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== 阅读指南 ==

== 基础知识 ==
=== 分段函数 ===
函数可以在不同的几个定义域上分别单独给出定义，这样表示的函数叫做'''分段函数'''（'''piecewise function'''）。分段函数最常用于表达某些人为构造的函数例子，例如图象有间断点的函数、各子区域上对应法则各不相同的函数。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解，这时也会需要用到分段函数的形式表示。

高中阶段涉及分段函数的常见题型是求值题和解方程题。

==== 分段函数的多轮迭代求值 ====
这里列举一些典型的求值时需要多次迭代分段函数的问题。还有一些同类型的多次求值问题涉及函数的递推关系式，我们会在学习[[高中数学/函数与三角/函数的周期性|周期函数]]的章节中继续补充此类问题。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：设<math>
f(x) =
\left\{
\begin{array}{l}
|x - 1| - 2, \quad |x| \le 1 \\
\frac 1 {1 + x^2}, \quad |x| > 1
\end{array}
\right.
</math>，求<math>f(f(\frac 1 2))</math>的值。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：已知<math>f(x) = \frac 1 2 (x + |x|)</math>，则<math>f(f(x))</math>的等价表达式为(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
A.<math>x+\left \vert x \right \vert</math><br />
B.0<br />
C.<math>
\left\{
\begin{array}{l}
x, \quad x \le 2 \\
0, \quad x > 2
\end{array}
\right.
</math><br />
D.<math>
\left\{
\begin{array}{l}
x, \quad x \ge 2 \\
0, \quad x < 2
\end{array}
\right.
</math>

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：设<math>
f(x) =
\left\{
\begin{array}{l}
2x - 1, \quad x \ge 2 \\
f(f(x+1)) + 1, \quad x < 2
\end{array}
\right.
</math>，求<math>f(1)</math>的值。

==== 包含分段函数的解方程题 ====
<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：已知函数<math>
f(x) = 
\left\{
\begin{array}{l}
x (x+4), \quad x \ge 0 \\
x (x-4), \quad x < 0
\end{array}
\right.
</math>，若<math>f(x) = 12</math>，求<math>x</math>的值。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：已知函数<math>
f(x) =
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 - 1, \quad x \le 0 \\
2x - 1, \quad x > 0
\end{array}
\right.
</math>，且<math>f(a) = 1</math>，求<math>a</math>的值。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：已知函数<math>
f(x) =
\left\{
\begin{array}{l}
x + 2, \quad x \le 0 \\
-x + 2, \quad x > 0
\end{array}
\right.
</math>，求方程<math>f(x) = x^2</math>的解。

=== 函数的简单复合与还原 ===
函数可以彼此相互嵌套，形成'''复合函数'''（'''composite function'''），其嵌套的过程叫做'''函数复合'''（'''function composition'''）。<math>f(x)</math>和<math>g(x)</math>的复合函数<math>f(g(x))</math>可以记作<math>g\cdot f</math>。函数的内部发生换元或嵌入其它函数后，定义域一般也会有对应变化。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：已知函数<math>f(x) = x^2</math>，求函数<math>g(x) = \frac{f(3x)}{x}</math>的表达式。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：已知函数<math>f(x)</math>的定义域为[-2, 1]，求函数<math>f(3x - 1)</math>的定义域。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：已知<math>f(x)</math>的定义域为[-2, 2]，求<math>g(x) = \frac{f(x - 1)}{\sqrt{2x + 1}}</math>的定义域。

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：已知函数<math>f(x - 2)</math>的定义域为[0, 2]，求函数<math>f(2x - 1)</math>的定义域。

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：已知<math>f(x)</math>是一次函数，且<math>f(x - 1) = 3x - 5</math>，求<math>f(x)</math>的表达式。

<!-- 本小节例题6 -->
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相关例题6：已知函数<math>f(x)</math>满足<math>f(2x + 1) = x^2 - 2x</math>，求<math>f(x)</math>的表达式。

<!-- 本小节例题7 -->
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相关例题7：若函数<math>f(x - 1) = 2x - 5</math>，且<math>f(2a - 1) = 6</math>，求a的值。

=== 反函数 ===
原函数与其反函数的图象关于特殊直线<math>y = x</math>一定是轴对称的。

== 常用结论与常见模型 ==
=== 分段的复合函数 ===

=== 稍复杂的函数解析式求解 ===
对于一些稍复杂的求函数解析式的题目，经常需要用到如下技巧：
* 换元法
* 构造函数方程组法
其中，'''函数方程'''是指包含未知函数的方程，而函数方程组是同时成立的多个函数方程。大部分函数方程难以求解或是没有唯一解。除了本节介绍的简单类型，还有少数易解的函数方程会在[[高中数学/函数与三角/函数方程简介|函数方程简介]]章节介绍。

<!-- 本小节例题 -->
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相关例题：已知函数<math>f(x)</math>满足<math>f(x) = 2 f(\frac 1 x) + 3x</math>，求<math>f(x)</math>的表达式。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|分段函数}}
{{Wikipedia|复合函数}}
{{Wikipedia|反函数}}

{{DEFAULTSORT:piecewise function, composite function and inverse function}}
[[category:函数]]
[[category:高中数学]]