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'''诱导公式'''是[[数学]][[三角函数]]中将[[角度]]比较大的三角函数利用[[角度]]的[[周期]]性，转换为角度比较小的[[三角函数]]的变形公式。诱导公式分为以下六类：

== 公式一（函数关于2π的周期性） ==
* <math>\sin (2k\pi +\alpha )=\sin \alpha,k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha,k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\tan (2k\pi +\alpha )=\tan \alpha,k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\cot (2k\pi +\alpha )=\cot \alpha,k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\sec (2k\pi +\alpha )=\sec \alpha,k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\csc (2k\pi +\alpha )=\csc \alpha,k\in \mathbb{Z}</math>

== 公式二（函数关于π的周期性） ==
* <math>\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha</math>
* <math>\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha</math>
* <math>\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha</math>
* <math>\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha</math>
* <math>\sec (\pi +\alpha )=-\sec \alpha</math>
* <math>\csc (\pi +\alpha )=-\csc \alpha</math>

== 公式三（函数的[[奇函数与偶函数|奇偶性]]） ==
* <math>\sin (-\alpha )=-\sin \alpha</math>
* <math>\cos (-\alpha )=\cos \alpha</math>
* <math>\tan (-\alpha )=-\tan \alpha</math>
* <math>\cot (-\alpha )=-\cot \alpha</math>
* <math>\sec (-\alpha )=\sec \alpha</math>
* <math>\csc (-\alpha )=-\csc \alpha</math>

== 公式四（在单位圆中各三角函数线关于''y''轴的对称性） ==
* <math>\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha</math>
* <math>\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha</math>
* <math>\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha</math>
* <math>\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha</math>
* <math>\sec (\pi -\alpha )=-\sec \alpha</math>
* <math>\csc (\pi -\alpha )=\csc \alpha</math>

== 公式五（可看作在直角三角形中的转换） ==
* <math>\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha</math>
* <math>\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha</math>
* <math>\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha</math>
* <math>\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha</math>
* <math>\sec \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\csc \alpha</math>
* <math>\csc \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sec \alpha</math>

== 公式六 ==
* <math>\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha</math>
* <math>\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha</math>
* <math>\tan \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha</math>
* <math>\cot \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha</math>
* <math>\sec \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\csc \alpha</math>
* <math>\csc \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sec \alpha</math>

== 公式七 ==
* <math>\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha</math>
* <math>\cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha</math>
* <math>\tan \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha</math>
* <math>\cot \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\tan \alpha</math>
* <math>\sec \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\csc \alpha</math>
* <math>\csc \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\sec \alpha</math>

== 公式八 ==
* <math>\sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha</math>
* <math>\cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=\sin \alpha</math>
* <math>\tan \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha</math>
* <math>\cot \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha</math>
* <math>\sec \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=\csc \alpha</math>
* <math>\csc \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\sec \alpha</math>

== 内在联系 ==
{{See also|象限角}}
值得注意的是，公式一至八其实都存在着内在联系，可以写成以下形式：
* <math>\sin \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\cos \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\tan \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\cot \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\sec \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}</math>
* <math>\csc \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}</math>

可用如下口诀将联系记忆起来：“奇变偶不变，符号看象限”。意思为，当<math>k</math>为[[奇数]]时，<math>\sin</math>变为<math>\cos</math>，<math>\cos</math>变为<math>\sin</math>，<math>\tan</math>变为<math>\cot</math>，<math>\cot</math>变为<math>\tan</math>，<math>\sec</math>变为<math>\csc</math>，<math>\csc</math>变为<math>\sec</math>；而<math>k</math>为[[偶数]]时，三角函数则不变换。对于正负号，则要看最后-{}-角所在的象限进行判断，可以使用如下口诀：'''CAST'''，也可以使用'''ASTC''' (All Students Take Calculus) 用来记忆。

* 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。
* 第二象限的 S 即是 '''Sin'''e & Co'''S'''ecant（[[正弦]]以及[[餘割|余割]]为正）。
* 第三象限的 T 即是 '''Tan'''gent & '''Cot'''angent（[[正切函数|正切]]以及[[余切]]为正）。
* 第四象限的 C 即是 '''Cos'''ine & Se'''C'''ant（[[餘弦定理|余弦]]以及[[正割]]为正）。

== 参考来源 ==
* {{cite book|title=数学4 必修|publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]]|isbn=978-7-107-20334-3}}

[[Category:数学公式]]
[[Category:三角学]]