訊號與系統/週期訊號的功率分析

週期訊號的功率分析

週期$T_0$ 的週期訊號其平均功率計算式：

   $P=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\mid x(t){\mid }^{2}dt$

若將此週期訊號表示成指數傅立葉級數，上述平均功率計算式可改寫成：

$P=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)x^{*}(t)dt=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}{]}^{*}dt$

$=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n^{*}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n^{*}\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}x(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n^{*}{X}_n=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid X_n{\mid }^2$

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週期訊號的功率分析(續)

改用三角傅立葉級數第二式表示：

$x(t)=C_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$

$x(t)$的平均功率：

$P=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\mid x(t){\mid }^{2}dt$

$=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\mid C_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n){\mid }^{2}dt$

$=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}[C_0^2+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^2{\cos }^2(n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)+2C_0\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{C}_m\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)\cos (m{\omega }_{0}t+{\theta }_m)]dt$

$\frac{1}{T_0}\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underbrace{C_0^2\underset{T_0}{\overset{0}{\int }}dt}\\ T_0\end{array}\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^2\underset{T_0}{\overset{}{\int }}{\cos }^2(n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)dt}\\ T_0/2\end{array}+\begin{array}{c}\underbrace{2C_0\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)dt}\\ 0\end{array}$

$+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{C}_m\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)\cos (m{\omega }_{0}t+{\theta }_m)dt}\\ 0\end{array}=C_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^2$

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週期訊號的功率分析(續)

根據三角傅立葉級數及第二式的關係：

   $c_0=a_0$

  $c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$

  故$P=a_0^2+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{a_n^2}{2}+\frac{b_n^2}{2})$

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Parseval定理

傅立葉級數的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式

     (Parseval identity) ：
     一週期訊號$x(t)$ 可表示成三角傅立葉級數或指數傅立葉級數：

    $x(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$

   $c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$

   $a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t)$

此週期訊號$x(t)$ 的平均功率可用傅立葉級數的係數表示如下：

$P=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\mid x(t){\mid }^{2}dt=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mid X_n{\mid }^2=c_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n^2=a_0^2+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{a_n^2}{2}+\frac{b_n^2}{2})$

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週期訊號的功率分析-Parseval定理

Parseval定理：

　　說明週期訊號的平均功率可在時域上計算，也可以使用累加式。
　　此累加式可看成在頻域上計算平均功率，週期訊號表示成複指數傅立葉級數時，訊號頻譜離散分佈，每一項之平均功率等於該項係數大小(代表該項訊號振幅或強度)的平方，加總後得到訊號的平均功率。
　　同樣地週期訊號表示成三角傅立葉級數時，訊號頻譜離散分佈，直流項之平均功率等於該項係數大小的平方，弦波項之平均功率等於該項係數大小平方的1/2。有些情況在時域上計算平均功率比較容易，有些情況則相反。

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範例4.17

試求週期訊號$x(t)=2\cos (2{\omega }_{0}t+30^o)-4\cos (3{\omega }_{0}t+120^o)$ 的平均功率。

$x(t)$的基本週期$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$

【解】(1)時域上計算：

$P=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\mid x(t){\mid }^{2}dt$

$=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}[4{\cos }^2(2{\omega }_{0}t+30^o)+16{\cos }^2(3{\omega }_{0}t+120^o)-16\cos (2{\omega }_{0}t+30^o)\cos (3{\omega }_{0}t+120^o)]dt$

$=\frac{1}{T_0}\underset{T_0}{\overset{}{\int }}[2+2\cos (4{\omega }_{0}t+60^o)+8+8\cos (6{\omega }_{0}t+240^o)-8\cos (5{\omega }_{0}t+150^o)-8\cos ({\omega }_{0}t+90^o)dt$

$=\frac{1}{T_0}\{\begin{array}{c}2\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}dt}\\ T_0\end{array}\end{array}+2\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\cos (4{\omega }_{0}t+60^o)dt}\\ 0\end{array}+8\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}dt}\\ T_0\end{array}+8\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\cos (6{\omega }_{0}t+240^o)dt}\\ 0\end{array}-8\begin{array}{c}\underbrace{\underset{T_0}{\overset{}{\int }}\cos (5{\omega }_{0}t+150^o)dt}\\ 0\end{array}$

$=\frac{1}{T_0}\{2T_0+8T_0\}=10$

(2)頻域上計算：

   (a)$x(t)=2\cos (2{\omega }_{0}t+30^o)-4\cos (3{\omega }_{0}t+120^o)$

         $=2\cos (2{\omega }_{0}t+30^o)+4\cos (3{\omega }_{0}t-60^o)$

           為三角傅立葉級數第二式。根據Parseval定理：

         $P=\frac{1}{2}(2{)}^2+\frac{1}{2}(4{)}^2=2+8=10$
          
           ※由上面計算可知，$x(t)$的平均功率由兩項相加而得，此兩項分別是
            $2\cos (2{\omega }_{0}t+30^o)$的平均功率及$4\cos (3{\omega }_{0}t-60^o)$的平均功率，故可用下
 
          圖表示：

      .............................圖
                            
                            上圖稱為$x(t)$ 的單邊功率頻譜(power spectrum) 。             

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(b)運用尤拉公式，$x(t)$可表示成指數傅立葉級數。

$x(t)=2\cos (2{\omega }_{0}t+30^o)-4\cos (3{\omega }_{0}t+120^o)$

$=2\frac{e^{j(2{\omega }_{0}t+30^o)}+e^{-j(2{\omega }_{0}t+30^o)}}{2}-4\frac{e^{j(3{\omega }_{0}t+120^o)}+e^{-j(3{\omega }_{0}t+120^o)}}{2}$

$=e^{j30^o}{e}^{j2{\omega }_{0}t}+e^{-j30^o}{e}^{-j2{\omega }_{0}t}-2e^{j120^o}{e}^{j3{\omega }_{0}t}-2e^{-j120^o}{e}^{-j3{\omega }_{0}t}$

$=2e^{j60^o}{e}^{-j3{\omega }_{0}t}+e^{-j30^o}{e}^{-j2{\omega }_{0}t}+e^{j30^o}{e}^{j2{\omega }_{0}t}+2e^{-j60^o}{e}^{j3{\omega }_{0}t}$

根據Parseval定理，$x(t)$的平均功率為

$P=\mid 2e^{j60^o}{\mid }^2+\mid e^{-j30^o}{\mid }^2+\mid e^{j30^o}{\mid }^2+\mid 2e^{-j60^o}{\mid }^2$

$=4+1+1+4=10$

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範例4.18

我們可繪出$x(t)$ 之雙邊功率頻譜如下：

................圖

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