbf{=}\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟐}$

即 ${𝐰}_{\mathrm{𝟎}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}{𝐞}^{𝐣\frac{\pi }{3}}$ ， ${𝐰}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}{𝐞}^{𝐣\mathit{\pi }}$ ， ${𝐰}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{=}\mathrm{𝟐}{𝐞}^{𝐣\frac{5\pi }{3}}$ 。將$\mathrm{𝟑}$個解表示在複數平面上(如圖 $𝐁\mathbf{-}\mathrm{𝟓}$ )( $𝐳$之 $𝐧$個 $𝐧$次方根之位置在半徑為 ${𝐀}^{\frac{1}{n}}$ 之圓上，相角差為 $\frac{2\pi }{n}$ 或相角 平分此圓) 。

©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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參考資料

B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

Rodger E. Ziemer and William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002.

Simon Haykin, Communication Systems, 4th ed., John Wiley & Sons, 2001.

John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., Prentice Hall International, 2002.

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