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== 阅读指南 ==
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据说物理学家[[w:伽利略·伽利莱|伽利略·伽利莱]]曾说过一句不负责任的话：“给我时间、空间和对数，我可以创造一个宇宙。”很难想象如果他成为了造物主，会不会胡乱创造出很多宇宙。

对数产生于对大数乘除法结果的快速估算，可以将乘除法化为加减法进行估算。例如计算2个很大的数a和b的近似乘积，可以先通过专门的对数表查出它们各自对应的对数值<math>\log (a)</math>和<math>\log (b)</math>，将它们直接相加后，再从表中查询与相加结果对应的数即可。对数表一般是按对数运算特点提前制作好的对照表，后来还流行过更方便的[[w:计算尺|计算尺]]。著名的原子物理学家[[w:恩里科·费米|恩里科·费米]]就是习惯使用计算尺。时至今日，不管是在考试还是在实际应用中，对数的主要用途仍然是在代数运算中化乘除运算为加减运算，或是为了方便比较将很大的数压缩为一个很小的数。地震学中[[w:里氏地震规模|里氏地震规模]]、化学中[[w:pH值|酸碱度]]、计算机学中[[w:算法复杂度|算法复杂度]]，甚至是[[w:乐理|音乐理论]]中简化地表达某些音程差的数量关系（例如[[w:十二平均律|十二平均律]]）时都有用到对数运算后的结果作为数值大小的衡量尺度。

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提示：考试时能否携带计算尺请参考考试相关规定。当然，前提是这种古董在文具店里还能够买到。

对数在16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家[[w:约翰·纳皮尔|约翰·纳皮尔]]男爵和瑞士工程师[[w:约斯特·比尔吉|约斯特·比尔吉]]正式发明。对数最初是从几何角度定义的，虽然能简化大数运算，但是其代数特性不是很明显。后来，聪明的[[w:莱昂哈德·欧拉|莱昂哈德·欧拉]]发现对数实际上就是指数的反运算，完全可以将指数的运算与对数的运算放在一起类比地学习，因此他建议直接通过指数来定义对数。

=== 预备知识 ===
本节公式特别多。本章的习题也会默认读者已经熟悉初中/国中阶段的指数运算的知识。如果之前完全没有接触过对数的概念，有时可能会无从下笔或记混公式。多找题练手，方能修得正果。

=== 考试要求 ===
在整个高中阶段，需要一口气熟练掌握大量公式的地方只有本章节、[[高中数学/函数与三角/三角恒等变换|三角恒等变换]]和[[高中数学/函数与三角/高等数学知识初步/一阶导数与常用求导公式|导数公式]]这3个章节。

=== 后续课程联系 ===
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玩笑：苏联物理学家[[w:列夫·朗道|列夫·朗道]]喜欢给许多事物以对数指数作为高低排名。如果读者希望了解朗道天才指数（Landau's rank），那么理解对数的含义自然是必不可少的。

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
=== 定义 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">如果<math>a \quad (a > 0, a \neq 1)</math>的b次幂等于N，即<math>a^b = N</math>，那么数字a就叫做'''以a为底数的N的对数'''（'''the logarithm of N to base a'''）或'''正实数N关于基底a的对数'''（'''the logarithm of a positive real number N with respect to base a'''），并记作<math>\log_a N = b</math>，其中a叫做对数的'''底数'''（'''base'''），N叫做'''原始数'''或'''真数'''（'''real number'''）。<ref name="人教社大纲版数学_2003_对数">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section=第2章“函数”第2.7节“对数” |pages=75-79 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>
</font>
</blockquote>

由对数的这个定义可知：
* 符号<math>\log_a N</math>表示有多少个a连续相乘会等于N，或者说a的多少次幂会等于N。
* 没有以零或以负数为真数N的对数，或者说它们不能作为合法的真数，对它们无法施加取对数值的运算。因为高中学习的是实变量的函数，由<math>a > 0, b \in \mathbb{R}</math>可知一定有<math>a^b > 0</math>，所以在实数范围并不存在使得真数取零或取负数值的情形。<ref name="人教社大纲版数学_2003_对数" />
* <math>\log_a 1 = 0, \log_a a = 1 \quad (a > 0, a \neq 1)</math><ref name="人教社大纲版数学_2003_对数" />

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提示：(1)符号“<math>log</math>”是对数原名“logarithm”的缩写，后来[[w:约翰内斯·开普勒|约翰内斯·开普勒]]将其简化为“log”。“logarithm”是个拉丁文合成词，是希腊文“lógos”（比例）和“arithmós”（算术）的合称，意为一种与比例有关的算术。(2)符号“<math>ln</math>”是拉丁文“logarithmus naturalis”（自然对数）的首字母缩写词。古代欧洲的学者们普遍喜欢用拉丁文进行学术交流，将学问高尚化、精英化、提高其门槛，隔绝了许多底层群众接触学术知识的可能性。(3)因为在计算器和计算机发明以前，使用对数进行近似计算时需要查表对照数值，所以它的中文名就被叫做“对数”。(4)“对数”的值曾经被翻译为“假数”，即“真数”相对应的数。

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提示：(1)习惯上<math>\log_a b + c</math>是指<math>(\log_a b) + c</math>，而不是指<math>\log_a (b + c)</math>。(2)习惯上<math>\log_a b^2</math>是指<math>\log_a (b^2)</math>，而不是指<math>(\log_a b)^2</math>。

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注意：对数的底数取值范围是<math>(0, 1) \cup (1, + \infty)</math>，解题时不要忘记。

此外，还需要记住2个特殊的对数简记符号<ref name="人教社大纲版数学_2003_对数" />：
* 通常将以10为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便，N的常用对数<math>\log_{10} N</math>简记作<math>\lg N</math>。
* 通常将以特殊无理数<math>e = 2.71828...</math>为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便，N的常用对数<math>\log_e N</math>简记作<math>\ln N</math>。

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提示：自然对数的底数[[w:e (数学常数)|e]]是微积分学中的重要常数，但是在高中阶段只是一个打酱油的存在。除了有关[[高中数学/函数与三角/高等数学知识初步/一阶导数与常用求导公式|导数]]的章节，我们在整个高中课程中并不会过多提及它。如果您立志读完高中就去长期[[w:打工|打工]]，那么可以不必担心还需要学习有关它的更多信息。

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
把下列各题的指数式写成对数式：(1) <math>4^x = 16</math>；(2) <math>4^x = 2</math>；(3) <math>3^x = 81</math>；(4) <math>10^x = 25</math>。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
把下列各题的对数式写成指数式：(1) <math>x = \log_5 25</math>；(2) <math>x = \lg 5</math>。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
根据对数的定义，化简下列各式：
:(1) <math>\log_{25} 5</math>；
:(2) <math>\lg \frac{1}{10}</math>；
:(3) <math>\ln e^5</math>；(4) <math>\lg 1</math>。

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：
若<math>\log_2 (\log_3 (\log_4 x)) = 0</math>，求x的值。

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：
若<math>\log_3 2 = x</math>，求<math>3^x + 9^x</math>的值。

=== 运算规律 ===
几个最常用的对数运算律（假定<math>a, c \in (0, 1) \cup (1, + \infty), M > 0, N > 0</math>）：
* 和差关系：<math>\log_a M N = \log_a M + \log_a N</math>，<math>\log_a \frac M N = \log_a M - \log_a N</math>
证明：设<math>M = b^m</math>，<math>N = b^n</math>。<br />
积化和：<math>\begin{align}
\log_a M N &= \log_a b^m b^n = \log_a b^{m+n} = (m+n)\log_a b = m\log_a b + n\log_a b \\
&= \log_a b^m + \log_a b^n = \log_a M + \log_a N
\end{align}</math><br />
商化差：<math>\log_a \frac M N = \log_a M + \log_a \frac 1 N = \log_a M + \log_a N^{-1} = \log_a M - \log_a N</math><br />
证明完毕。

* 基变換（换底公式）：<math>\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}</math>
证明：设 <math>\log_a b = t</math>，所以<math>b = a^t</math>。对两边同时取以<math>c \quad (c \in (0, 1))</math>为底数的对数，则有<math>\log_c b = \log_c a^t</math>。即<math>\log_c b = t \log_c a</math>。又因为<math>\log_a b = t</math>，所以<math>\log_a b = \frac{\log_c b} {\log_c a}</math>。证明完毕。

* 指係（次方公式）：<math>\log_{a^n} b^m = \frac m n \log_a b</math>
证明：<math>\log_{a^n} {b^m} = \frac{\ln b^m} {\ln a^n} = \frac{m\ln b}{n\ln a} = \frac m n \log_a b</math>。证明完毕。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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对数基本运算规律（假定<math>a, c \in (0, 1) \cup (1, + \infty), M > 0, N > 0, b > 0</math>）：
{| class="wikitable"
!名稱
!公式
|-
|和差
|<math>
\log_a M N = \log_a M + \log_a N</math><br />
<math>
\log_a \frac M N = \log_a M - \log_a N</math>
|-
|基变換（换底公式）
|<math>\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}</math>
|-
|指係（次方公式）
|<math>\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b</math>
|-
|还原
|<math>a^{\log_a x} = x = \log_a a^x</math>
|}
</blockquote>

<!-- 本小节例题1 -->
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相关例题1：
计算下列各式：
:(1) <math>\log_a 2 + \log_a \frac 1 2</math>；
:(2) <math>\log_3 18 - \log_3 2</math>；
:(3) <math>\lg \frac 1 4 - \lg 25</math>；
:(4) <math>2 \log_5 10 + \log_5 0.25</math>；
:(5) <math>2 \log_5 25 + 3 \log_2 64</math>；
:(6) <math>\log_2 (\log_2 16)</math>。

<!-- 本小节例题2 -->
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相关例题2：
用<math>\log_a x</math>、<math>\log_a y</math>、<math>\log_a z</math>、<math>\log_a (x+y)</math>、<math>\log_a (x-y)</math>表示下列各式：
:(1) <math>\log_a \frac{\sqrt[3]{x}}{y^2 z}</math>；
:(2) <math>\log_a (x \sqrt[4]{\frac{z^3}{y^2}})</math>；
:(3) <math>\log_a (x y^{\frac 1 2} z^{- \frac 2 3})</math>；
:(4) <math>\log_a \frac{xy}{x^2 - y^2}</math>；
:(5) <math>\log_a (\frac{x+y}{x-y} \times y)</math>；
:(6) <math>\log_a (\frac{y}{x(x-y)})^3</math>。

<!-- 本小节例题3 -->
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相关例题3：
计算下列各式：
:(1) <math>e^{\ln 3} + \log_{\sqrt{5}} 25</math>；
:(2) <math>2^{\ln e + \lg 1} + 3^{\log_3 2} + 3^{\log_3 4 - \lg 10} + 2^{\ln 1}</math>；
:(3) <math>2 \log_3 2 - \log_3 \frac{32}{9} + \log_3 8 - 25^{\log_5 3}</math>；
:(4) <math>(\log_2 5 + \log_4 0.2) \times (\log_5 2 - \log_{25} 0.5)</math>；
:(5) <math>\lg 125 + \lg 2 \lg 500 + (\lg 2)^2</math>；
:(6) <math>\frac{(1 - \log_6 3)^2 + \log_6 2 \times \log_6 18}{\log_6 4}</math>。

<!-- 本小节例题3的解答 -->
<div class="collapsible solutions" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答：<br />
 (1) <br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  e^{\ln 3} + \log_{\sqrt{5}} 25
  = 3 + \log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^4 \\
  = 3 + 4 \log_{\sqrt{5}} \sqrt{5} \\
  = 3 + 4 = 7
 \end{array}
 </math><br />
 (2) <br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  2^{\ln e + \lg 1} + 3^{\log_3 2} + 3^{\log_3 4 - \lg 10} + 2^{ln 1} \\
  = 2^{1 + 0} + 2 + \frac{3^{\log_3 4}}{3^{\lg 10}} + 2^0 \\
  = 2 + 2 + \frac{4}{3^1} + 1 \\
  = 5 + \frac 4 3 = \frac{19}{3}
 \end{array}
 </math><br />
 (3) <br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  2 \log_3 2 - \log_3 \frac{32}{9} + \log_3 2^3 - 25^{\log_5 3} \\
  = 2 \log_3 2 - \log_3 \frac{2^5}{3^2} + 3 \log_3 2 - 5^{2 \log_5 3} \\
  = 2 \log_3 2 - (\log_3 2^5 - \log_3 3^2) + 3 \log_3 2 - 5^{\log_5 3^2} \\
  = 2 \log_3 2 - (5 \log_3 2 - 2 \log_3 3) + 3 \log_3 2 - 3^2 \\
  = 2 \log_3 2 - (5 \log_3 2 - 2) + 3 \log_3 2 - 9 \\
  = 2 \log_3 2 - 5 \log_3 2 + 2 + 3 \log_3 2 - 9 \\
  = (2 \log_3 2 - 5 \log_3 2 + 3 \log_3 2) + (2 - 9) \\
  = 0 + (-7) = -7
 \end{array}
 </math><br />
 (4) <br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  (\log_2 5 + \log_{2^2} 0.2) \times (\log_5 2 - \log_{25} 0.5) \\
  = (\log_2 5 + \log_{2^2} 5^{-1}) \times (\log_5 2 - \log_{5^2} 2^{-1}) \\
  = (\log_2 5 + \frac{-1}{2} \log_2 5) \times (\log_5 2 - \frac{-1}{2} \log_5 2) \\
  = (\log_2 5 - \frac 1 2 \log_2 5) \times (\log_5 2 + \frac 1 2 \log_5 2) \\
  = \frac 1 2 \log_2 5 \times \frac 3 2 \log_5 2 \\
  = (\frac 1 2 \cdot \frac 3 2) \cdot (\log_2 5 \log_5 2) \\
  = \frac 3 4 \cdot 1 = \frac 3 4
 \end{array}
 </math><br />
 (5) <br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  \lg 125 + \lg 2 \lg 500 + (\lg 2)^2 \\
  = \lg (5^3) + \lg 2 \lg (5 \times 10^2) + (\lg 2)^2 \\
  = 3 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + \lg 10^2) + (\lg 2)^2 \\
  = 3 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + 2 \lg 10) + (\lg 2)^2 \\
  = 3 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + 2) + (\lg 2)^2 \\
  = 3 \lg 5 + (\lg 2 \lg 5 + 2 \lg 2) + (\lg 2)^2 \\
  = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + (\lg 2 \lg 5 + (\lg 2)^2) \\
  = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + (\lg 5 + \lg 2) \lg 2 \\
  = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + \lg (5 \times 2) \lg 2 \\
  = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + \lg 10 \lg 2 \\
  = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + \lg 2 \\
  = 3 (\lg 5 + \lg 2) \\
  = 3 \lg (5 \times 2) \\
  = 3 \lg 10 = 3
 \end{array}
 </math><br />
 (6) <br />
 <math>
 \begin{array}{l}
  \frac{(1 - \log_6 3)^2 + \log_6 2 \times \log_6 18}{\log_6 4} \\
  = \frac{(1 - \log_6 3)^2 + \log_6 2 \times \log_6 (2 \times 3^2)}{\log_6 2^2} \\
  = \frac{(1 - \log_6 3)^2 + \log_6 2 \times (\log_6 2 + \log_6 3^2)}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{(1 - \log_6 3)^2 + \log_6 2 \times (\log_6 2 + 2 \log_6 3)}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{(1 - \log_6 3)^2 + (\log_6 2)^2 + 2 \log_6 2 \log_6 3}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - 2 \log_6 3 + (\log_6 3)^2 + (\log_6 2)^2 + 2 \log_6 2 \log_6 3}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - 2 \log_6 3 + ((\log_6 3)^2 + (\log_6 2)^2 + 2 \log_6 2 \log_6 3)}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - 2 \log_6 3 + (\log_6 3 + \log_6 2)^2}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - 2 \log_6 3 + (\log_6 (3 \times 2))^2}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - 2 \log_6 3 + (\log_6 6)^2}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - 2 \log_6 3 + 1^2}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{2(1 - \log_6 3)}{2 \log_6 2} \\
  = \frac{1 - \log_6 3}{\log_6 2} \\
  = \frac{1}{\log_6 2} - \frac{\log_6 3}{\log_6 2} \\
  = \log_2 6 - \log_2 3 \\
  = \log_2 \frac{6}{3} \\
  = \log_2 2 = 1 \\
 \end{array}
 </math>
 </p>
</div>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：(1)<math>7</math>；(2)<math>\frac{19}{3}</math>；(3)<math>3</math>；(4)<math>-7</math>；(5)<math>\frac 3 4</math>；(6)<math>1</math>。</p>
</div>

<!-- 本小节例题4 -->
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相关例题4：
求证对数互換律：<math>M^{\log_a N} = N^{\log_a M}</math>。

<!-- 本小节例题4的解答 -->
<div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考证明：对等式两边同时取对数可得：<br />
 <math>\log_a M^{\log_a N} = \log_a N^{\log_a M} \quad \Leftrightarrow \quad \log_a N \log_a M = \log_a M \log_a N</math><br />
 最后一个式子显然成立，证明完毕。
 </p>
</div>

<!-- 本小节例题5 -->
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相关例题5：
求证对数倒数关系：<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math>。

<!-- 本小节例题5的解答 -->
<div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考证明：<math>\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \dfrac{1}{\dfrac{\ln a}{\ln b}} = \frac{1}{\log_b a}</math>。
 </p>
</div>

<!-- 本小节例题6 -->
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相关例题6：
求证对数链式关系：<math>\log_a b \log_b c = \log_a c</math>。

<!-- 本小节例题6的解答 -->
<div class="collapsible proof" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考证明：<math>\log_a b \log_b c = \frac{\ln c}{\ln b} \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\ln c}{\ln a} = \log_a c</math>。
 </p>
</div>

<!-- 本小节例题7 -->
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相关例题7：已知函数<math>f(x) = \frac{1}{1+3^x}</math>，求<math>f(\lg 3) + f(\lg \frac 1 3)</math>。

<!-- 本小节例题8 -->
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相关例题8：设<math>2^a = 5^b = m</math>，且<math>\frac 1 a + \frac 1 b = 2</math>，求m的值。

<!-- 本小节例题9 -->
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相关例题9：已知x、y、z都是大于1的数，<math>m > 0, \log_x m = 24, \log_y m = 40, \log_{xyz} m = 12</math>，求<math>\log_z m</math>的值。

<!-- 本小节例题10 -->
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相关例题10：已知<math>3^x = 4^y = 6</math>，求<math>\frac 2 x + \frac 1 y</math>的值。

<!-- 本小节例题11 -->
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相关例题11：
已知实数a和b满足<math>\log_a b - 3 \log_b a = 2, a^a = b^b</math>，求<math>a + b</math>的值。

<!-- 本小节例题11的解答 -->
<div class="collapsible hints" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>提示：解答本题需要先求出a和b的值。可以利用对数的倒数关系<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math>先求出<math>\log_a b</math>的值，再带入另一个已知条件<math>a^a = b^b</math>中求值；也可以先利用换底公式、两边同时对数等技巧分别对2个已知式子变形，再求出a与b的关系，然后再求出二者之一。</p>
</div>
<div class="collapsible solution" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答：<br />
 首先，对<math>a^a = b^b</math>的两边同时取对数可得<math>a \ln a = b \ln b</math>。<br />
 其次，<math>\log_a b - 3 \log_b a = 2</math>等价于<math>\frac{\ln b}{\ln a} - \frac{3 \ln a}{\ln b} = 2</math>。<br />
 将<math>a \ln a = b \ln b</math>带入上式可得：<br />
 <math>\frac{a}{b} - \frac{3b}{a} = 2 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 3b^2 = 2ab \quad \Rightarrow \quad a^2 - 2ab + b^2 - 4b^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (a - b)^2 = 4b^2 \quad \Rightarrow \quad a - b = \pm 2b</math><br />
 因为<math>a, b > 0</math>，所以不可能出现正数b减去另一个正数a之后等于自己的2倍大小的情形。所以上式的唯一可能性为<math>a - b = 2b</math>，解得<math>a = 3b</math>。<br />
 再将a与b的这个比例关系带入<math>a \ln a = b \ln b</math>可得：<br />
 <math>3b \ln (3b) = b \ln b \quad \Rightarrow \quad (3b)^3 = b \quad \Rightarrow \quad b = \frac{\sqrt{3}}{9}</math><br />
 得到b的值后，可求得<math>a = 3b = \frac{\sqrt{3}}{9}</math>。故<math>a + b = \frac{4 \sqrt{3}}{9}</math>。
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：<math>\frac{4 \sqrt{3}}{9}</math>。</p>
</div>

<!-- 本小节例题12 -->
[[File: Crystal Clear action edit.png | Crystal Clear action edit | 50px]]
相关例题12：已知<math>\log_a 3 = m, \log_a 2 = n \quad (a > 0, a \neq 1)</math>。
:(1) 求<math>a^{m+2n}</math>的值。
:(2) 若<math>0 < x < 1, x + x^{-1} = a, m + n = \log_3 2 + 1</math>，求<math>x^2 + x^{-2}</math>的值。

<!-- 本小节例题12的解答 -->
<div class="collapsible hints" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>提示：解答第2问时需要利用恒等式<math>x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac 1 x)^2 - 2</math>。</p>
</div>
<div class="collapsible solutions" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答：<br />
 (1)由<math>log_a 3 = m</math>可知<math>a^m = 3</math>，由<math>\log_a 2 = n</math>可知<math>a^n = 2</math>。<br />
 故<math>a^{m+2n} = a^m a^{2n} = a^m (a^n)^2 = 3 \times (2)^2 = 12</math>。<br />
 (2)<math>m + n = \log_3 2 + 1 \quad \Rightarrow \quad \log_a 3 + \log_a 2 = \log_3 2 + \log_3 3 \quad \Rightarrow \quad \log_a (3 \times 2) = \log_3 (3 \times 2) \quad \Rightarrow \quad a = 3</math><br />
 从而<math>x + \frac 1 x = a = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac 1 x)^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7</math>
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：(1)12；(2)7。</p>
</div>

=== 对数的原始定义 ===
{{expand |time=2020-11-11}}
对数最初是使用几何方式定义的。<ref>{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (必修) |volume=第1册 (上) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-16755-3 |section=第2章“函数”第2.7节“对数”中的“阅读材料”部分 |pages=80-81 |language=zh-cn |year=2003}}</ref>

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
* 已知a、b、c是三角形ABC的3条边，且关于x的二次方程<math>x^2 - 2x + \lg (c^2 - b^2) - 2 \lg a + 1 = 0</math>有2个相等的实数根，则此三角形的形状是(&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;)。<br />
:A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形

* 计算<math>(\lg 2)^2 + \lg 5 \times \lg 20 - 1</math>。
<div class="collapsible solution" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243);">
 <p>参考解答：<br />
 <math>
 \begin{align}
  &(\lg 2)^2 + \lg 5 \times \lg 20 - 1 \\
  & = (\lg 2)^2 + \lg 5 \times \lg (4 \times 5) - 1 \\
  & = (\lg 2)^2 + \lg 5 \times (\lg 4 + \lg 5) - 1 \\
  & = (\lg 2)^2 + \lg 4 \times \lg 5 + (\lg 5)^2 - 1 \\
  & = (\lg 2)^2 + \lg 2^2 \times \lg 5 + (\lg 5)^2 - 1 \\
  & = (\lg 2)^2 + 2 \lg 2 \times \lg 5 + (\lg 5)^2 - 1 \\
  & = (\lg 2 + \lg 5)^2 - 1 = (\lg (2 \times 5))^2 - 1 \\
  & = (\lg 10)^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0
 \end{align}
 </math>
 </p>
</div>
<div class="collapsible finalAnswer" style="clear both; border: thin solid rgb(167, 215, 249); background-color: rgb(243, 243, 243); color: red;">
 <p>答案：0。</p>
</div>

* 已知[[w:里氏地震規模|里氏地震等级]]R与地震波释放的能量E的关系为<math>R = \frac 2 3 (\lg E - 11.4)</math>，求9级地震释放的能量是8级地震的释放能量的多少倍？

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|对数}}

{{DEFAULTSORT: logarithm}}
[[Category:数学运算]]
[[Category:高中数学]]