訊號與系統/訊號頻譜

訊號頻譜(spectrum)

頻譜:

訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum)$A(f)$與相位頻譜(phase spectrum)$Ph(f)$兩部份。

$x(t)=3cos[2\pi (10)t-\frac{\pi }{3}]$

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圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

線頻譜(line spectra) ：

當$A(f)$與$Ph(f)$為離散頻率(discrete-frequency)函數時，此類頻譜稱為線頻譜。(如上頁圖例) 。

單邊頻譜(single-sided spectra) ：

當$A(f)$與$Ph(f)$兩頻譜只存在$f>0$的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁圖例)。

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範例4.2

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。 請繪出弦波訊號$x(t)=3cos(2000\pi +\frac{\pi }{6})$的單邊頻譜。

【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為$\frac{\pi }{6}$。

弦波訊號的單邊頻譜

範例4.3

請繪出弦波訊號$x(t)=-3cos(2000\pi +\frac{\pi }{6})$的單邊頻譜。

【解】 (1)訊號的振幅大 小要為正值，因此將訊號表示式改寫成：

$x(t)=-3cos(2000\pi +\frac{\pi }{6})$

$=3cos(2000\pi +\frac{\pi }{6}+\pi )$

$=3cos(2000\pi +\frac{7\pi }{6})$

或

$x(t)=-3cos(2000\pi +\frac{\pi }{6})$

$=3cos(2000\pi +\frac{\pi }{6}-\pi )$

$=3cos(2000\pi -\frac{5\pi }{6})$

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

(2)訊號x(t)之振幅大小為3，頻率為1000Hz以及相位為$\frac{7\pi }{6}$或$\frac{-5\pi }{6}$，下圖顯示這兩種頻譜。

弦波訊號的單邊頻譜 注意：此兩種表示其數學上完全相等

範例4.4

請繪出下列訊號的單邊頻譜。

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\frac{\pi }{4})$

【解】

改寫訊號表示式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\frac{\pi }{4})$=$3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\frac{\pi }{2})+4cos(4000\pi t+\frac{\pi }{4})$

訊號由三個餘弦訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、$-\frac{\pi }{2}$與$\frac{\pi }{4}$。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

範例4.5

請繪出訊號$x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$單邊頻譜。

【解】訊號可改寫成$x(t)=3cos(2000\pi t)+4cos(2000\pi t-\frac{\pi }{2})$，表示成由二個餘弦訊號組合而成，但其頻率皆為1000 Hz，因此必須合併。注意到cos(.)為非線性函數，二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相加，因此將訊號表示式改寫成：

$x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$

$=\sqrt{3^2+4^2}[cos(2000\pi t)\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}+sin(2000\pi t)\frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}]$

$=5[cos(2000\pi t)cos\varphi +sin(2000\pi t)sin\varphi ]$

$=5cos(2000\pi t-\varphi )$，$\varphi =ta{n}^{-1}\frac{4}{3}$

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

範例4.6

請繪出以下訊號的單邊頻譜 x(t)=$3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+\frac{\pi }{4})$

【解】 (1)可將訊號表示式改寫成

x(t)=$3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+\frac{\pi }{4})+cos(6000\pi t)-sin(6000\pi t)$ $=3cos(1000\pi t)+2cos(3000\pi t+\frac{\pi }{2})+4cos(4000\pi t+\frac{5\pi }{4})+\sqrt{2}cos(6000\pi t+\frac{\pi }{4})$

(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成，其振幅大小分別 為3、2、4與$\sqrt{2}$；而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz；以及 其相位分別為0、$\frac{\pi }{2}$、$\frac{5\pi }{4}$與$\frac{\pi }{4}$。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

雙邊頻譜

有別於用餘弦(cosine)訊號所形成的單邊頻譜；根據尤拉公式(Euler equation) ，可將餘弦訊號寫成兩個相同大小(magnitude) 但反方向 等速旋轉的相量(phasor)的和。即

$x(t)=A_{x}cos(2\pi f_{x}t+{\theta }_x)$ $=\frac{A_x}{2}{e}^{j{\theta }_x}{e}^{j2\pi f_{x}t}+\frac{A_x}{2}{e}^{j-{\theta }_x}{e}^{-j2\pi f_{x}t}$ $=[\frac{A_x}{2}{e}^{j{\theta }_x}]e^{j2\pi f_{x}t}+[\frac{A_x}{2}{e}^{-j{\theta }_x}]e^{-j2\pi f_{x}t}$

由上式可知，一餘弦訊號$x(t)$可表示成兩個反向旋轉的相量的和。第一個旋轉相量每秒$f_x$圈；第二個旋轉相量每秒轉$(-f_x)$，其負號是表示相反方向。

$x(t)$的頻域表示有兩種方式：

(1)採用餘弦訊號:

$A(f)=\{\begin{array}{cc}{A}_x,& \text{f=fx}\\ 0,& \text{other}\end{array}$

$Ph(f)=\{\begin{array}{cc}{\theta }_x,& \text{f=fx}\\ 0,& \text{other}\end{array}$

(2)採用旋轉相量和：

$A(f)=\{\begin{array}{cc}\frac{A_x}{2},& \text{f=fx or f=-fx}\\ 0,& \text{other}\end{array}$

$Ph(f)=\{\begin{array}{cc}{\theta }_x,& \text{f=fx}\\ 0,& \text{other}\\ -{\theta }_x,& \text{f=-fx}\end{array}$

注意:

方式

(1)僅含$f\ge 0$之頻域範圍，故稱為單邊頻譜方式。

(2)頻域$f$包含正頻率及負頻率，故稱為雙邊頻譜。

範例4.7

試繪出$x(t)=3cos[2\pi (10)t-(\pi /3)]=(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (10)t}+(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (-10)t}$ 之單邊及雙邊頻譜。

【解】

(1)單邊頻譜：

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

(2)雙邊頻譜:

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

注意：

(1)振幅的雙邊頻譜為一偶函數，其大小為單邊振幅頻譜的一半。

(2)相位的雙邊頻譜為一奇函數，其正頻率範圍之大小與單邊相位頻譜相等。

範例4.8

請繪出以下訊號的雙邊頻譜。 $x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

【解】

方式1：用尤拉公式改寫訊號成複指數型式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

$=\frac{3}{2}(e^{j2000\pi t}+e^{-j2000\pi t})+\frac{1}{j}(e^{j3000\pi t}+e^{-j3000\pi t})$

+$2(e^{j(4000\pi t)+\pi /4}+e^{j(4000\pi +\pi /4)})$

=$\frac{3}{2}{e}^{j2000\pi t}+\frac{3}{2}{e}^{-2000\pi t}+e^{-j\pi /2}{e}^{j3000\pi t}+e^{j\pi /2}{e}^{-j3000\pi t}$

+$2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e-j(4000\pi t+\pi /4)$

=$\frac{3}{2}{e}^{-j2000\pi t}+\frac{3}{2}e-j2000\pi t+ej(3000\pi t-\pi /2)+e^{-j(3000\pi t-\pi /2)}$

+$2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e^{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

方式2：改寫訊號成餘弦標準式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$ =$3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

由三個餘弦(cos)訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、$-\pi /2$與$\pi /4$，再繪出對應的雙邊頻譜。

訊號的雙邊頻譜 圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

範例4.9

$x(t)=(3\sqrt{2})cos[2\pi (10)t+(\pi /4)]+(3/\sqrt{2})cos[2\pi (10)t-(\pi /4)]$ +$(1/\sqrt{2})cos[2\pi (15)t]+(1/\sqrt{2})sin[2\pi (15)t]$ -$2sin[2\pi (20)t-(\pi /6)]$

試繪其雙邊頻譜。

【解】改寫x(t)

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

x(t)=$3cos[2\pi (10)t]+cos[2\pi (15)t-(\pi /4)]$ +$2cos[2\pi (20)t+(\pi /3)]$

訊號頻寬

範例4.9中，訊號包含的頻率為$10Hz$，$15Hz$及$20Hz$，故該訊號的頻寬

$B_x=20-10=10Hz$

某些訊號包含所有的頻率，此類訊號之頻寬是指在此一頻寬範圍內包含有訊號的大部分能量。

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

令$\alpha$為訊號在其頻寬內所具有的能量與訊號總能量的比值，常用的有:

(1)$\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow$稱為3dB頻寬或半功率(half-power)頻寬

(2)$\alpha =0.1\Rightarrow$90%頻寬

注意:頻寬的計算只考慮正頻率部分。