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== 阅读指南 ==
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希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

极限理论本来是独立的数学分支，由它产生出了微分学和积分学2个重要数学分支。后来微积分基本定理诞生后，微分和积分之间的内在联系被打通，极限、微分、积分这些理论从此都成为微积分学的一部分。

在高中教科书中，函数的极限有两种引入方法。在难度较浅的高中课本中，一般是通过实际问题举例和直观联想，直接引入函数的极限。而中等及以上难度的高中教材一般会先讲数列的极限，然后再过渡到函数的极限。例如中国大陆人民教育出版社2004年版的《高中数学》第3册选修Ⅰ（针对文史艺体学生）就是直接介绍和使用导数<ref>{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (选修) |volume=第3册 (选修1) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn= |section=第2章“导数”第2.1节“导数的背景”和第2.2节“导数的概念” |pages=30-35 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>；而对应的第3册选修Ⅱ（针对理工学生）则是先讲数列的极限，然后再过渡到函数的极限<ref name="人教社大纲版数学_2004_数列的极限">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (选修) |volume=第3册 (选修2) |publisher=[[w:人民教育出版社|人民教育出版社]] |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17448-7 |section=第2章“极限”第2部分“极限”第2.2节“数列的极限” |pages=73-76 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>。为突出微积分的应用价值，我们选择将数列的极限划入单独的章节以供选学（参见[[高中数学/不等式与数列/数列的极限|数列的极限]]），而把函数的极限作为主干知识尽早地直接引入。当然，对于有需要的读者，也可以先看阅读数列的极限知识，再阅读本节内容。

对于极限定义的严格性方面，我们在本节没有使用严格化的<math>\epsilon-\delta</math>语言（(ε, δ)-definition of limit）来定义和验证极限。主要原因还是由于这一套语言并不直观易懂，对于初学者（特别是对于文史艺体类的学生）来说，学习的难度大，而在解决实际问题中发挥的用途少，高中阶段的考试也不会考，所以学习性价比有限。学习严密的数学体系并不满足未来走上社会的每一个人的实际需要，大多数人能学习到数学中有用、够用的部分也就足够了。高中阶段教授微积分的主要原因只是培养对微积分的直观认识，了解它能干什么、适合解决什么问题，将其作为衔接中学和大学的预科课程，减缓后续大学数学课程的学习梯度。对于有更多需求的读者，在后续的大学课程中，也还有的是机会学习更精深的数学理论。此外，早期的微积分也是在还没有出现这套严格定义的情况下，成功得到了许多重要结果。大多数高中数学教科书也是基于类似的理由，以更直观、速成的视角来规定和使用极限。

== 基础知识 ==
=== 知识引入 ===
=== 邻域与函数极限的朴素概念 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">我们称呼数轴上包含点a的一个开区间<math>(a - \delta, a + \delta)</math>为点a的一个半径为<math>\delta</math>的'''邻域'''（'''neighbourhood'''（英式拼写）或'''neighborhood'''（美式拼写）），简称为点a的邻域<ref>{{cite book |title=[[w:微积分学教程|微积分学教程]] |author=[[w:格里高利·菲赫金哥尔茨|Г·М·菲赫金哥尔茨]] |editor1=张小萍 (策划编辑) |editor2=赵天夫 (责任编辑) |others=杨弢亮 (汉译者); 叶彦谦 (汉译者); 郭思旭 (校对者) |publisher=[[w:高等教育出版社|高等教育出版社]] |location=中国北京市西城区德外大街4号 |series=俄罗斯数学教材选译 |edition=3 (原书第8版) |isbn=978-7-04-018303-0 |section=第2章“一元函数”第2节“函数的极限”第52小节“函数的极限的定义” |pages=92 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>。</font>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">当自变量x无限趋近于常数a（但x不等于a）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A，我们就称'''当x趋近于a时，函数f(x)的极限（limit）是A'''，并记作“<math>\lim_{x \to a} f(x) = A</math>”或“当<math>x \to a</math>时，<math>f(x) \to A</math>”。此时<math>\lim_{x \to a} f(x)</math>也叫做'''函数f(x)在点x = a处的极限'''。<ref name="人教社大纲版数学_2004_函数的极限">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (选修) |volume=第3册 (选修2) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17448-7 |section=第2章“极限”第2部分“极限”第2.3节“函数的极限” |pages=73-84 |language=zh-cn |year=2004}}</ref><ref name="小平邦彦_1979_函数的极限">{{cite book |title=数学 |author=[[w:小平邦彦|小平邦彦]] |editor= |others=孙福元 (汉译者); 李素苹 (汉译者); 王铭文 (汉译者) |publisher=吉林人民出版社 |location= |series= |volume=Ⅲ |edition=1 |isbn= |section=第2章“微分法及其应用”第1节“函数的极限”第1小节“函数的极限” |pages=31-38 |language=zh-cn |year=1979}} (统一书号：7091·1059)</ref></font>
</blockquote>

类似地，也可以仿照[[高中数学/不等式与数列/数列的极限|数列极限的定义]]，定义函数在无穷远处的极限。例如当自变量x取正数值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就是当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a，并记作“<math>\lim_{x \to + \infty} f(x) = A</math>”或“当<math>x \to \infty</math>时，<math>f(x) \to A</math>”。同样也可以定义函数在负无穷大处的定义，此处不再赘述。<ref name="人教社大纲版数学_2004_函数的极限" /><ref name="小平邦彦_1979_函数的极限" />

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提示：(1)函数在某点处取得极限值A，也可以叫做函数在该点处'''收敛'''（'''convergent'''）于A。(2)函数值如果在某处趋近于正无穷大，我们就称这个函数'''发散'''（'''divergent'''）于正无穷大；类似地，也有函数发散于负无穷大的说法<ref name="小平邦彦_1979_函数的极限" />。

=== 区间上连续函数的正式定义及其性质 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">
如果函数f(x)在点x = a及其附近有定义，且<math>\lim_{x \to a} f(x) = f(a)</math>，我们就称'''函数f(x)在点a处是连续的'''（''' function f is continuous at the point c'''）。如果函数f(x)在开区间(a, b)内的每一点都是连续的，那么我们就称函数f(x)在(a, b)内是'''连续函数'''（'''continuous function'''），或者说f(x)是开区间(a, b)内的连续函数。<ref  name="人教社大纲版数学_2004_函数的连续性">{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (选修) |volume=第3册 (选修2) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17448-7 |section=第2章“极限”第2部分“极限”第2.5节“函数的连续性” |pages=93-95 |language=zh-cn |year=2004}}</ref><ref name="小平邦彦_1979_函数的连续性">{{cite book |title=数学 |author=小平邦彦 |editor= |others=孙福元 (汉译者); 李素苹 (汉译者); 王铭文 (汉译者) |publisher=吉林人民出版社 |location= |series= |volume=Ⅲ |edition=1 |isbn= |section=第2章“微分法及其应用”第1节“函数的极限”第2小节“函数的连续性” |pages=38-44 |language=zh-cn |year=1979}} (统一书号：7091·1059)</ref>
</font>
</blockquote>

同理，也可以按类似方式定义其它类型区间（闭区间或半开半闭区间等）上的连续函数。

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提示：我们先前还没有为给何为极限下一个严格意义上的定义，所以即使这里给出了函数连续性的严格定义，这个定义对于论证函数的连续性其实也没有什么大的帮助。

由于在高中阶段几乎不会接触到图象奇形怪状的[[w:病态 (数学)|病态函数]]，我们为简明起见，可以把连续函数粗略理解为图象连续的函数<ref name="小平邦彦_1979_函数的连续性" />。无论是从上述文字定义，还是从对图象连续性的直观感觉，都不难理解有下列结论：
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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有关函数连续性的一些基本结论：
* 对于在定义域上连续的函数f(x)有（假定t在f(x)的定义域中）<ref>{{cite book |title=微积分学教程 |author=Г·М·菲赫金哥尔茨 |editor1=张小萍 (策划编辑) |editor2=赵天夫 (责任编辑) |others=杨弢亮 (汉译者); 叶彦谦 (汉译者); 郭思旭 (校对者) |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市西城区德外大街4号 |series=俄罗斯数学教材选译 |edition=3 (原书第8版) |isbn=978-7-04-018303-0 |section=第2章“一元函数”第4节“函数的连续性及间断”第66小节“函数在一点处的连续性的定义” |pages=118 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>：
:<math>\lim_{x \to t} f(x) = f(t)</math>
* 连续函数的复合后仍然是连续函数。特别地，连续函数的和、差、积、商在其新定义域内也是连续函数。<ref name="小平邦彦_1979_函数的连续性" />
* 闭区间上的连续函数一定有最大值点和最小值点<ref  name="人教社大纲版数学_2004_函数的连续性" />。这个结论也叫做'''最大值/最小值定理'''，或'''[[w:卡尔·魏尔施特拉斯|魏尔施特拉斯]]第二定理'''<ref>{{cite book |title=微积分学教程 |author=Г·М·菲赫金哥尔茨 |editor1=张小萍 (策划编辑) |editor2=赵天夫 (责任编辑) |others=杨弢亮 (汉译者); 叶彦谦 (汉译者); 郭思旭 (校对者) |publisher=[[w:高等教育出版社|高等教育出版社]] |location=中国北京市西城区德外大街4号 |series=俄罗斯数学教材选译 |edition=3 (原书第8版) |isbn=978-7-04-018303-0 |section=第2章“一元函数”第5节“连续函数的性质”第52小节“关于函数的有界性的定理” |pages=143-145 |language=zh-cn |year=2006}}</ref>。
</blockquote>

=== 单侧极限 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
<font color="#008000">如果强调函数的自变量只能沿点a邻域中的左侧或右侧趋近于点a，那么以这样单侧趋近的方式计算的极限值叫做'''单侧极限'''（'''one-sided limit'''）。其中，从左边邻域趋近指定点的极限叫做'''左极限'''（'''left-sided limit'''），记作<math>\lim_{x \to a^-} f(x)</math>；从右边邻域趋近指定点的极限叫做'''右极限'''（'''right-sided limit'''），记作<math>\lim_{x \to a^+} f(x)</math>。<ref name="人教社大纲版数学_2004_函数的极限" />

换句话说，如果我们笼统地说一个函数在某点处存在极限，一定包含2层含义<ref name="人教社大纲版数学_2004_函数的极限" />：
# 函数在指定点同时存在左极限和右极限。
# 函数在指定点的左极限和右极限相等。
也即<math>\lim_{x \to a} f(x) = A \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = A</math>。
</font>
</blockquote>

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提示：我们默认自变量只能从其定义域内趋近指定的点，因此<math>\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty</math>这种式子是有意义的，而且肯定是当作单侧极限去理解。

=== 极限的运算法则与未定式 ===
函数的极限有下列运算法则：
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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设函数f(x)与g(x)在x趋近于t时分别有极限值<math>\lim_{x \to t} f(x) = A, \lim_{x \to t} g(x) = B</math>，则一定也存在下列极限<ref>{{cite book |title=微积分学教程 |author=Г·М·菲赫金哥尔茨 |editor1=张小萍 (策划编辑) |editor2=赵天夫 (责任编辑) |others=杨弢亮 (汉译者); 叶彦谦 (汉译者); 郭思旭 (校对者) |publisher=高等教育出版社 |location=中国北京市西城区德外大街4号 |series=俄罗斯数学教材选译 |edition=3 (原书第8版) |isbn=978-7-04-018303-0 |section=第2章“一元函数”第2节“函数的极限”第55小节“极限理论的拓广” |pages=103-105 |language=zh-cn |year=2006}}</ref><ref>{{cite book |title=数学 |author=人民教育出版社中学数学室 |series=全日制普通高级中学教科书 (选修) |volume=第3册 (选修2) |publisher=人民教育出版社 |location=中国北京沙滩后街55号 |edition=1 |isbn=7-107-17448-7 |section=第2章“极限”第2部分“极限”第2.4节“极限的四则运算” |pages=84-90 |language=zh-cn |year=2004}}</ref>：
:<math>
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x \to t} (f(x) \pm g(x)) = (\lim\limits_{x \to t} f(x)) \pm (\lim\limits_{x \to t} g(x)) = A \pm B \\
\lim\limits_{x \to t} (f(x) \cdot g(x)) = (\lim\limits_{x \to t} f(x)) \cdot (\lim\limits_{x \to t} g(x)) = A \cdot B \\
\lim\limits_{x \to t} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to t} f(x)}{\lim\limits_{x \to t} g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)
\end{array}
</math>
</blockquote>

当自变量趋于0时，取值也趋于0的量叫做'''无穷小量'''（'''infinitesimal'''）。当自变量趋于0时，取值趋于正无穷大或负无穷大的量叫做'''无穷大量'''。

极限算式中无法直接判断极限的量叫做'''未定形式'''（'''indeterminate form'''），简称为'''未定式'''。未定式可能有极限，也可能不存在极限，一般需要根据实际情况变形、化简，直到可以计算或判断出答案为止。

高中阶段常见的未定式一般包含如下情形：
* 2个无穷大量的差
* 2个无穷大量的商或2个无穷小量的商
* 1个无穷大量与1个无穷小量的乘积

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提示：一个有趣的事实是无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量。能举出来的例子有点难懂，有兴趣的读者可参见[[高中数学/微积分初步/有关无穷的某些常见争论|有关无穷的某些常见争论]]一节的讨论。这个事实不是本节的重点（甚至也不是高中数学的考点），所以就不在这里展开讲了。

=== 三明治定理与2个重要极限简介 ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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'''夾擠定理'''/'''三明治定理'''：如果在点a的附近，对于3个函数f(x)、g(x)和h(x)始终有不等式<math>f(x) \le g(x) \le h(x)</math>成立，且<math>\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A</math>，那么一定有<math>\lim_{x \to a} g(x) = A</math>。<ref name="小平邦彦_1979_函数的极限" />
</blockquote>

结合正弦函数的单位圆定义，由图象特点和上述三明治定理可知<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>。<ref name="小平邦彦_1979_函数的极限" />

此外，我们严格定义常数[[w:e (数学常数)|e]]的值为<math>e := \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1 n)^n</math>。这个常数e就是[[高中数学/函数与三角/对数的概念与运算|自然对数]]符号中的底数。

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提示：(1)e的常见定义不只这一种做法。(2)要通过这种方式定义一个常数，首先需要证明这个极限值是存在的。至于这个极限的存在性可以参见[[高中数学/不等式与数列/数列的极限|数列极限]]一节中的相关讨论，此处不再做过多说明。心急的读者可以先将其作为可以证实的事实记下来，后面有时间再去查看论证细节。

我们将上述2个重要极限总结如下：
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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极限论中的2个重要极限（注意其中1个是在0处取得极限，另1个是在正无穷大处取得极限）：
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>（由正弦函数的图象性质而来。）
* <math>e := \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1 n)^n</math>（可作为常数e的定义，但其极限的存在性需要论证。）
</blockquote>

=== 连续复利 ===
常数e的一个常见含义就是基础金融学中[[w:复利|复利]]公式的细分极限。我们在[[高中数学/不等式与数列/数列的极限|数列极限]]一节中有做相关讨论，为方便读者学习，我们将其中的关键内容摘录过来。

假定一家银行限定存款的年利率为10%，某客户最初存款数额为1元。如果银行计划每年支付n次利息，每次支付的利息率按10%的n分之一计算，每次所支付的总金额（本金+利息）能当作新的本金计入下一轮的利息计算，那么满一年后客户的存款这种按这种复利方式计算后的结果为<ref>{{cite book |title=Analysis of Financial Time Series |trans-title=金融时间序列分析 |author=蔡瑞胸(Ruey S. Tsay) |editor= |others=王辉 (汉译者); 潘家柱 (汉译者) |publisher=[[w:人民邮电出版社|人民邮电出版社]] |location=中国北京市崇文区夕照寺街14号 |series=图灵数学·统计学丛书 |edition=2 |isbn=978-7-115-20582-7 |section=第1章“金融时间序列及其特征”第1.1节“资产收益率” |pages=3-4 |language=zh-cn |year=2009}}</ref>：
:<math>1 \times (1 + \frac{10%}{n})^n</math>

当一年内的复利间隔划分次数m趋近无穷大的时候（所取的时间间隔由离散化趋近于连续化），所得的连续化复利结果就是包含e的极限值：
:<math>\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{0.1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{1}{10n})^{10n})^{\frac{1}{10}} = (\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{10n})^{10n})^{\frac{1}{10}} = (\lim_{k \to \infty} (1 + \frac 1 k)^k)^{\frac{1}{10}} = e^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{e}</math>

== 常用结论与常见模型 ==
=== 无穷的比较 ===
为解决不同无穷小量之间的比较问题，常使用在极限意义下'''等价的无穷小量'''（'''equivalent infinitesimal'''）作替换。我们用符号<math>\sim</math>来表示2个无穷小量之间的等价替换关系。例如当x趋近于0时，有<math>\sin x \sim x</math>。可以整体地替换一个无穷小量，也可以只根据需要替换其中的一部分因子。

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted;">
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当x趋近于0时，最常用的几组等价无穷小：
* <math>\sin x \sim x</math>
* <math>1 - \cos x \sim \frac 1 2 x^2</math>
* <math>\ln (1+x) \sim x</math>
* <math>a^x - 1 \sim x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)</math>
* <math>(1+x)^a - 1 \sim ax</math>
</blockquote>

当x趋近于0时，其它相关等价无穷小（其中部分式子的由来可能需要借助后面才讲到的[[高中数学/微积分初步/一阶导数与求导法则|洛必达法则]]和[[高中数学/微积分初步/无穷级数简介与泰勒展开公式|泰勒展开公式]]来说明）：
* <math>\tan x \sim x</math>
* <math>\arcsin x \sim x</math>
* <math>\arctan x \sim x</math>
* <math>e^x - 1 \sim x</math>
* <math>(1 + bx)^a - 1 \sim abx</math>
* <math>\log_a (1+x) \sim \frac{x}{\ln a} \quad (a > 0, a \neq 1)</math>
* <math>\tan x - \sin x \sim \frac 1 2 x^3</math>
* <math>\tan x - x \sim \frac 1 3 x^3</math>
* <math>x - \arctan x \sim \frac 1 3 x^3</math>
* <math>x - \sin x \sim \frac 1 6 x^3</math>
* <math>\arcsin x - x \sim \frac 1 6 x^3</math>
* <math>\ln (x + \sqrt{1 + x^2}) \sim x</math>

=== 黑维塞分数拆分法 ===
=== 几种双曲线的渐近线 ===

== 补充习题 ==
[[File:Crystal Clear app ksirtet.png | Crystal Clear app ksirtet | 50px]]
[[File:Crystal Clear app laptop battery.png | Crystal Clear app laptop battery | 50px]]

== 参见 ==
* [[高中数学/不等式与数列/数列的极限|数列的极限]]
* [[高中数学/微积分初步/有关无穷的某些常见争论|有关无穷的某些常见争论]]
* [[高中数学/微积分初步/一阶导数与求导法则#洛必达法则|洛必达法则]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
{{Wikipedia|邻域}}
{{Wikipedia|函数极限}}
{{Wikipedia|未定式}}
{{Wikipedia|无穷小量}}
{{Wikipedia|夾擠定理}}
{{Wikipedia|渐近线}}

{{DEFAULTSORT: limit}}
[[category:微积分]]
[[category:高中数学]]