高中数学/函数与三角/分段函数、复合函数与反函数的概念

基础知识

分段函数

函数可以在不同的几个定义域上分别单独给出定义，这样表示的函数叫做分段函数（piecewise function）。分段函数最常用于表达某些人为构造的函数例子，例如图象有间断点的函数、各子区域上对应法则各不相同的函数。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解，这时也会需要用到分段函数的形式表示。

高中阶段涉及分段函数的常见题型是求值题和解方程题。

分段函数的多轮迭代求值

这里列举一些典型的求值时需要多次迭代分段函数的问题。还有一些同类型的多次求值问题涉及函数的递推关系式，我们会在学习周期函数的章节中继续补充此类问题。

相关例题1：设$f(x)=\{\begin{array}{c}|x-1|-2,|x|\le 1\\ \frac{1}{1+x^2},|x|>1\end{array}$，求$f(f(\frac{1}{2}))$的值。

相关例题2：已知$f(x)=\frac{1}{2}(x+|x|)$，则$f(f(x))$的等价表达式为(    )。
A.$x+\left|x\right|$
B.0
C.$\{\begin{array}{c}x,x\le 2\\ 0,x>2\end{array}$
D.$\{\begin{array}{c}x,x\ge 2\\ 0,x<2\end{array}$

相关例题3：设$f(x)=\{\begin{array}{c}2x-1,x\ge 2\\ f(f(x+1))+1,x<2\end{array}$，求$f(1)$的值。

包含分段函数的解方程题

相关例题1：已知函数$f(x)=\{\begin{array}{c}x(x+4),x\ge 0\\ x(x-4),x<0\end{array}$，若$f(x)=12$，求$x$的值。

相关例题2：已知函数$f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^2-1,x\le 0\\ 2x-1,x>0\end{array}$，且$f(a)=1$，求$a$的值。

相关例题3：已知函数$f(x)=\{\begin{array}{c}x+2,x\le 0\\ -x+2,x>0\end{array}$，求方程$f(x)=x^2$的解。

函数的简单复合与还原

函数可以彼此相互嵌套，形成复合函数（composite function），其嵌套的过程叫做函数复合（function composition）。$f(x)$和$g(x)$的复合函数$f(g(x))$可以记作$g\cdot f$。函数的内部发生换元或嵌入其它函数后，定义域一般也会有对应变化。

相关例题1：已知函数$f(x)=x^2$，求函数$g(x)=\frac{f(3x)}{x}$的表达式。

相关例题2：已知函数$f(x)$的定义域为[-2, 1]，求函数$f(3x-1)$的定义域。

相关例题3：已知$f(x)$的定义域为[-2, 2]，求$g(x)=\frac{f(x-1)}{\sqrt{2x+1}}$的定义域。

相关例题4：已知函数$f(x-2)$的定义域为[0, 2]，求函数$f(2x-1)$的定义域。

相关例题5：已知$f(x)$是一次函数，且$f(x-1)=3x-5$，求$f(x)$的表达式。

相关例题6：已知函数$f(x)$满足$f(2x+1)=x^2-2x$，求$f(x)$的表达式。

相关例题7：若函数$f(x-1)=2x-5$，且$f(2a-1)=6$，求a的值。

反函数

原函数与其反函数的图象关于特殊直线$y=x$一定是轴对称的。

常用结论与常见模型

稍复杂的函数解析式求解

对于一些稍复杂的求函数解析式的题目，经常需要用到如下技巧：

• 换元法
• 构造函数方程组法

其中，函数方程是指包含未知函数的方程，而函数方程组是同时成立的多个函数方程。大部分函数方程难以求解或是没有唯一解。除了本节介绍的简单类型，还有少数易解的函数方程会在函数方程简介章节介绍。

相关例题：已知函数$f(x)$满足$f(x)=2f(\frac{1}{x})+3x$，求$f(x)$的表达式。