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== 週期訊號的功率分析 ==
週期<math>T_0</math> 的週期訊號其平均功率計算式：

    <math>P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \mid x(t)\mid^2\, dt</math>

若將此週期訊號表示成指數傅立葉級數，上述平均功率計算式可改寫成：

<math>P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{}  x(t)x^{*}(t)\, dt=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)[\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 t}]^*\, dt</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)\sum_{n=-\infty}^\infty X_n^* e^{-jn\omega_0 t}\, dt=\sum_{n=-\infty}^\infty X_n^* \frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} x(t)e^{-jn\omega_0 t}\, dt</math>

<math>=\sum_{n=-\infty}^\infty X_n^* X_n =\sum_{n=-\infty}^\infty \mid X_n \mid ^2</math>





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== 週期訊號的功率分析(續) ==
改用三角傅立葉級數第二式表示：

<math>x(t)=C_0 +\sum_{n=1}^\infty C_n \cos (n\omega_0 t +\theta_n)</math>



 <math>x(t)</math>的平均功率：

<math>P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \mid x(t) \mid ^2\, dt</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \mid C_0 +\sum_{n=1}^\infty C_n \cos (n\omega_0 t+\theta_n)\mid ^2 \, dt</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} [ C_0 ^2 +\sum_{n=1}^\infty C_n ^2 \cos ^2(n\omega_0 t+\theta_n) +2C_0 \sum_{n=1}^\infty C_n \cos (n\omega_0 t+\theta_n)+\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty C_n C_m \cos (n\omega_0 t+\theta_n)\cos (m\omega_0 t+\theta_m)] \, dt</math>

<math>\frac{1}{T_0}\begin{cases}  \begin{matrix} \underbrace{ C_0 ^2\int_{T_0}^{0} \, dt} \\ T_0 \end{matrix} \end{cases}+\begin{matrix} \underbrace{ \sum_{n=1}^\infty C_n ^2 \int_{T_0}^{} \cos ^2(n\omega_0 t+\theta_n)\, dt } \\ T_0 /2 \end{matrix}+\begin{matrix} \underbrace{ 2C_0 \sum_{n=1}^\infty C_n \int_{T_0}^{} \cos (n\omega_0 t+\theta_n)\, dt} \\ 0 \end{matrix}</math>

<math>+\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty C_n C_m \begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} \cos (n\omega_0 t+\theta_n)\cos (m\omega_0 t+\theta_m)\, dt } \\ 0 \end{matrix}= C_0 ^2 +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty C_n ^2</math>


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== 週期訊號的功率分析(續) ==
根據三角傅立葉級數及第二式的關係：

    <math>c_0 =a_0</math>

   <math>c_n =\sqrt{a_n ^2 +b_n ^2}</math>

   故<math>P=a_0 ^2 +\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n ^2}{2}+\frac{b_n ^2}{2})</math>



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== Parseval定理 ==
傅立葉級數的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式
      (Parseval identity) ：
      一週期訊號<math>x(t)</math> 可表示成三角傅立葉級數或指數傅立葉級數：

     <math>x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty X_n e^{jn\omega_0 t}</math>

    <math>c_0 +\sum_{n=1}^\infty c_n \cos (n\omega_0 t+\theta_n)</math>

    <math>a_0 +\sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\omega_0 t+b_n \sin n\omega_0 t)</math>



此週期訊號<math>x(t)</math> 的平均功率可用傅立葉級數的係數表示如下：

<math>P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \mid x(t)\mid ^2\, dt =\sum_{n=-\infty}^\infty \mid X_n \mid ^2 =c_0 ^2 +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty c_n^2 =a_0 ^2 +\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n ^2}{2}+\frac{b_n ^2}{2})</math>   

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== 週期訊號的功率分析-Parseval定理 ==
Parseval定理：

　　說明週期訊號的平均功率可在時域上計算，也可以使用累加式。<br />
　　此累加式可看成在頻域上計算平均功率，週期訊號表示成複指數傅立葉級數時，訊號頻譜離散分佈，每一項之平均功率等於該項係數大小(代表該項訊號振幅或強度)的平方，加總後得到訊號的平均功率。<br />
　　同樣地週期訊號表示成三角傅立葉級數時，訊號頻譜離散分佈，直流項之平均功率等於該項係數大小的平方，弦波項之平均功率等於該項係數大小平方的1/2。有些情況在時域上計算平均功率比較容易，有些情況則相反。 

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== 範例4.17 ==
試求週期訊號<math>x(t)=2\cos (2\omega_0 t+30^o)-4\cos (3\omega_0 t+120^o)</math> 的平均功率。

<math>x(t)</math>的基本週期<math>T_0 =\frac{2\pi}{\omega_0}</math>        


【解】(1)時域上計算：

<math>P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} \mid x(t) \mid ^2 \, dt</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} [4\cos ^2(2\omega_0 t +30^o)+16\cos ^2(3\omega_0 t+120^o)-16\cos (2\omega_0 t+30^o)\cos (3\omega_0 t+120^o)] \, dt</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}^{} [2+2\cos (4\omega_0 t +60^o)+8+8\cos (6\omega_0 t+240^o)-8\cos (5\omega_0 t+150^o)-8\cos (\omega_0 t+90^o)\, dt</math>

<math>=\frac{1}{T_0}\begin{cases}  2 \begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} \, dt } \\ T_0 \end{matrix}\end{cases}+2\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} \cos (4\omega_0 t +60^o)\, dt } \\ 0 \end{matrix}+8 \begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} \, dt } \\ T_0 \end{matrix}+8\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} \cos (6\omega_0 t +240^o)\, dt } \\ 0 \end{matrix}-8\begin{matrix} \underbrace{ \int_{T_0}^{} \cos (5\omega_0 t +150^o)\, dt } \\ 0 \end{matrix}</math>

<math>=\frac{1}{T_0}    \left\{2T_0 +8T_0 \right\}=10</math>





(2)頻域上計算：
    (a)<math>x(t)=2\cos (2\omega_0 t+30^o)-4\cos (3\omega_0 t+120^o)</math>

          <math>=2\cos (2\omega_0 t+30^o)+4\cos (3\omega_0 t-60^o)</math>

          
            為三角傅立葉級數第二式。根據Parseval定理：

          <math>P=\frac{1}{2}(2)^2 +\frac{1}{2}(4)^2 =2+8=10</math>
           
            ※由上面計算可知，<math>x(t)</math>的平均功率由兩項相加而得，此兩項分別是
             <math>2\cos (2\omega_0 t+30^o)</math>的平均功率及<math>4\cos (3\omega_0 t-60^o)</math>的平均功率，故可用下
  
           圖表示：


       .............................圖
                             
                             上圖稱為<math>x(t)</math> 的單邊功率頻譜(power spectrum) 。             

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(b)運用尤拉公式，<math>x(t)</math>可表示成指數傅立葉級數。

<math>x(t)=2\cos (2\omega_0 t+30^o)-4\cos (3\omega_0 t+120^o)</math>

<math>=2\frac{e^{j(2\omega_0 t +30^o)} +e^{-j(2\omega_0 t +30^o)}}{2} -4\frac{e^{j(3\omega_0 t +120^o)} +e^{-j(3\omega_0 t +120^o)}}{2} </math>

<math>=e^{j30^o}e^{j2\omega_0 t} +e^{-j30^o}e^{-j2\omega_0 t} -2e^{j120^o}e^{j3\omega_0 t} - 2e^{-j120^o}e^{-j3\omega_0 t}</math>

<math>=2e^{j60^o}e^{-j3\omega_0 t} +e^{-j30^o}e^{-j2\omega_0 t} +e^{j30^o}e^{j2\omega_0 t} +2e^{-j60^o}e^{j3\omega_0 t}</math>

根據Parseval定理，<math>x(t)</math>的平均功率為

<math>P=\mid 2e^{j60^o}\mid ^2 +\mid e^{-j30^o}\mid ^2 +\mid e^{j30^o}\mid ^2 +\mid 2e^{-j60^o}\mid ^2</math>

<math>=4+1+1+4=10</math>

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== 範例4.18 ==
我們可繪出<math> x(t)</math> 之雙邊功率頻譜如下：



................圖

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