诱导公式

诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角度的周期性，转换为角度比较小的三角函数的变形公式。诱导公式分为以下六类：

公式一（函数关于2π的周期性）

• $\sin (2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in \mathbb{Z}$
• $\cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in \mathbb{Z}$
• $\tan (2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb{Z}$
• $\cot (2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb{Z}$
• $\sec (2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in \mathbb{Z}$
• $\csc (2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in \mathbb{Z}$

公式二（函数关于π的周期性）

• $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$
• $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
• $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$
• $\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha$
• $\sec (\pi +\alpha )=-\sec \alpha$
• $\csc (\pi +\alpha )=-\csc \alpha$

公式三（函数的奇偶性）

• $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$
• $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
• $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$
• $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$
• $\sec (-\alpha )=\sec \alpha$
• $\csc (-\alpha )=-\csc \alpha$

公式四（在单位圆中各三角函数线关于y轴的对称性）

• $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
• $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
• $\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$
• $\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha$
• $\sec (\pi -\alpha )=-\sec \alpha$
• $\csc (\pi -\alpha )=\csc \alpha$

公式五（可看作在直角三角形中的转换）

• $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$
• $\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$
• $\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$
• $\cot (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$
• $\sec (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\csc \alpha$
• $\csc (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sec \alpha$

公式六

• $\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$
• $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$
• $\tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha$
• $\cot (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\tan \alpha$
• $\sec (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\csc \alpha$
• $\csc (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\sec \alpha$

公式七

• $\sin (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\cos \alpha$
• $\cos (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\sin \alpha$
• $\tan (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$
• $\cot (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha$
• $\sec (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\csc \alpha$
• $\csc (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-\sec \alpha$

公式八

• $\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cos \alpha$
• $\cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=\sin \alpha$
• $\tan (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha$
• $\cot (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\tan \alpha$
• $\sec (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=\csc \alpha$
• $\csc (\frac{3\pi }{2}+\alpha )=-\sec \alpha$

内在联系

Template:See also 值得注意的是，公式一至八其实都存在着内在联系，可以写成以下形式：

• $\sin (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha ),k\in \mathbb{Z}$
• $\cos (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha ),k\in \mathbb{Z}$
• $\tan (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha ),k\in \mathbb{Z}$
• $\cot (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha ),k\in \mathbb{Z}$
• $\sec (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha ),k\in \mathbb{Z}$
• $\csc (\frac{k\pi }{2}\pm \alpha ),k\in \mathbb{Z}$

可用如下口诀将联系记忆起来：“奇变偶不变，符号看象限”。意思为，当$k$为奇数时，$\sin$变为$\cos$，$\cos$变为$\sin$，$\tan$变为$\cot$，$\cot$变为$\tan$，$\sec$变为$\csc$，$\csc$变为$\sec$；而$k$为偶数时，三角函数则不变换。对于正负号，则要看最后-{}-角所在的象限进行判断，可以使用如下口诀：CAST，也可以使用ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。

• 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。
• 第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant（正弦以及余割为正）。
• 第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent（正切以及余切为正）。
• 第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant（余弦以及正割为正）。

参考来源

• Template:Cite book