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== 通訊系統分析—類比調變 ==

傅立葉頻域分析的技巧廣泛應用在通訊系統的研究上，本小節將討論以下應用。

雙旁波帶抑制載波調變(Double Sideband Suppressed Carrier Modulation) 。

調幅(Amplitude Modulation) 。

單旁波帶調變(Single Sideband Modulation) 。

殘旁波帶調變(Vestigial Sideband Modulation) 。

正交多工(Quadrature-Carrier Multiplexing) 。

分頻多工(Frequency Division Multiplexing) 。

超外差接收機(SuperheterodyneReceiver) 。
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== 調變的功用 ==

1. 天線大小的考量。
由於傳輸的訊息頻率不夠高(例如：人聲)，所以發射與接收的天線所需要的長度要達到半波長可能約150公里，是不現實的，故利用載波將頻率升高後，在電路上可設計出相對簡易的天線。

2. 避免互相干擾。
不同頻率的載波在空氣中可以達到不互相干擾的特性。

3. 適應不同傳輸媒介及特性。

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== 雙旁波帶抑制載波調變DSB-SC) ==
..............................圖......................................©Simon Haykin, Communication Systems, 4thed., John Wiley & Sons, 2001.


基頻訊號(baseband information)
      <math>m(t)\leftrightarrow M(f)</math> 
載波(carrier)
      <math>\boldsymbol A_c cos(2\pi f_c t)\leftrightarrow {A_c \over 2}[\delta (f-f_c )+\delta (f+f_c )]</math>
調變後訊號(modulated signal)
      <math>s(t)=A_c m(t)cos(2\pi f_c )\leftrightarrow S(f)={A_c \over 2}[M(f-f_c )+M(f+f_c )]</math>

............................圖.............................................©Simon Haykin, Communication Systems, 4thed., John Wiley & Sons, 2001.

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== DSB-SC同步解調 ==
........................圖..................................................©Simon Haykin, Communication Systems, 4thed., John Wiley & Sons, 2001.


  <math>\boldsymbol v(t)=A'_c cos(2\pi f_c t+\phi )s(t)</math>
      <math>\boldsymbol =A_c A'_c cos(2\pi f_c t)cos(2\pi f_c t+\phi )m(t)</math>
      <math>={1\over 2}A_c A'_c cos(4\pi f_c t+\phi )m(t)+{1\over 2}A_c A'_c cos\phi m(t)</math>

  <math>V(f)=\Im \Big \{v(t)\Big \}={1\over 4}A_c A'_c \Big \{e^{j\phi }M(f-2f_c )+e^{-j\phi }M(f+2f_c )\Big \}+{1\over 2}A_c A'_c cos\phi M(f)</math>

.............................圖............................................©Simon Haykin, Communication Systems, 4thed., John Wiley & Sons, 2001.


經由低通濾波器得
      <math>v_0 (t)={1\over 2}A_c A'_c cos\phi m(t)</math>

當<math>\phi =0</math>(即同步)時
      <math>v_0 (t)=={1\over 2}A_c A'_c \phi m(t)</math>
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== 調幅(Amplitude Modulation) ==
基頻訊號<math>m(t)</math>，載波<math>c(t)=A_c cos(2\pi f_c t)</math>

AM調變後的訊號
      <math>\boldsymbol s(t)=A_c [1+k_a m(t)]cos(2\pi f_c t)</math>
     <math>S(f)=\Im \Big\{s(t)\Big\}={A_c\over 2}[\delta (f-f_c )+\delta (f+f_c)]+{k_a A_c \over 2}[M(f-f_c )+M(f+f_c )]</math>
..........................圖..........................................©Simon Haykin, Communication Systems, 4thed., John Wiley & Sons, 2001.


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== 波封檢測(Envelope Detector) ==
調幅最大優點即接收端可採用波封檢測而不必做同步解調，可降低複雜度。

..........................圖.......© B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems,Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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== 單旁波帶調變(SSB) ==
DSB-SC的頻譜可分成兩個部份：上旁波帶(upper sideband ,USB)與下旁波帶(lower sideband,LSB) 。

每一旁波帶均含有完整的基頻訊號的資訊。所以，只需傳送一個旁波帶即可，如此可節省頻寬。

解調可用DSB-SC之同步解調。

.........................圖..............................................©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems,Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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== 單旁波帶調變訊號的產生 ==
Hilbert 轉換—已知：<math>sgn(t)\leftrightarrow {1\over j\pi f}</math>根據傅立葉的對偶定理知
      <math>{1\over j\pi f}\leftrightarrow sgn(-f)=-sgn(f)\Rightarrow {1\over \pi t}\leftrightarrow -sgn(f)</math>
—定義：
      <math>\boldsymbol x(t)</math>                      <math>\hat{X}(t)=x(t)*{1\over \pi t}</math>
             <math>\to </math>Hilbert轉換<math>\to </math>
     <math>\boldsymbol X(f)</math>                      <math>\hat{X}(f)=-jsgn(f)X(f)</math>
—Hilbert 轉換的特性：

(1)時域訊號<math>x(t)</math>其Hilbert 轉換<math>\hat{x}(t)</math>仍是一時域訊號。

(2)<math>\hat\hat{x}(t)=-x(t)</math>

單旁波帶調變訊號：
      <math>u(t)=Re\Big\{[m(t)\pm j\hat{m}(t)]A_c e^{j2\pi f_c t}\Big\}</math>
                                                                           +：上旁波帶
                                                                           -：下旁波帶
     <math>=A_c\Big\{m(t)cos2\pi f_c t\mp \hat{m}(t)sin2\pi f_c t\Big\}</math>
                                                                            -：上旁波帶
                                                                            +：下旁波帶 

.......................圖..............................................©John G. Proakisand M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nded., Prentice Hall International, 2002.


同學可自行驗證上述u(t) 的頻譜確實為單旁波帶訊號的頻譜。

.......................圖..............................................©Rodger E. Ziemer、William H. Tranter,Principlesof Cmmunications, John Wiley & Sons, 2002.

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== 殘旁波帶調變(VSB) ==
單旁波帶調變也可藉由將雙旁波帶訊號經過旁波帶濾波器來產生。

若基頻訊號的低頻或直流成分很明顯，則此旁波帶濾波器必須是理想的濾波器。

由於理想濾波器無法達成，故改用較易實現的旁波帶濾波器→殘旁波帶調變(VSB)。

VSB調變比SSB調變需要較大的頻寬。

.................................圖.................................©John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nded., Prentice Hall International, 2002.

.................................圖.................................©Rodger E. Ziemerand William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002.
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== 正交多工(Quadrature Carrier Multiplexing) ==
多工(multiplexing)的目的在於可同時傳送多個訊息。

運用<math>A_c cos2\pi f_c t</math>與<math>A_c sin2\pi f_c t</math>可在同一頻率傳送兩個獨立的訊息，由於<math>cos</math>與<math>sin</math>彼此正交，故稱正交多工。

.............................圖............................................©Simon Haykin, Communication Systems, 4thed., John Wiley & Sons, 2001.
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== 分頻多工(Frequency Division Multiplexing) ==
運用不同頻帶可同時傳送多個訊號，彼此不互相干擾，稱為分頻多工。

..................................圖.....................................©CharlsL. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rded., Pearson Education, 2003.
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== 超外差接收機(Superheterodyne Receiver) ==
上述分頻多工接收機必須有一個可調式(tunable)帶通濾波<math>(H_1 (\omega ))</math>器來決定要接收哪一個訊號。

實作上，可調式帶通濾波器的實現比較複雜。

超外差接收機的原理是運用-可調式震盪器先將要接收的訊號移頻至事先固定的中頻(IF,intermediatefrequency)頻帶上，再配合針對固定中頻頻帶的解調器即可。

.................................圖........(沒有編號)...........................

超外差接收機不需要可調式帶通濾波器，較易實現。
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