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== 訊號頻譜(spectrum) ==
頻譜:

訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum)<math>A(f)</math>與相位頻譜(phase spectrum)<math>Ph(f)</math>兩部份。

<math>x(t)=3cos[2\pi(10)t-\frac{\pi}{3}]</math>

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圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

線頻譜(line spectra) ：

當<math>A(f)</math>與<math>Ph(f)</math>為離散頻率(discrete-frequency)函數時，此類頻譜稱為線頻譜。(如上頁圖例) 。



單邊頻譜(single-sided spectra) ：

當<math>A(f)</math>與<math>Ph(f)</math>兩頻譜只存在<math>f>0</math>的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁圖例)。

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== 範例4.2 ==
圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
請繪出弦波訊號<math>x(t)=3cos(2000\pi+\frac{\pi}{6})</math>的單邊頻譜。

【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為<math>\frac{\pi}{6}</math>。


弦波訊號的單邊頻譜

== 範例4.3 ==
請繪出弦波訊號<math>x(t)=-3cos(2000\pi+\frac{\pi}{6})</math>的單邊頻譜。

【解】
(1)訊號的振幅大 小要為正值，因此將訊號表示式改寫成：

<math>x(t)=-3cos(2000\pi+\frac{\pi}{6})</math>

<math>    =3cos(2000\pi+\frac{\pi}{6}+\pi)</math>

<math>    =3cos(2000\pi+\frac{7\pi}{6})</math>

或

<math>x(t)=-3cos(2000\pi+\frac{\pi}{6})</math>

<math>    =3cos(2000\pi+\frac{\pi}{6}-\pi)</math>

<math>    =3cos(2000\pi-\frac{5\pi}{6})</math>

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

(2)訊號x(t)之振幅大小為3，頻率為1000Hz以及相位為<math>\frac{7\pi}{6}</math>或<math>\frac{-5\pi}{6}</math>，下圖顯示這兩種頻譜。


弦波訊號的單邊頻譜 
注意：此兩種表示其數學上完全相等

== 範例4.4 ==
請繪出下列訊號的單邊頻譜。

<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\frac{\pi}{4})</math>

【解】

改寫訊號表示式

<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\frac{\pi}{4})</math>=<math>3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\frac{\pi}{2})+4cos(4000\pi t+\frac{\pi}{4})</math>


          
          




訊號由三個餘弦訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、<math>-\frac{\pi}{2}</math>與<math>\frac{\pi}{4}</math>。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

== 範例4.5 ==
請繪出訊號<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)</math>單邊頻譜。

【解】訊號可改寫成<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+4cos(2000\pi t-\frac{\pi}{2})</math>，表示成由二個餘弦訊號組合而成，但其頻率皆為1000 Hz，因此必須合併。注意到cos(.)為非線性函數，二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相加，因此將訊號表示式改寫成：

<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)</math>

<math>=\sqrt{3^2+4^2}[cos(2000\pi t)\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}+sin(2000\pi t)\frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}]</math>

<math>=5[cos(2000\pi t)cos\phi+sin(2000\pi t)sin\phi]</math>

<math>=5cos(2000\pi t-\phi)</math>，<math>\phi=tan^{-1}\frac{4}{3}</math>

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

== 範例4.6 ==
請繪出以下訊號的單邊頻譜
x(t)=<math>3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+\frac{\pi}{4})</math>


【解】
(1)可將訊號表示式改寫成

x(t)=<math>3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+\frac{\pi}{4})+cos(6000\pi t)-sin(6000\pi t)</math>  
<math>=3cos(1000\pi t)+2cos(3000\pi t+\frac{\pi}{2})+4cos(4000\pi t+\frac{5\pi}{4})+\sqrt{2}cos(6000\pi t+\frac{\pi}{4})     </math>                                    



(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成，其振幅大小分別
為3、2、4與<math>\sqrt{2}</math>；而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz；以及
其相位分別為0、<math>\frac{\pi}{2}</math>、<math>\frac{5\pi}{4}</math>與<math>\frac{\pi}{4}</math>。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。


== 雙邊頻譜 ==
有別於用餘弦(cosine)訊號所形成的單邊頻譜；根據尤拉公式(Euler equation) ，可將餘弦訊號寫成兩個相同大小(magnitude) 但反方向
等速旋轉的相量(phasor)的和。即

<math>x(t)=A_xcos(2\pi f_xt+\theta_x)</math>
<math>=\frac{A_x}{2}e^{j\theta_x}e^{j2\pi f_xt}+\frac{A_x}{2}e^{j-\theta_x}e^{-j2\pi f_xt}</math>
<math>=[\frac{A_x}{2}e^{j\theta_x}]e^{j2\pi f_xt}+[\frac{A_x}{2}e^{-j\theta_x}]e^{-j2\pi f_xt}</math>


由上式可知，一餘弦訊號<math>x(t)</math>可表示成兩個反向旋轉的相量的和。第一個旋轉相量每秒<math>f_x</math>圈；第二個旋轉相量每秒轉<math>(-f_x)</math>，其負號是表示相反方向。


<math>x(t)</math>的頻域表示有兩種方式：

(1)採用餘弦訊號:

<math>A(f) = \begin{cases} A_x, & \mbox{ }\mbox{f=fx} \\ 0, & \mbox{ }\mbox{other} \end{cases}</math>

<math>Ph(f) = \begin{cases} \theta_x, & \mbox{ }\mbox{f=fx} \\ 0, & \mbox{ }\mbox{other} \end{cases}</math>

(2)採用旋轉相量和：

<math>A(f) = \begin{cases} \frac{A_x}{2}, & \mbox{ }\mbox{f=fx or f=-fx} \\ 0, & \mbox{ }\mbox{other} \end{cases}</math>

<math>Ph(f) = \begin{cases} \theta_x, & \mbox{ }\mbox{f=fx} \\ 0, & \mbox{ }\mbox{other}\\-\theta_x, & \mbox{ }\mbox{f=-fx} \end{cases}</math>


注意:

方式

(1)僅含<math>f\ge0</math>之頻域範圍，故稱為單邊頻譜方式。
         
(2)頻域<math>f</math>包含正頻率及負頻率，故稱為雙邊頻譜。

== 範例4.7 ==
試繪出<math>x(t)=3cos[2\pi (10)t-(\pi/3)]=(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (10)t}+(1.5e^{-j\pi/3})e^{j2\pi (-10)t}</math>
之單邊及雙邊頻譜。

【解】

(1)單邊頻譜：

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

(2)雙邊頻譜:

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998. 
    
注意：

(1)振幅的雙邊頻譜為一偶函數，其大小為單邊振幅頻譜的一半。

(2)相位的雙邊頻譜為一奇函數，其正頻率範圍之大小與單邊相位頻譜相等。

== 範例4.8 ==
請繪出以下訊號的雙邊頻譜。
<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t +\pi/4)</math>

【解】

方式1：用尤拉公式改寫訊號成複指數型式 
 
<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi/4)</math>

<math>=\frac{3}{2}(e^{j2000\pi t}+e^{-j2000\pi t})+\frac{1}{j}(e^{j3000\pi t}+e^{-j3000\pi t})</math>

+<math>2(e^{j(4000\pi t)+\pi/4}+e^{j(4000\pi+\pi/4)})</math>

=<math>\frac{3}{2}e^{j2000\pi t}+\frac{3}{2}e^{-2000\pi t}+e^{-j\pi/2}e^{j3000\pi t}+e^{j\pi/2}e^{-j3000\pi t}
</math>

+<math>2e^{j(4000\pi t+\pi/4)}+2e{-j(4000\pi t+\pi/4)}</math>

=<math>\frac{3}{2}e^{-j2000\pi t}+\frac{3}{2}e{-j2000\pi t}+e{j(3000\pi t-\pi/2)}+e^{-j(3000\pi t-\pi/2)}
</math>

+<math>2e^{j(4000\pi t+\pi/4)}+2e^{-j(4000\pi t+\pi/4)}</math>


方式2：改寫訊號成餘弦標準式 


<math>x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi/4)</math>
=<math>3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi/2)+4cos(4000\pi t+\pi/4)</math>
  


由三個餘弦(cos)訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、<math>-\pi/2</math>與<math>\pi/4</math>，再繪出對應的雙邊頻譜。

訊號的雙邊頻譜    圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

== 範例4.9 ==
<math>x(t)=(3\sqrt{2})cos[2\pi (10)t+(\pi/4)]+(3/\sqrt{2})cos[2\pi(10)t-(\pi/4)]</math>
+<math>(1/\sqrt{2})cos[2\pi(15)t]+(1/\sqrt{2})sin[2\pi (15)t]</math>
-<math>2sin[2\pi (20)t-(\pi/6)]</math>


試繪其雙邊頻譜。


【解】改寫x(t)

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

x(t)=<math>3cos[2\pi (10)t]+cos[2\pi (15)t-(\pi/4)]</math>
+<math>2cos[2\pi (20)t+(\pi/3)]</math>

== 訊號頻寬 ==
範例4.9中，訊號包含的頻率為<math>10Hz</math>，<math>15Hz</math>及<math>20Hz</math>，故該訊號的頻寬

<math>B_x=20-10=10Hz</math>

某些訊號包含所有的頻率，此類訊號之頻寬是指在此一頻寬範圍內包含有訊號的大部分能量。


圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.


令<math>\alpha</math>為訊號在其頻寬內所具有的能量與訊號總能量的比值，常用的有:  
 
(1)<math>\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow</math>稱為3dB頻寬或半功率(half-power)頻寬

(2)<math>\alpha=0.1\Rightarrow</math>90%頻寬

注意:頻寬的計算只考慮正頻率部分。