高中数学/函数与三角/对数的概念与运算

阅读指南

据说物理学家伽利略·伽利莱曾说过一句不负责任的话：“给我时间、空间和对数，我可以创造一个宇宙。”很难想象如果他成为了造物主，会不会胡乱创造出很多宇宙。

对数产生于对大数乘除法结果的快速估算，可以将乘除法化为加减法进行估算。例如计算2个很大的数a和b的近似乘积，可以先通过专门的对数表查出它们各自对应的对数值 $\log (a)$ 和 $\log (b)$ ，将它们直接相加后，再从表中查询与相加结果对应的数即可。对数表一般是按对数运算特点提前制作好的对照表，后来还流行过更方便的计算尺。著名的原子物理学家恩里科·费米就是习惯使用计算尺。时至今日，不管是在考试还是在实际应用中，对数的主要用途仍然是在代数运算中化乘除运算为加减运算，或是为了方便比较将很大的数压缩为一个很小的数。地震学中里氏地震规模、化学中酸碱度、计算机学中算法复杂度，甚至是音乐理论中简化地表达某些音程差的数量关系（例如十二平均律）时都有用到对数运算后的结果作为数值大小的衡量尺度。

提示：考试时能否携带计算尺请参考考试相关规定。当然，前提是这种古董在文具店里还能够买到。

对数在16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉正式发明。对数最初是从几何角度定义的，虽然能简化大数运算，但是其代数特性不是很明显。后来，聪明的莱昂哈德·欧拉发现对数实际上就是指数的反运算，完全可以将指数的运算与对数的运算放在一起类比地学习，因此他建议直接通过指数来定义对数。

预备知识

本节公式特别多。本章的习题也会默认读者已经熟悉初中/国中阶段的指数运算的知识。如果之前完全没有接触过对数的概念，有时可能会无从下笔或记混公式。多找题练手，方能修得正果。

考试要求

在整个高中阶段，需要一口气熟练掌握大量公式的地方只有本章节、三角恒等变换和导数公式这3个章节。

后续课程联系

玩笑：苏联物理学家列夫·朗道喜欢给许多事物以对数指数作为高低排名。如果读者希望了解朗道天才指数（Landau's rank），那么理解对数的含义自然是必不可少的。

基础知识

知识引入

定义

如果 $a (a > 0, a \neq 1)$ 的b次幂等于N，即 $a^{b} = N$ ，那么数字a就叫做以a为底数的N的对数（the logarithm of N to base a）或正实数N关于基底a的对数（the logarithm of a positive real number N with respect to base a），并记作 $\log_{a} N = b$ ，其中a叫做对数的底数（base），N叫做原始数或真数（real number）。^[1]

由对数的这个定义可知：

符号 $\log_{a} N$ 表示有多少个a连续相乘会等于N，或者说a的多少次幂会等于N。
没有以零或以负数为真数N的对数，或者说它们不能作为合法的真数，对它们无法施加取对数值的运算。因为高中学习的是实变量的函数，由 $a > 0, b \in ℝ$ 可知一定有 $a^{b} > 0$ ，所以在实数范围并不存在使得真数取零或取负数值的情形。^[1]
$\log_{a} 1 = 0, \log_{a} a = 1 (a > 0, a \neq 1)$ ^[1]

提示：(1)符号“ $l o g$ ”是对数原名“logarithm”的缩写，后来约翰内斯·开普勒将其简化为“log”。“logarithm”是个拉丁文合成词，是希腊文“lógos”（比例）和“arithmós”（算术）的合称，意为一种与比例有关的算术。(2)符号“ $l n$ ”是拉丁文“logarithmus naturalis”（自然对数）的首字母缩写词。古代欧洲的学者们普遍喜欢用拉丁文进行学术交流，将学问高尚化、精英化、提高其门槛，隔绝了许多底层群众接触学术知识的可能性。(3)因为在计算器和计算机发明以前，使用对数进行近似计算时需要查表对照数值，所以它的中文名就被叫做“对数”。(4)“对数”的值曾经被翻译为“假数”，即“真数”相对应的数。

提示：(1)习惯上 $\log_{a} b + c$ 是指 $(\log_{a} b) + c$ ，而不是指 $\log_{a} (b + c)$ 。(2)习惯上 $\log_{a} b^{2}$ 是指 $\log_{a} (b^{2})$ ，而不是指 $(\log_{a} b)^{2}$ 。

注意：对数的底数取值范围是 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ ，解题时不要忘记。

此外，还需要记住2个特殊的对数简记符号^[1]：

通常将以10为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便，N的常用对数 $\log_{10} N$ 简记作 $\lg N$ 。
通常将以特殊无理数 $e = 2.71828 . . .$ 为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便，N的常用对数 $\log_{e} N$ 简记作 $\ln N$ 。

提示：自然对数的底数e是微积分学中的重要常数，但是在高中阶段只是一个打酱油的存在。除了有关导数的章节，我们在整个高中课程中并不会过多提及它。如果您立志读完高中就去长期打工，那么可以不必担心还需要学习有关它的更多信息。

相关例题1：把下列各题的指数式写成对数式：(1) $4^{x} = 16$ ；(2) $4^{x} = 2$ ；(3) $3^{x} = 81$ ；(4) $1 0^{x} = 25$ 。

相关例题2：把下列各题的对数式写成指数式：(1) $x = \log_{5} 25$ ；(2) $x = \lg 5$ 。

相关例题3：根据对数的定义，化简下列各式：

(1)

\log_{25} 5

；

(2)

\lg \frac{1}{10}

；

(3)

\ln e^{5}

；(4)

\lg 1

。

相关例题4：若 $\log_{2} (\log_{3} (\log_{4} x)) = 0$ ，求x的值。

相关例题5：若 $\log_{3} 2 = x$ ，求 $3^{x} + 9^{x}$ 的值。

运算规律

几个最常用的对数运算律（假定 $a, c \in (0, 1) \cup (1, + \infty), M > 0, N > 0$ ）：

和差关系： $\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$ ， $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

证明：设 $M = b^{m}$ ， $N = b^{n}$ 。
积化和： $\begin{matrix} \log_{a} M N & = \log_{a} b^{m} b^{n} = \log_{a} b^{m + n} = (m + n) \log_{a} b = m \log_{a} b + n \log_{a} b \\ = \log_{a} b^{m} + \log_{a} b^{n} = \log_{a} M + \log_{a} N \end{matrix}$
商化差： $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M + \log_{a} \frac{1}{N} = \log_{a} M + \log_{a} N^{- 1} = \log_{a} M - \log_{a} N$
证明完毕。

基变換（换底公式）： $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

证明：设 $\log_{a} b = t$ ，所以 $b = a^{t}$ 。对两边同时取以 $c (c \in (0, 1))$ 为底数的对数，则有 $\log_{c} b = \log_{c} a^{t}$ 。即 $\log_{c} b = t \log_{c} a$ 。又因为 $\log_{a} b = t$ ，所以 $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ 。证明完毕。

指係（次方公式）： $\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b$

证明： $\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{\ln b^{m}}{\ln a^{n}} = \frac{m \ln b}{n \ln a} = \frac{m}{n} \log_{a} b$ 。证明完毕。

对数基本运算规律（假定 $a, c \in (0, 1) \cup (1, + \infty), M > 0, N > 0, b > 0$ ）：

名稱公式

和差 $\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$

$\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

基变換（换底公式） $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

指係（次方公式） $\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b$

还原 $a^{\log_{a} x} = x = \log_{a} a^{x}$

相关例题3：计算下列各式：

(1)

e^{\ln 3} + \log_{\sqrt{5}} 25

；

(2)

2^{\ln e + \lg 1} + 3^{\log_{3} 2} + 3^{\log_{3} 4 - \lg 10} + 2^{\ln 1}

；

(3)

2 \log_{3} 2 - \log_{3} \frac{32}{9} + \log_{3} 8 - 2 5^{\log_{5} 3}

；

(4)

(\log_{2} 5 + \log_{4} 0.2) \times (\log_{5} 2 - \log_{25} 0.5)

；

(5)

\lg 125 + \lg 2 \lg 500 + (\lg 2)^{2}

；

(6)

\frac{(1 - \log_{6} 3)^{2} + \log_{6} 2 \times \log_{6} 18}{\log_{6} 4}

。

参考解答：
(1)
$\begin{matrix} e^{\ln 3} + \log_{\sqrt{5}} 25 = 3 + \log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^{4} \\ = 3 + 4 \log_{\sqrt{5}} \sqrt{5} \\ = 3 + 4 = 7 \end{matrix}$
(2)
$\begin{matrix} 2^{\ln e + \lg 1} + 3^{\log_{3} 2} + 3^{\log_{3} 4 - \lg 10} + 2^{l n 1} \\ = 2^{1 + 0} + 2 + \frac{3^{\log_{3} 4}}{3^{\lg 10}} + 2^{0} \\ = 2 + 2 + \frac{4}{3^{1}} + 1 \\ = 5 + \frac{4}{3} = \frac{19}{3} \end{matrix}$
(3)
$\begin{matrix} 2 \log_{3} 2 - \log_{3} \frac{32}{9} + \log_{3} 2^{3} - 2 5^{\log_{5} 3} \\ = 2 \log_{3} 2 - \log_{3} \frac{2^{5}}{3^{2}} + 3 \log_{3} 2 - 5^{2 \log_{5} 3} \\ = 2 \log_{3} 2 - (\log_{3} 2^{5} - \log_{3} 3^{2}) + 3 \log_{3} 2 - 5^{\log_{5} 3^{2}} \\ = 2 \log_{3} 2 - (5 \log_{3} 2 - 2 \log_{3} 3) + 3 \log_{3} 2 - 3^{2} \\ = 2 \log_{3} 2 - (5 \log_{3} 2 - 2) + 3 \log_{3} 2 - 9 \\ = 2 \log_{3} 2 - 5 \log_{3} 2 + 2 + 3 \log_{3} 2 - 9 \\ = (2 \log_{3} 2 - 5 \log_{3} 2 + 3 \log_{3} 2) + (2 - 9) \\ = 0 + (- 7) = - 7 \end{matrix}$
(4)
$\begin{matrix} (\log_{2} 5 + \log_{2^{2}} 0.2) \times (\log_{5} 2 - \log_{25} 0.5) \\ = (\log_{2} 5 + \log_{2^{2}} 5^{- 1}) \times (\log_{5} 2 - \log_{5^{2}} 2^{- 1}) \\ = (\log_{2} 5 + \frac{- 1}{2} \log_{2} 5) \times (\log_{5} 2 - \frac{- 1}{2} \log_{5} 2) \\ = (\log_{2} 5 - \frac{1}{2} \log_{2} 5) \times (\log_{5} 2 + \frac{1}{2} \log_{5} 2) \\ = \frac{1}{2} \log_{2} 5 \times \frac{3}{2} \log_{5} 2 \\ = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (\log_{2} 5 \log_{5} 2) \\ = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} \end{matrix}$
(5)
$\begin{matrix} \lg 125 + \lg 2 \lg 500 + (\lg 2)^{2} \\ = \lg (5^{3}) + \lg 2 \lg (5 \times 1 0^{2}) + (\lg 2)^{2} \\ = 3 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + \lg 1 0^{2}) + (\lg 2)^{2} \\ = 3 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + 2 \lg 10) + (\lg 2)^{2} \\ = 3 \lg 5 + \lg 2 (\lg 5 + 2) + (\lg 2)^{2} \\ = 3 \lg 5 + (\lg 2 \lg 5 + 2 \lg 2) + (\lg 2)^{2} \\ = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + (\lg 2 \lg 5 + (\lg 2)^{2}) \\ = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + (\lg 5 + \lg 2) \lg 2 \\ = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + \lg (5 \times 2) \lg 2 \\ = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + \lg 10 \lg 2 \\ = 3 \lg 5 + 2 \lg 2 + \lg 2 \\ = 3 (\lg 5 + \lg 2) \\ = 3 \lg (5 \times 2) \\ = 3 \lg 10 = 3 \end{matrix}$
(6)
$\begin{matrix} \frac{(1 - \log_{6} 3)^{2} + \log_{6} 2 \times \log_{6} 18}{\log_{6} 4} \\ = \frac{(1 - \log_{6} 3)^{2} + \log_{6} 2 \times \log_{6} (2 \times 3^{2})}{\log_{6} 2^{2}} \\ = \frac{(1 - \log_{6} 3)^{2} + \log_{6} 2 \times (\log_{6} 2 + \log_{6} 3^{2})}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{(1 - \log_{6} 3)^{2} + \log_{6} 2 \times (\log_{6} 2 + 2 \log_{6} 3)}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{(1 - \log_{6} 3)^{2} + (\log_{6} 2)^{2} + 2 \log_{6} 2 \log_{6} 3}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - 2 \log_{6} 3 + (\log_{6} 3)^{2} + (\log_{6} 2)^{2} + 2 \log_{6} 2 \log_{6} 3}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - 2 \log_{6} 3 + ((\log_{6} 3)^{2} + (\log_{6} 2)^{2} + 2 \log_{6} 2 \log_{6} 3)}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - 2 \log_{6} 3 + (\log_{6} 3 + \log_{6} 2)^{2}}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - 2 \log_{6} 3 + (\log_{6} (3 \times 2))^{2}}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - 2 \log_{6} 3 + (\log_{6} 6)^{2}}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - 2 \log_{6} 3 + 1^{2}}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{2 (1 - \log_{6} 3)}{2 \log_{6} 2} \\ = \frac{1 - \log_{6} 3}{\log_{6} 2} \\ = \frac{1}{\log_{6} 2} - \frac{\log_{6} 3}{\log_{6} 2} \\ = \log_{2} 6 - \log_{2} 3 \\ = \log_{2} \frac{6}{3} \\ = \log_{2} 2 = 1 \end{matrix}$

答案：(1) $7$ ；(2) $\frac{19}{3}$ ；(3) $3$ ；(4) $- 7$ ；(5) $\frac{3}{4}$ ；(6) $1$ 。

相关例题4：求证对数互換律： $M^{\log_{a} N} = N^{\log_{a} M}$ 。

参考证明：对等式两边同时取对数可得：
$\log_{a} M^{\log_{a} N} = \log_{a} N^{\log_{a} M} \Leftrightarrow \log_{a} N \log_{a} M = \log_{a} M \log_{a} N$
最后一个式子显然成立，证明完毕。

相关例题5：求证对数倒数关系： $\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ 。

参考证明： $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{1}{\frac{\ln a}{\ln b}} = \frac{1}{\log_{b} a}$ 。

相关例题6：求证对数链式关系： $\log_{a} b \log_{b} c = \log_{a} c$ 。

参考证明： $\log_{a} b \log_{b} c = \frac{\ln c}{\ln b} \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\ln c}{\ln a} = \log_{a} c$ 。

相关例题7：已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 3^{x}}$ ，求 $f (\lg 3) + f (\lg \frac{1}{3})$ 。

相关例题8：设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，求m的值。

相关例题9：已知x、y、z都是大于1的数， $m > 0, \log_{x} m = 24, \log_{y} m = 40, \log_{x y z} m = 12$ ，求 $\log_{z} m$ 的值。

相关例题10：已知 $3^{x} = 4^{y} = 6$ ，求 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的值。

相关例题11：已知实数a和b满足 $\log_{a} b - 3 \log_{b} a = 2, a^{a} = b^{b}$ ，求 $a + b$ 的值。

提示：解答本题需要先求出a和b的值。可以利用对数的倒数关系 $\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$ 先求出 $\log_{a} b$ 的值，再带入另一个已知条件 $a^{a} = b^{b}$ 中求值；也可以先利用换底公式、两边同时对数等技巧分别对2个已知式子变形，再求出a与b的关系，然后再求出二者之一。

参考解答：
首先，对 $a^{a} = b^{b}$ 的两边同时取对数可得 $a \ln a = b \ln b$ 。
其次， $\log_{a} b - 3 \log_{b} a = 2$ 等价于 $\frac{\ln b}{\ln a} - \frac{3 \ln a}{\ln b} = 2$ 。
将 $a \ln a = b \ln b$ 带入上式可得：
$\frac{a}{b} - \frac{3 b}{a} = 2 \Rightarrow a^{2} - 3 b^{2} = 2 a b \Rightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} - 4 b^{2} = 0 \Rightarrow (a - b)^{2} = 4 b^{2} \Rightarrow a - b = \pm 2 b$
因为 $a, b > 0$ ，所以不可能出现正数b减去另一个正数a之后等于自己的2倍大小的情形。所以上式的唯一可能性为 $a - b = 2 b$ ，解得 $a = 3 b$ 。
再将a与b的这个比例关系带入 $a \ln a = b \ln b$ 可得：
$3 b \ln (3 b) = b \ln b \Rightarrow (3 b)^{3} = b \Rightarrow b = \frac{\sqrt{3}}{9}$
得到b的值后，可求得 $a = 3 b = \frac{\sqrt{3}}{9}$ 。故 $a + b = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$ 。

答案： $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ 。

相关例题12：已知 $\log_{a} 3 = m, \log_{a} 2 = n (a > 0, a \neq 1)$ 。

(1) 求

a^{m + 2 n}

的值。

(2) 若

0 < x < 1, x + x^{- 1} = a, m + n = \log_{3} 2 + 1

，求

x^{2} + x^{- 2}

的值。

提示：解答第2问时需要利用恒等式 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$ 。

参考解答：
(1)由 $l o g_{a} 3 = m$ 可知 $a^{m} = 3$ ，由 $\log_{a} 2 = n$ 可知 $a^{n} = 2$ 。
故 $a^{m + 2 n} = a^{m} a^{2 n} = a^{m} (a^{n})^{2} = 3 \times (2)^{2} = 12$ 。
(2) $m + n = \log_{3} 2 + 1 \Rightarrow \log_{a} 3 + \log_{a} 2 = \log_{3} 2 + \log_{3} 3 \Rightarrow \log_{a} (3 \times 2) = \log_{3} (3 \times 2) \Rightarrow a = 3$
从而 $x + \frac{1}{x} = a = 3 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$

答案：(1)12；(2)7。

对数的原始定义

Template:Expand 对数最初是使用几何方式定义的。^[2]

补充习题

已知a、b、c是三角形ABC的3条边，且关于x的二次方程 $x^{2} - 2 x + \lg (c^{2} - b^{2}) - 2 \lg a + 1 = 0$ 有2个相等的实数根，则此三角形的形状是( )。

A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形

计算 $(\lg 2)^{2} + \lg 5 \times \lg 20 - 1$ 。

参考解答：
$\begin{matrix} (\lg 2)^{2} + \lg 5 \times \lg 20 - 1 \\ = (\lg 2)^{2} + \lg 5 \times \lg (4 \times 5) - 1 \\ = (\lg 2)^{2} + \lg 5 \times (\lg 4 + \lg 5) - 1 \\ = (\lg 2)^{2} + \lg 4 \times \lg 5 + (\lg 5)^{2} - 1 \\ = (\lg 2)^{2} + \lg 2^{2} \times \lg 5 + (\lg 5)^{2} - 1 \\ = (\lg 2)^{2} + 2 \lg 2 \times \lg 5 + (\lg 5)^{2} - 1 \\ = (\lg 2 + \lg 5)^{2} - 1 = (\lg (2 \times 5))^{2} - 1 \\ = (\lg 10)^{2} - 1 = 1^{2} - 1 = 0 \end{matrix}$

答案：0。

已知里氏地震等级R与地震波释放的能量E的关系为 $R = \frac{2}{3} (\lg E - 11.4)$ ，求9级地震释放的能量是8级地震的释放能量的多少倍？

参考资料

Template:Reflist

外部链接

Template:Wikipedia

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Template:Cite book
↑ Template:Cite book

[人教社大纲版数学_2003_对数-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Template:Cite book

[2] Template:Cite book

[1]

[2]

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和差	$\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$ $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$
基变換（换底公式）	$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$
指係（次方公式）	$\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b$
还原	$a^{\log_{a} x} = x = \log_{a} a^{x}$

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